三角形证明专题复习
一．选择题（共15小题）
1．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
3．如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（ ）
第1页（共67页）
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
4．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，点D在BC边上，且AD＝AC．若BD＝，则CD的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
5．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则
AC的长是（ ）
A．6
B．8 C．10
第2页（共67页）
D．14
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且
，则线段BE的长为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（ ）
A．3
B．10
C．12
D．15
8．如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（ ）
第3页（共67页）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
9．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（ ）
A．15海里
B．20海里
C．30海里
D．求不出来
10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．13
11．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（ ）
第4页（共67页）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（ ）
A．120°
B．75°
C．60°
D．30°
13．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．8或10 C．8 D．以上都不对
14．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥
BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（ ）
第5页（共67页）
A．7 B．6 C．5 D．4
15．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）
A．36°
B．38.5°
C．°
D．77°
二．填空题（共15小题）
16．△ABC中，AD⊥BC于D，∠ACD＝60°，若AD＝2，AB＝2，则BC＝______．
17．已知等腰三角形的周长是14，设其腰长是x，底边长是y，则y与x的函数关系式为y＝______，自变量x的取值范围是______．
18．如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，EF＝6．若点D是边OB上一动点，则∠PDE＝45°时，DF的长为______．
第6页（共67页）
19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是______．
20．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝24°，则∠C＝______°．
21．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则这个三角形的面积为______cm2．
22．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点
P到边OA的距离是______．
第7页（共67页）
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠EBC＝30°，则∠A的度数为______．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝______cm．
25．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC的长______．
26．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为______．
第8页（共67页）
27．如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠A＝x°，则∠ABC＝______度（用含x的代数式表示）．
28．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝28°，则∠CAD的度数为______°．
29．如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，
OF⊥BC，则OD+OE+OF＝______．
30．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝______．
第9页（共67页）
三．解答题（共20小题）
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线
BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：
BE∥DF．
32．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点
O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．
（1）求BC的长；
第10页（共67页）
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为
AB边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．
34．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
第11页（共67页）
35．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠B＞∠A，D，E为边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC．
（1）若∠A＝30°，求∠DCE的度数；
（2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．
36．已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；
（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．
第12页（共67页）
37．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．
（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；
（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．
38．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．
第13页（共67页）
39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．
40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．
（1）求证：∠CAD＝∠DBC；
（2）求∠BDC的度数．
第14页（共67页）
42．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠
ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长．
43．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结
CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．
第15页（共67页）
44．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：△ACD为等腰三角形．
45．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交
AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
第16页（共67页）
46．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交
AB于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．
47．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，△ADC是等腰三角形，求△ABC三个内角的度数．
48．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝10，BC＝10，求△ABD的周长．
第17页（共67页）
49．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，
（1）求证：EF∥BC；
（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．
50．如图，等边△ABC的边长为12，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E．过点E作EF⊥AC于点F．
（1）若AD＝2，求AF的长；
（2）当AD取何值时，DE＝EF？
第18页（共67页）
三角形证明专题复习
参与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝30°，
第19页（共67页）
∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴EG＝EF＝2，
在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，
∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；
方法二、
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
第20页（共67页）
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，
∴BE＝DE，∠BFD＝90°，
∴BE＝2EF＝4＝DE，
∴DF＝DE+EF＝6；
故选：D．
2．解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，
∴AP＝PD，
∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，
∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∵△ABC的面积为8，
∴S△BPC＝×8＝4．
故选：B．
第21页（共67页）
3．解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD＝AC，
∴E是CD的中点，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，
∴BE＝，
∵BD＝2，
∴DE＝﹣2＝，
∴CD＝1，
故选：B．
4．解：过点A作AE⊥BC，
第22页（共67页）
∵AD＝AC，
∴E是CD的中点，
∵∠B＝60°，AB＝8，
在Rt△ABE中，BE＝4，
∵BD＝，
∴DE＝4﹣＝，
∴CD＝5，
故选：C．
5．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．
第23页（共67页）
∵△BCD的周长是14，BC＝6，
∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，
∵AB＝AC，
∴AC＝8．
故选：B．
6．解：连接BD，如图，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，
在Rt△BDE中，BE＝DE＝×＝3．
故选：C．
第24页（共67页）
7．解：作DH⊥AC于H，如图，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DB＝DH，
∵×AB×CD＝DH×AC，
∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，
∴S△ADC＝×10×3＝15．
故选：D．
8．解：作△DEF，使DE＝AB，∠A＝∠D，∠E＝∠B，
根据ASA定理可知，△DEF与原来的图形一样，
第25页（共67页）
他所用定理是ASA，
故选：C．
9．解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
10．解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、∴AE＝BE，
∵AD＝3，
∴AB＝6，
第26页（共67页）
，E
∴AE+EC＝AC＝AB＝6，
∵BC＝5，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；
故选：C．
11．解：作PQ′⊥OM于Q′，
∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，
∴∠POQ′＝30°，
∴PQ′＝OP＝2，
由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，
故选：B．
12．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
第27页（共67页）
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
综上，∠OEC的度数不可能为60°，
故选：C．
13．解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，
第28页（共67页）
解得a＝2，b＝4，
①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，
∵4、4、2能组成三角形，
∴三角形的周长为10，
②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，
2+2＝4，不能组成三角形．
综上所述，三角形的周长是10．
故选：A．
14．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
第29页（共67页）
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝5，△AMN的周长等于12，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，
∴AC＝7，
故选：A．
15．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，
∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，
又∵AD＝DC，在三角形ADC中，
∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．
故选：B．
二．填空题（共15小题）
16．解：∵AD⊥BC，
第30页（共67页）
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∵AD＝2，
∴CD＝AD＝2，
，
∵AB＝2
∴BD＝＝＝4，
如图1，BC＝BD+CD＝6，
如图2，BC＝BD﹣CD＝2，
综上所述，BC＝6或2，
故答案为：6或2．
第31页（共67页）
17．解：∵2x+y＝14，
∴y＝14﹣2x，即x＜7，
∵两边之和大于第三边
∴x＞，
综上可得＜x＜7
故答案为：y＝﹣2x+14，＜x＜7．
18．解：如图，过点P作PH⊥OB于点H，
∵PE＝PF，
∴EH＝FH＝EF＝3，
∵∠AOB＝30°，OP＝14，
第32页（共67页）
∴PH＝OP＝7，
当点D运动到点F右侧时，
∵∠PDE＝45°，
∴∠DPH＝45°，
∴PH＝DH＝7，
∴DF＝DH﹣FH＝7﹣3＝4；
当点D运动到点F左侧时，
D′F＝D′H+FH＝7+3＝10．
所以DF的长为4或10．
故答案为4或10．
第33页（共67页）
19．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，
∴∠EDB＝20°，
∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，
当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝70°，
∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，
第34页（共67页）
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°，
∴∠EDP2＝140°，
当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，
故答案为：40°或100°或140°．
20．解：设∠C＝α，
∵AB＝CB，AC＝AD，
第35页（共67页）
∴∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，
又∵∠BAD＝24°，
∴∠CAD＝α﹣24°，
∵△ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，
∴α﹣24°+α+α＝180°，
∴α＝68°，
∴∠C＝68°，
故答案为：68．
21．解：设△ABC的顶角为∠BAC，
过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，
∴S△ABC＝AB•CD，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠DAC＝30°，
第36页（共67页）
在Rt△ACD中，CD＝AC＝4，
∴S△ABC＝AB•CD＝×8×4＝16，
故答案为：16．
22．解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
第37页（共67页）
故答案为2．
23．解：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∵DE垂直且平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A，
∴∠EBC+∠ACB＝∠AEB，
∴30°+（180°﹣∠A）＝180°﹣2∠A，
解得∠A＝40°．
故答案为：40°．
24．解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴AD＝BD，
第38页（共67页）
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴BD＝AC＝2CD＝6cm，
故答案为：6．
25．解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∵BD＝1，
∴AD＝BD＝1，
∵CD＝2BD＝2，
第39页（共67页）
∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，
故答案为3．
26．解：∵AD＝DC
∴∠DAC＝∠C，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠BDA＝∠C+∠DAC═80°，
∵AB＝AD
∴∠BDA＝∠B＝80°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝20°．
故答案为：20°．
27．解：∵∠A＝x°，AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x°，
第40页（共67页）
∴∠CDB＝2∠A＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝（180﹣3x）°，
故答案为：（180﹣3x）．
28．解：∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝28°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝28°+28°＝56°，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝56°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣56°﹣56°＝68°．
故答案为：68．
第41页（共67页）
29．解：连接OA、OB、OC，过A作AQ⊥BC于Q，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，BQ＝CQ＝＝1，
由勾股定理得：AQ＝＝＝，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∴＝++，
∴＝，
∴＝×2×（OE+OF+OD），
解得：OD+OE+OF＝，
故答案为：．
30．解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作
AM⊥BC于M，如图所示：
第42页（共67页）
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，
在△AEF与△AEC中，，
∴△AEF≌△AEC（ASA），
∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACF＝∠B+∠ECD，
∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，
∵∠ACB＝3∠B，
∴2∠ECD+∠B＝3∠B，
∴∠B＝∠ECD，
第43页（共67页）
∴CF＝BF，
∵BC＝BD，
∴＝，
S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，
∴＝，
即＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴CF＝BF＝﹣8＝，
∴CE＝CF＝，
故答案为：．
第44页（共67页）
三．解答题（共20小题）
31．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠CBD＝126°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．
又∵∠F＝27°，
∴∠F＝∠CEB＝27°，
第45页（共67页）
∴DF∥BE
32．解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长5，
∴AD+DE+EA＝5，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；
（2）∵△OBC的周长为13，
∴OB+OC+BC＝13，
∵BC＝5，
∴OB+OC＝8，
第46页（共67页）
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
33．解：∵∠BAC＝30°，AD＝PD，
∴∠A＝∠APD＝∠CPE＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCE＝90°，
∴PE＝2CE，
设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝x，
Rt△ABC中，AB＝2，
第47页（共67页）
∴BC＝1，
∴AC＝，
∴2x＝，
x＝，
∴PE＝2x＝1．
34．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
第48页（共67页）
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
第49页（共67页）
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
35．解：（1）设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝110°﹣∠ACE＝110°﹣x﹣y．
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝110°﹣x﹣y+x＝110°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，
∴x+（110°﹣y）+（x+y）＝180°，
解得x＝35°，
∴∠DCE＝35°；
（2）由（1）知，∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而变化．
36．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
第50页（共67页）
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，
∴∠FDE＝∠DEB，
∴DF∥BC．
37．解：（1）成立．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE．
第51页（共67页）
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）成立．
理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AF＝BF，
由（1）知AD⊥BC，
∴∠EAF＝∠CBF
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE＝BC，
第52页（共67页）
∵BD＝BC，
∴BD＝AE．
38．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC
∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE
∴2∠ABC＝2∠FCE，
∴∠ABC＝∠FCE，
∴CF∥AB；
（2）∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC
∵DF平分∠ADC，
第53页（共67页）
∴∠ADC＝2∠FDC；
∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，
∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC
∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC
∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°
∴∠DFC＝20°．
39．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
又∵∠C＝90°
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°，
第54页（共67页）
∴在Rt△ACD中，，
∴AD＝2CD＝2×3＝6，
∴BD＝AD＝6．
40．解：∵∠BAC＝90°，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°﹣32°＝58°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ABC＝29°，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABD＝29°．
41．证明（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°
∴∠ABC＝∠ACB＝40°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBC＝20°
第55页（共67页）
∵BD＝AB
∴∠ADB＝∠DAB＝80°
∴∠CAD＝20°
∴∠CAD＝∠DBC
（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，
∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，
∴△DBC≌△CAE，
∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，
∴∠CDE＝∠CED＝α，
∵∠ADB＝80°，
第56页（共67页）
∴∠BDE＝100°
∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，
∴20°+100°+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠BDC＝130°．
42．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
第57页（共67页）
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10，
∴OC＝EF＝5．
43．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
第58页（共67页）
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
过D作DH⊥CE于H，
∵BD＝2，∠DBH＝60°，
∴BH＝BD＝1，DH＝＝，DH＝EH＝，
∴BE＝EH﹣BH＝﹣1．
44．解：（1）∵DE垂直平分AB，
第59页（共67页）
∴DB＝DA，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠B＝40°，
∴∠B＝∠DAB＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°；
（2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，
∴CA＝CD，
∴△ACD为等腰三角形．
45．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
第60页（共67页）
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
46．解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
CD平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO，又EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠ACB，
第61页（共67页）
∴∠ABO＝∠EOB，∠FOC＝∠ACO，
∴OE＝BE＝3，OF＝FC，
∵EF＝5，
∴OF＝2，
∴FC＝2．
47．解：∵△ADC是等腰三角形，
∴AC＝DC，
∴∠DAC＝∠ADC，
又∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，
设∠B＝x，则∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x，
∴∠DAC＝∠ADC＝2x，∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝3x，
于是在△ABC中，有∠B+∠C+∠BAC＝x+x+3x＝180°，
第62页（共67页）
解得x＝36°，
∴在△ABC中，∠BAC＝108°，∠B＝∠C＝36°．
48．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝x°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠B
＝（90﹣x）°
∵DE垂直平分AC
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝x°，
∴90﹣x＝2x，
解得：x＝30，
第63页（共67页）
∴∠BAC＝90°+30°＝120°；
（2）由（1）知DA＝DC
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC＝10+10．
49．（1）证明：∵∠1+∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，
∴∠2＝∠FDE，
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠AEF，
∴FE∥BC．
（2）解：∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，
∵CE平分∠ACB，
第页（共67页）
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠ACE．
∴FC＝FE，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠B＝∠AEF，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝FE，
∴AF＝CF．
50．解：（1）∵AB＝12，AD＝2
∴BD＝AB﹣AD＝10
在Rt△BDE中
∠BDE＝90°﹣∠B＝30°
第65页（共67页）
∴BE＝BD＝5
∴CE＝BC﹣BE＝7
在Rt△CFE中
∠CEF＝90°﹣∠C＝30°
∴CF＝CE＝，
∴AF＝AC﹣FC＝；
（2）在△BDE和△EFC中，
∴△BDE≌△CEF（AAS）
∴BE＝CF
∴BE＝CF＝EC
∴BE＝BC＝4，
第66页（共67页）
∴BD＝2BE＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∴AD＝4时，DE＝EF．
第67页（共67页）
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