进看守所当天可以见律师。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条，犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托作为辩护人。在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，侦查机关应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民、人民和机关应当及时转达其要求。因此，犯罪嫌疑人在进看守所当天可以会见律师。