同济版高等数学教案第五章定积分

第五章 定积分

教学目的：

1、 理解定积分的概念。

2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、 定积分的概念 2、 积分中值定理

3、 定积分的换元积分法分部积分法。 4、 变上限函数的导数。 §5

1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例 1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线y(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

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f

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将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2

把[a b]分成n个小区间

[x0

x1] [x1 x2]

[x2

xn1

xn b

x3] [xn1

xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0 x2 x2x1 xn xn xn1

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1

xi ]上任取一点

i

以[xi1

xi ]为底、f (

i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲

边梯形(i1 2 n) 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af (

)x1 f (

)

12

x2 f (

n

)

xnf(i)xii1n

求曲边梯形的面积的精确值 显然

分点越多、每个小曲边梯形越窄

所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边

梯形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x1

x2

xn }

于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度

趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

Alimf(i)xi0i1n

2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1计算在这段时间内物体所经过的路程S 求近似路程

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T 2]上t的连续函数 且v(t)0

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我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(

在时间间隔[T 1 T 2]内任意插入若干个分点

iti 在每个小的时间间隔ti内 物ti内某点

i的速度v(

i) 物体

)ti 把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是

T 1t 0 t 1 t 2

把[T 1 T 2]分成n个小段

[t 0

各小段时间的长依次为

t n1

t nT 2

t 1] [t 1 t 2] [t n1

t n]

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

t n t n t n1

S 1 S 2

在时间间隔[t i来代替[t i1

1

1

iS n

t i)

以

i t i]上任取一个时刻

i (t i时刻的速度v(

i)

t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即

S i v(

i)t i (i1 2 n)

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

Sv(i)tii1n

求精确值

记 max{t 1 t 2变速直线运动的路程

Slimv(i)ti0i1n t n} 当0时 取上述和式的极限 即得

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0

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及曲线yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点ax0x1x2 xn1

xn b把区间[a b]分成n个小区间

1

[x0 x1] [x1 x2] [x2

n)

i x3] [xn xn ] 记xixixi1 (i1 2

(2)任取[xi1

xi] 以[xi1

xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

f(i)xi (i1 2 n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

n Af()xii1i

(3)记max{x1 x2

n xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()xii1i

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S (1)用分点T1段

T 2]上t的连续函数

t0t1t2

t n [tn1

tnT2把时间间隔[T 1 T 2]分成n个小时间

tn] 记

[t0 t1] [t1 t2] n)

i1

ti titi1 (i1 2

(2)任取(i[ti1

ti] 在时间段[ti1

ti]内物体所经过的路程可近似为v(

i)ti

1 2 n) 所求路程S 的近似值为

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Sv()tii1ni

(3)记max{t1 t2

n tn} 所求路程的精确值为

Slim0v()tii1i

二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义下述定积分的定义 定义 设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

xn1

抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出

a x0 x1 x2

把区间[a b]分成n个小区间

[x0

各小段区间的长依次为

x1] [x1 x2]

xnb

[xn1

xn]

x1x1x0 x2x2x1

在每个小区间[xi度

1

1

i xn xn xn1

i xi]上任取一个点

i (xi xi) 作函数值f ()与小区间长

xi的乘积

if ()xi (i1 2 n) 并作出和 Sf(i)xii1n

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记 max{x1

1

ix2 xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区

0时 和S 总趋于确定的极限Ib间[xi xi]上点 怎样取法 只要当 这时我们称

这个极限I为函数f (x)在区间[a b]上的定积分 记作af(x)dx即 af(x)dxlimf(i)xi0i1bn

x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b

其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式叫做积分上限 [a b]叫做积分区间 定义 设函数f(x)在[a[a b]分成n个小区间

b]上有界 用分点ax0 [x0 x1] [x1 x2]

n)

n) 作和

x1x2

[xn1

xn1

xnb把

记

xn]

xixixi1(i1 2

任

i

[xi1

xi] (in1 2

Sf()xii1i

记max{x1 x2

i xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且

极限值与区间[a b]的分法和定积分 记作

的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的

baf(x)dx

即

baf(x)dxlimf(i)xi0i1n

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx 变速直线运动的路程为ST2v(t)dt1b

T

说明

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(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

af(x)dxaf(t)dtaf(u)du (2)和f(i)xi通常称为f (x)的积分和

i1nbbb

(3)如果函数f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f (x)在区间[a b]上可积

函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？ 定理1 设f (x)在区间[a b]上连续 则f (x) 在[a b]上可积

定理2 设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b]上可积

定积分的几何意义 在区间[a b]上线x 当f(x)0时

积分af(x)dx在几何上表示由曲线ybf (x)、两条直

a、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、两条直

线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

当f (x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号

baf(x)dxlimf(i)xilim[f(i)]xia[f(x)]dx0i10i1bnnb

在x轴下方

的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分af(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

用定积分的定义计算定积分

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例1. 利用定义计算定积分0x2dx 解 把区间[0 1]分成n等份 xii(in1

分点为和小区间长度为

1(in1 2

n1) xi1 2 n)

取ini(i1nn 2

n (i)21

ni1n n)作积分和

f(i)xii1i1i2xin1111 3i2131n(n1)(2n1)(1)(2)6nnni1n6

因为

1

n

当0时 n 所以

n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn3

利定积分的几何意义求积分: 例2

用定积分的几何意义求0(1x)dx1

以区间[0 1]为底的

解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边

曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边其底边长及高均为1 所以

111 0(1x)dx1122以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形





三、定积分的性质 两点规定

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(1)当ab时 af(x)dx0bab

(2)当ab时 af(x)dxbf(x)dx

性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dxnbbb

证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi

0i1b limf(i)xilimg(i)xi

0i10i1nn af(x)dxag(x)dxbb

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 akf(x)dxkaf(x)dxnbb

这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx0i1bnb0i1

性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两

部分区间上定积分之和即 af(x)dxaf(x)dxcf(x)dxbcb

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式 af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx精品

bcb可编辑

成立 例如 当acb 由于

c af(x)dxaf(x)dxbf(x)dx于是有

af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx 性质4 如果在区间[a b]上f (x)1 则 a1dxadxba 性质5 如果在区间[a af(x)dx0(abbcccb

bb

b]上 f (x)0 则

b)

b]上 f (x) g(x) 则 b)

0 从而

b 推论1 如果在区间[a af(x)dxag(x)dx(a 这是因为g (x)f (x)

bbbb ag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0所以

af(x)dxag(x)dxbb

bb

推论2 |af(x)dx|a|f(x)|dx(ab) 这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|

所以

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a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx即 |af(x)dx|a|f(x)|dx|

bbbbb

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则

m(ba)baf(x)dxM(ba)(ab)

证明 因为 m f (x) M 所以 bbamdxaf(x)dxbaMdx

从而

m(ba)baf(x)dxM(ba)

性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a[ab]上至少存在一个点

使下式成立

baf(x)dxf()(ba) 这个公式叫做积分中值公式

证明 由性质6

m(ba)baf(x)dxM(ba)

各项除以ba 得

m1babaf(x)dxM

再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点 使

f()1bbaaf(x)dx精品

b]上连续则在积分区间

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于是两端乘以ba得中值公式 af(x)dxf()(ba)b

积分中值公式的几何解释

应注意 不论ab 积分中值公式都成立

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§5 2 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动

在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为

vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为 S(T2)S(T1)及T2v(t)dt1T

即 T2v(t)dtS(T2)S(T1)1T

上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1

T2]上的增量

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？

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二、积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部

分区间[a x]上的定积分 xaf(x)dx

称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x)xaf(x)dx 或(x)

xaf(t)dt

定理1 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x)xaf(x)dx

在[a b]上具有导数 并且它的导数为

(x)dxdxaf(t)dtf(x)(ax简要证明 若x(a b) 取x使xx(a b)

(xx)

(x)xxaf(t)dtxaf(t)dt

xxxf(t)dtxaf(t)dtxaf(t)dt

xxxf(t)dtf()x

应用积分中值定理 有f ()x

其中在x 与xx之间 x0时

x 于是

(x)limx0xlimx0f()limxf()f(x)

若xa 取x>0 则同理可证(x) f(a) 若x精品

b 取x<0 则同理可证

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(x) f(b)

定理2 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x)af(x)dx

就是f (x)在[a b]上的一个原函数

定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的学中的定积分与原函数之间的联系 三、牛顿

莱布尼茨公式

另一方面初步地揭示了积分

x 定理3 如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则 af(x)dxF(b)F(a)此公式称为牛顿

b

莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式 (x)

这是因为F(x)和所以存在常数C 使

af(t)dt都是f(x)的原函数

x 

F(x)

由F(a)由F(b)

b(x)C (C为某一常数)

(a)0 得C(b)

(a)C及F(a) F(x)(x)F(a)

(b)F(a) 得F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a) 证明 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数 (x)

af(t)dt

使

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x也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C可编辑

F(x)

当x(x)C (axb)

(a)C 而

(a)0 所以CF(a) 当xb 时

a时 有F(a)

F(b)(b)F(a)

所以(b)F(b)

bF(a) 即

af(x)dxF(b)F(a) 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]bab 于是

af(x)dx[F(x)]baF(b)F(a)

进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例1. 计算0x2dx1

1 解 由于x3是x2的一个原函数 所以

313131 0x2dx[1x3]101013333

例2 计算1

3dx1x2

解 由于arctan x是

1的一个原函数 所以 1x2 13dx[arctanx]3arctan3arctan(1) ( )7134121x2

11 例3. 计算2dxx

111 解 2dx[ln|x|]2xln 1ln 2ln 2

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例4. 计算正弦曲线ysin x在[0 ]上与x轴所围成的平面图形的面积

解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积 A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2

5m/s

2

例5. 汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a刹车 问从开始刹车到停车

汽车走了多少距离？

解 从开始刹车到停车所需的时间 当t0时 汽车速度

v036km/h361000m/s10m/s

3600刹车后t时刻汽车的速度为

v(t)v0at 105t

当汽车停止时 速度v(t)

0 从

v(t)105t 0

得

t2(s)

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

210(m) s0v(t)dt0(105t)dt[10t51t2]0222即在刹车后 汽车需走过10m才能停住

tf(t)dt0 证明函数F(x)x

0f(t)dtx 例6. 设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0

在(0 )内为单调增加函数 dx tf(t)dtxf(x)dx0 证明

dxf(t)dtf(x)dx0精品

故

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F(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)x2xxf(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2x

按假设 当0tx时f (t)>0 (xt)f (t) 0 所以

0f(t)dt0x 0(xt)f(t)dt0x

)内为单调增加函数

从而F (x)>0 (x>0) 这就证明了F (x) 在(0

te 例7. 求limcosxx012dtx2

解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则

limcosxetdtx2x212x0lim1cosxt2edtx0x2cosxlimsinxe1x02x2e2

提示 设(x)1etdt 则(cosx)1cosxt2edt

dcosxet2dtd(cosx)d(u)dueu2(sinx)sinxecos2xdx1dxdudx

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3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法

定理 假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(

)

a ()b

(t)在[

](或[

])上具有连续导数精品

(t)满足条件

且其值域不越出[ab]

§5 (1)

(2)可编辑

则有

af(x)dxf[(t)](t)dt 这个公式叫做定积分的换元公式 证明 由假设知[

](或[

f(x)在区间[a b]上是连续

b

因而是可积的 f [(t)](t)在区间

])上也是连续的 因而是可积的

假设F(x)是f (x)的一个原函数 则

af(x)dx 另一方面 因为{F[(t)]}是f [(t)]

bF(b)F(a)

(t)

F [(t)] f [(t)](t) 所以F[(t)]

(t)的一个原函数 从而

f[(t)](t)dt因此 af(x)dxf[(t)](t)dtabF[( )]F[( )]F(b)F(a)



例1 计算0a2x2dx(a>0)

a22令xasint 解 0axdx 02acostacostdt

2a2222( acostdt1cos2t)dt002

2a21a2 [t1sin2t]0224

提示 a2x2a2a2sin2tacost dxa cos t 当x0时t0 当xa时t2

例2 计算02cos5xsinxdx

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解 令tcos x 则

2cos5xsinxdx2500cosxdcosx

令cosxt 0111t5dt0t5dt[1t6]1606

提示 当x0时t1 当x2时t0 或 20cos5xsinxdx20cos5xdcosx

[16cos6x]0216cos6216cos6016

例3 计算0sin3xsin5xdx

解 350sinxsinxdx0sin32x|cosx|dx

2sin32xcosxdx30sin2xcosxdx

2 230sin2xdsinx3sin2xdsinx

2 [25sin52x]20[25sin52x]2(2)42555

提示 sin3xsin5xsin3x(1sin2x)sin32x|cosx|

在[0, 2]上|cos x|cos x 在[2, ]上|cos x| 例4 计算4x202x1dx

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cos x

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4令 解 0x2dx 2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt

t2

312711122 [t33t]1[(9)(3)]2323332提示 xt12 dxtdt 当x0时t1 当x4时t3

例5 证明 若f (x)在[ af(x)dx20f(x)dxa0a a]上连续且为偶函数 则

aaa 证明 因为af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx而 af(x)dx a0令xt0aa

af(t)dt0f(t)dt0f(x)dxa

所以 af(x)dx0f(x)dx0f(x)dx

0[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx20f(x)dx 讨论

若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问af(x)dx？ 提示 若f (x)为奇函数 则f ( af(x)dx0[f(x)f(x)]dx0aaaaaa

ax)f (x) 0 从而

例6 若f (x)在[0 1]上连续 证明 (1)f(sinx)dx02f(cosx)dx20

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(2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx

证明 (1)令xt20 则

02f(sinx)dxf[sin(t)]dt

22 2f[sin(t)]dt2f(cosx)dx002 (2)令x

t 则

0 0xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt 0(t)f[sin(t)]dt0(t)f(sint)dt 0f(sint)dt0tf(sint)dt 0f(sinx)dx0xf(sinx)dx所以 0xf(sinx)dx 2

0f(sinx)dx

x2xe x0 例7 设函数f(x)1 1x01cosx 计算1f(x2)dx4

解 设x2t 则 1f(x2)dx1f(t)dt14201dt2tet2dt 01cost220 [tant]1[1et]0tan11e4122222

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提示 设x2t 则dx 二、分部积分法

dt 当x1时t1 当x4时t2

设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由 (uv)

buv u v得u vbbu vuv 式两端在区间[a b]上积分得

baauvdxauvdx[uv]b 或audv[uv]baavdu

这就是定积分的分部积分公式 分部积分过程

baavdu[uv]aauvdx    auvdxaudv[uv]bbbbb

例1 计算 解 12arcsinxdx0

12x]012xdarcsin012arcsinxdx01[xarcsinx

102xdx

261x211 021221d(1x2)

1x212231 [1x]012122

例2 计算0exdx 解 令xt11

则

1 0exdx20ettdt精品

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20tdet 2[tet] 0 20etdt 2e2[et] 0 2 例3 设In02sinnxdx1111

证明

(1)当n为正偶数时 Inn1n331nn2422 (2)当n为大于1的正奇数时 In

n1n342nn253

证明 In2sinnxdx002sinn1xdcosx

n1 2x] 0 [cosxsin02cosxdsinn1x

(n1)02(sinn2xsinnx)dx

 (n1)2cos2xsinn2xdx0 (n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx (n1)I n由此得

2

(n1)I n

Inn1In2n

I2m2m12m32m531I02m2m22m442

I2m12m2m22m442I12m12m12m353

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可编辑

而I0因此

2dx02 I102sinxdx1

I2m2m12m32m531 I2m12m2m22m4422m12m12m3532m2m22m4422





例3 设In02sinnxdx(n为正整数) 证明 I2m2m12m32m5312m2m22m4422 I2m12m2m22m4422m12m12m353 证明 In2sinnxdx0

02sinn1xdcosx

2(n1)2cos2xsinn2xdx [cosxsinn1x] 00 (n1)02(sinn2xsinnx)dx (n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx (n1)I n由此得 Inn1In2n

2

(n1)I n

I2m2m12m32m531I02m2m22m442精品

可编辑

I2m12m2m22m442I12m12m12m353特别地 I02dx

 I12sinxdx1

020因此 I2m2m2m122mm3222mm5434122 I2m122mm122mm2122mm434523

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§5 4 反常积分 一、无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间[a

)上连续 取b>a 如果极限 bblimaf(x)dx

存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a

)上的反常积分 记作af(x)dxbaf(x)dxblimaf(x)dx

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即

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这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在义

类似地 设函数f(x)在区间(



函数f(x)在无穷区间[a

)上的反常积分af(x)dx就没有意

 此时称反常积分af(x)dx发散

b ]上连续limb 如果极限

f(x)dx(ab b ]上的反常积分 记作f(x)dxbb 即

f(x)dxalimf(x)dxa这时也称反常积分f(x)dx收敛 设函数f(x)在区间(

b

如果上述极限不存在 则称反常积分f(x)dx发散 )上连续 如果反常积分

bf(x)dx和0f(x)dx

都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间(作f(x)dx0 )上的反常积分 记

即

f(x)dxf(x)dx0f(x)dx

lima0af(x)dxlim0b0bf(x)dx

这时也称反常积分f(x)dx收敛

精品

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如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散  定义1 连续函数f(x)在区间[a

)上的反常积分定义为

af(x)dxblimbaf(x)dx

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛

散

类似地 连续函数f(x)在区间(

b]上和在区间( bbf(x)dxalimaf(x)dx

0bf(x)dxalimaf(x)dxblim0f(x)dx

反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则 af(x)dxlimbbaf(x)dxblim[F(x)]ba limF(b)F(a)limF(x)F(a)

bx可采用如下简记形式

aaf(x)dx[F(x)]xlimF(x)F(a)

类似地 bf(x)dx[F(x)]bF(b)lim

xF(x) F(x)]f(x)dx[

xlimF(x)xlimF(x) 例1 计算反常积分11x2dx

解 11x2dx[arctanx]

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否则称此反常积分发

)上的反常积分定义为

可编辑

limarctanxlimarctanx

xx  ( )22

例2 计算反常积分0teptdt (p是常数 且p>0)

1tdept]  解 teptdt[teptdt]0[00p [1tept1eptdt]0pp [1tept12ept]0pp lim[1tept12ept]1212tpppp提示 limteptlimtptlim1pt0ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时 a 当p<1时 a

1dx(a>0)的敛散性

xp

1dx1dx[lnx]  aaxxp

1dx[1x1p]  a1pxp

当p>1时 a1dx[1x1p] a1p a1pp1xp

1p 因此 当p>1时

此反常积分收敛 其值为ap1 当p1时 此反常积分发散

二、无界函数的反常积分

定义2 设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取>0 如果极限

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talimtf(x)dx

bb存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

af(x)dxlimtf(x)dxtabb

这时也称反常积分af(x)dx收敛

如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

bb

类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限

limaf(x)dx

bttb存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

af(x)dxtlimbabtf(x)dx

这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散 设函数f(x)在区间[a b]上除点c(abbaf(x)dx与cf(x)dx

都收敛 则定义

cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx否则 就称反常积分af(x)dx发散

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bcb

b可编辑

瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界

定义2 设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点上的反常积分定义为

baf(x)dxlimbtatf(x)dx

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛

散

类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为

btaf(x)dxtlimbaf(x)dx

函数f(x)在[a c)(c b] (c为瑕点)上的反常积分定义为

btbaf(x)dxtlimcaf(x)dxtlimctf(x)dx

反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数 则有 bbaf(x)dxlimtf(x)dxlim[F(x)]bt

tata F(b)limaF(t)F(b)limxaF(x)t

可采用如下简记形式

baf(x)dx[F(x)]baF(b)xlimaF(x)

类似地 有

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函数f(x)在(a b]

否则称此反常积分发

可编辑

af(x)dx[F(x)]balimF(x)F(a)xbb

当a为瑕点时

aF(b)limF(x)af(x)dx[F(x)]bxab

当b为瑕点时

alimF(x)F(a)af(x)dx[F(x)]bxbb

当c (acb )为瑕点时

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx[limF(x)F(a)][F(b)limF(x)]xcxcbcb

例4 计算反常积分 解 因为limxaa01dxa2x2

1a2x2 所以点a为被积函数的瑕点



a01alimarcsinx0dx[arcsinx] 0a2axaa2x2

1 例5 讨论反常积分112dx的收敛性

x 解 函数12在区间[1 1]上除x0外连续 且lim12x0xx0 0lim(1)1 由于112dx[1]1xxx0x

01即反常积分112dx发散 所以反常积分112dx发散

xx 例6 讨论反常积分a 解 当q1时 abbdx的敛散性

(xa)q

dxbdx[ln(xa)] b a(xa)qaxa

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当q1时 a 当q1时 abdx[1(xa)1q] b a(xa)q1q

bdx[1(xa)1q] b1(ba)1q a1q(xa)q1q

因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为1(ba)1q 当q1时 此反常积分发

散

.

1q精品