解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，∴∠DAM=∠PAN．在△ADM和△APN中，∵ ∠DAM＝∠PAN AD＝AP ∠ADM＝∠APN ，∴△ADM≌△APN，∴AM=AN．（2）①∵△ABC、△ADP是等边三角形，∴∠B=∠C=∠DAP=∠BA

那么在这里的等边三角形 边长为2，对应的高就是 2*sin60°=2 ×√3 /2=√3 于是面积=1/2×2×√3=√3 或者在这里a=b=2，sinC=sin60°=√3 /2 代入得到面积S=(2×2×√3/2)/2=√3 而对于海式的话 这里的P=3，于是代入得到 S=√[3*(3-2)*(3-2)*(3-2)]=√3 实...

∵AE=BF=CG，且等边△ABC的边长为2，AE的长为x，∴BE=CF=AG=2﹣x。∴△AEG≌△BEF≌△CFG。在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x，∵S △ AEG = AE×AG×sinA= x（2﹣x）；∴y=S △ ABC ﹣3S △ AEG = ﹣3× x（2﹣x）= （ x 2 ﹣ x+1）。∴其图象为二次函数...

CE²=EF²+CF²=(2-√3)²+1=8-4√3 所以CE=2×√(2-√3) (≈1.04)解：令AC与DE的交点为O因为三角形旋转了30度，所以角EAC为30度又因为角AED为60度因此可推出AC垂直于DEAE=AC=2所以OE=AEsin30=1, AO=AEcos30=√3，则OC=AC-AO=2-√3根据勾股定理可...

作FG垂直于AE交AE于G。 ∵△ABC是等边三角形，它的面积√3 ∴AB=2 ， ∵AB=2AD ∴AD=1 ∵△ADE为等边三角形 ∴∠AEF=∠EAD=60° ∵∠BAD=45° ∴∠EAF=45° 设GE=X 则FG=GA=√3X AE=AD=1，AE=GE+AG 则：X+√3X＝1 X=(√3-1)/2 FG=√3×（√3-1）/2=（3-√3)/2...

∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=3，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为34×（3）2=3（34）1；∵等边三角形AB1C1的边长为3，AB2⊥B1C1，∴B1B2=32，AB1=3，根据勾股定理得：AB2=32，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为34×（32）2=3（34）2...

∵等边三角形ABC的边长为2，AB 1 ⊥BC，∴BB 1 =1，AB=2，根据勾股定理得：AB 1 = 3 ，∴第一个等边三角形AB 1 C 1 的面积为 3 4 ×（ 3 ） 2 = 3 （ 3 4 ） 1 ；∵等边三角形AB 1 C 1 的边长为 3 ，AB 2 ⊥B 1 C 1 ，...

∴AP=CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°，∴在△APE和△CQF中 AP=CQ∠A=∠FCQ∠AEP=∠CFQ=90° ，∴△APE≌△CQF，∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE= 1 2 EF，∵EC+CF=EC+AE=AC，∴DE= 1 2 AC，又∵等边△ABC的边长为2，∴DE=1，...

回答：过点A,E作AF,EG垂直于BC,垂足于F,G,面积比=1:4,所以EG:AF=1:2,AF=根号3, EG=根号3/2,EC^2=EG^2+CG^2,CG=1/4,EC=5/8

∵等边三角形ABC的边长为2，∴OA=OB，∴AD= 1 2 AB=1，∴OD=AD?tan30°= 3 3 ．即这个三角形的内切圆的半径为： 3 3 ．故答案为： 3 3 ．