Ch07 间接平差__例题

例7.1.1 平差原理

在一个三角形中，等精度观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各

ˆ，则ˆ、X内角的最或然值。若能选取两个内角L1、L2的平差值【最或然值】作为参数X21可以建立参数与观测值之间的函数关系式

ˆL1v1X1ˆ 称为观测方程 L2v2X2ˆˆL3v3X1X2180可得

ˆLv1X11ˆL 称为误差方程 v2X22ˆˆv3X1X2180L3

为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中

ˆX0xˆX0xˆ，则上式可写成如下形式： ˆi X是非常重要的，令Xiiv1xˆ1(L1X10)0ˆ2(L2X2) 称为误差方程 v2x00ˆˆvxx(LXX180)312312L1X1010，l0ˆl B01LX22，VBx0L3X10X218011也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾，v1 、v2 、v3可有多组解，为此引入最小二乘原则：[vv]i13vi2 VTPVmin可求得唯一解。因此，

间接平差是选取与观测值有一定关系的未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数

关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：

[vv]vi2 VTPVmin，设观测值为等精度观测，则有：

i13020ˆ1(L1X10)]2[xˆ2(L2X2ˆ1xˆ2(L3X10X2[vv]vi2[x)][x180)]2mini13VTPVmin

按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得

[vv]000ˆˆˆ2[x(LX)]2[xx(LXX11112312180)]0xˆ1 00[vv]2[xˆ2(L1X2ˆ1xˆ2(L3X10X2)]2[x180)]0ˆx2BTV0

02xˆ1xˆ22X10X2L1L31800(1)=> 00ˆˆx12x2X12X2L2L31800(2)BTBxBTl0

0ˆ23X2L12L2L31800 （2）×2-(1)=>3x0ˆ1L2L1L60 ˆ2X2=>xX2123333ˆ2L1L1L60 ˆ1X10X=>x1123333ˆl x(BTB)1BTl， VBx代入误差方程式，得到观测值的平差值【最或然值】

211ˆLLL131323L360121ˆˆLV LLLL360 L212333112ˆLLLL360123333

例7.1.2 水准网

如图所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： h1= +1.003m， h2= +0.501m， h3= +0.503m， h4= +0.505m； S1=1km， S2=2km， S3=2km，

HC=12.008m，HB=11.500m，S4=1km。已知 HA=11.000m，试用间接平差法求 P1及 P2

点的高程平差值。

图

解：（1）按题意知必要观测数 t=2，选取 P1、 P2两点高程 X1、 X2为参数，取未

00XHCh312.511(m)，令2km观XHh12.003(m)2A1知参数的近似值为 1、

ˆˆ测为单位权观测，则

P12,P21,P31,P42。

（2）根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下

ˆ1(h1X10HA)v1x0ˆ1xˆ2(h2X2v2xX10)0ˆ2(h3X2v3xHC)ˆ1(h4X10HB)v4x代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有

ˆ10v1xˆ1xˆ2(7)v2xˆ20v3xˆ v4x12可得 B、 P和 l矩阵如下

11B010201P010、0 00007100l0010002、2

（3）依据最小二乘原理，由误差方程系数 B和自由项 l组成法方程

ˆBTPl0得 BTPBxˆ11151x7012xˆ2

ˆ 解算法方程，求出参数 xˆ15111121111.7xx1271572.7(mm)ˆ92 ˆX0xˆ； （4）计算参数的平差值 X1ˆX10xˆ112.003X1.712.00471ˆ0(m)2.7(mm)12.5083(m)ˆx12.511XX222

（5）由误差方程计算 V，求出观测量平差值 hhV；

ˆh1v11.003h1.71.00471ˆ2.70.5037hv0.501h222(m)(mm)(m)ˆhh3v30.5032.70.50033ˆhv0.5050.30.5047h444

例7.2.1 导线网平差

如图4-7所示，A、B、C为已知点，P1、P2是待定点。同精度观测了六个角度L1、

L2、…、L6，测角中误差为

±2.5″，测量了四条边长

s7、

s8、s9、s10，观测结果及其中误差见表4-2。起算数据见表4-1。试按间接平差法求待定

点P1及P2的坐标平差值。

表4-1

点名 A B C D x(m) 3143.237 4609.361 4157.197 3822.911 Y(m) 5260.334 5025.696 8853.254 9795.726 表4-2

角度 编号 1 2 3 4 解：

本题n10，即有10个误差方程，其中有6个角度误差方程，4个边长误差方程。必

44 05 44.8 93 10 43.1 42 43 27.2 201 48 51.2 5 6 201 57 34.0 168 01 45.2 7 8 9 10 2185.070 1522.853 1500.017 1009.021 ±3.3 ±2.3 ±2.2 ±1.5 观测值 （°′″） 编号 观测值 （°′″） 编号 边长 观测值s （m） 中误差 (cm) S(m) 1484.781 1000.000 坐标方位角（°′″） 350 54 27.0 109 31 44.9 ˆˆˆˆˆT要观测数t224。现取待定点坐标平差值为参数，即X[X1Y1X2Y2]

① 计算待定点近似坐标

各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表4-3。

表4-3

观测角 点名 坐标方位角 观测边长 近似坐标 i °′″ 93 10 43.1 168 01 45.2 0 °′″ 350 54 27.0 77 43 43.9 109 31 44.9 301 29 59.7 S(m) 1522.853 1009.021 X0(m) 3143.237 4609.361 4933.025 3822.911 4157.197 4684.408 0

Y0(m) 5260.334 5025.696 6513.756 9795.726 8853.254 7792.921 0A B P1 D C P2 ② 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角和近似边长S（见表4-4）。

表4-4

方向 AP1 BP1 P1 P2 P2C 近似坐标方位角 35 00 15.4 77 43 43.9 99 32 27.8 121 29 59.7 00近似边长S（m） 2185.042 1522.853 1499.913 1009.021 000ˆ、③ 计算坐标方位角改正数方程的系数。计算时S、X、Y均以m为单位，而xˆ因其数值较小，采用cm为单位。有关系数值的计算见表4-5、表4-6。 y表4-5

的系数（秒/cm） 方向 Y0(m) 1253.422 1488.060 1479.165 860.333 X0(m) 17.788 323.6 -248.617 -527.211 (S0)2(m2) 477×104 232×104 225×104 102×104 ˆ1 x-0.542 -1.323 1.356 ˆ1 y0.774 0.288 0.228 ˆ2 x -1.356 1.740 ˆ2 y -0.228 1.066

AP1 BP1 P1 P2 P2C 表4-6

方向 X0(m) Y0(m) S0(m) 边长误差方程系数 ˆ1 xAP1 BP1 P1 P2 P2C 17.788 323.6 -248.617 -527.211 1253.422 1488.060 1479.165 860.333 2185.042 1522.853 1499.913 1009.021 0.8191 0.2125 0.1658 ˆ1 y0.5736 0.9772 -0.9862 ˆ2 x -0.1658 0.5225 ˆ2 y 0.9862 -0.8526

表4-7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ˆ1 x-0.542 1.323 -0.781 2.679 -1.356 0.8191 0.2125 0.1658 ˆ1 y0.774 -0.288 -0.486 -0.060 -0.228 0.5736 0.9772 -0.9862 ˆ2 x -1.356 3.096 -1.740 -0.1658 0.5225 ˆ2 y -0.228 1.294 -1.066 0.9862 -0.8526 l -3.6 0 -1.3 7.3 2.1 0 2.8 0 10.4 0 p 1 1 1 1 1 1 0.57 1.18 1.29 2.78 角i 边Si

④ 法方程的组成和解算

由表4-7取得误差方程的系数项B、常数项l，组成法方程的系数项可得法方程为

TNbb、

常数项BPl，

ˆ123.20712.1410.0297.8662.155x0.029yˆ115.3873.5430.4141.5360ˆ25.6227.8660.41415.24.721xˆy2.1551.53.7216.13814.2842

TNBPB的逆阵为 bb系数阵

1Nbb0.00400.06600.00620.12400.00400.32190.01910.09670.06600.01910.12270.07590.00620.09670.07590.2433

1TˆNbbxBPl算得参数改正数xˆ： 由

ˆ10.12400.00400.06600.006223.2072.4xy15.3873.4ˆ10.00400.32190.01910.0967xˆ20.06600.01910.12270.07595.6220.1ˆ20.00620.09670.07590.243314.2842.3y（cm）

⑤ 平差值计算

坐标平差值

ˆX10xˆ14933.049X1ˆ0ˆy6513.722YY1110ˆX2xXˆ24684.40920ˆˆy7992.944YY222

观测值的平差值

ˆl得各改正数为 根据公式VBxV0.34.21.11.313.2.62.82.83.61.9

Tˆ从而得平差值为LLV，如下表4-8

表4-8

编号 1 2 3 角 4 5 6 7 8 边 9 10

1500.017 1009.021 1499.981 1009.002 201 48 51.2 201 57 34.0 168 01 45.2 2185.070 1522.853 201 48 49.9 201 57 32.7 168 01 42.6 2185.042 1522.825 观测值 44 05 44.8 93 10 43.1 42 43 27.2 平差值 44 05 44.5 93 10 47.3 42 43 28.3 例7.3.1 水准网

—P125 例题7-6

在图7-11中，A、B为已知水准点，高程为HA、HB，设为无误差，各观测的路线长度分别为

S14km， S22km，

S32km， S44km，

试求P1和P2点平差高程的协因数。

解：平差的参数选取P1和P2点高程，设为X1和

ˆˆX2，按图组成误差方程为 图 7-11

ˆ1v1xl1ˆ1xˆ2l2v2xˆ1xˆ2l3v3xv4ˆ2l4x4144P2224P3224P214 P1定权时令C＝4，即以4 km观测高差为单位权观测值，因观测值相互，故Pi1/Qii，相关协因数

Qij0(ij)，由此得法方程为

ˆ14xˆ2W105xˆ15xˆ2W20 4x1QNˆˆbb因为XX，故有

QXˆXˆ544510.560.440.440.56

平差后P1、P2点高程的协因数分别为

QXˆXˆ0.5611，

QXˆ2X2ˆ0.56，

ˆˆX1与X2的协因数则为

QXˆXˆ0.4412