涉嫌醉驾刑拘嫌疑人后提请批捕的流程包括机关要求逮捕犯罪嫌疑人并制作提请批准逮捕书，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民审查批准。检察机关在接到机关的报捕材料后，由侦查监督部门指定办案人员进行审查，提出批准或者不批准逮捕的意见，经部门负责人审核后，报请检察长批准或者决定；重大案件应当经检察委员会讨论决定。依法作出是否批捕的决定。