中职数学模拟试题

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1．已知集合A1,2,3,4，B1,3,5，CAB，则集合C的子集共有（ ） A．2个 【答案】B

【分析】根据交集的概念求出C，结合子集的计算公式即可得出结果.

B．4个

C．6个

D．8个

，，所以集合C的子集有224个. 【详解】由题意知，CAB{13}2．设a,b,cR，且ab，则下列不等式成立的是（ ） A．a2b2 B．ac2bc2 C．【答案】D

【分析】取特殊值可判断ABC错误，由不等式的性质可判断D正确. 【详解】对A，取a1,b2，则a2b2，故A错误； 对B，取c0，则ac2bc2，故B错误； 对C，取a1,b2，则

11 ab

D．acbc

11，故C错误； ab对D，由不等式的性质“在不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变”可知D正确. 3．在ABC中，“cosA=cosB ”是“A=B ”的（ A. 充分不必要条件 【答案】C

4．在同一直坐标系中，一次函数yax1与二次函数yx2a的图像可能是（ ）

）

B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

A． B．C． D．

【答案】B

【详解】因为直线yax1恒过点（0，1），所以舍去A; 二次函数yx2a开口向上，所以舍去C;

当a0时，二次函数yx2a顶点在x轴上方，所以舍去D. 5．函数 y=|cos2xsin2x | 的最小正周期为（ ）

A、

 B、  C、 2 D、4 2【答案】A

6．已知向量a(4,2)，向量b(x,1)，若a//b，则|b|（ ）

C．5

2A．5 【答案】A

B．5

5D．

4【分析】根据向量共线的坐标表示，求出x的值，从而得到b的坐标，然后由向量模长的坐标公式求出|b|. 【详解】向量a(4,2)，向量b(x,1)，且a//b， 所以412x0，解得x2，

所以b2,1，所以|b|21225．

7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则( ) A．a＝1，b＝－4，c＝－11 B．a＝3，b＝12，c＝11 C．a＝3，b＝－6，c＝－11 D．a＝3，b＝－12，c＝11 【答案】D

【分析】根据二次函数图象的顶点坐标与坐标轴的交点坐标特点，利用方程组可解答． 【详解】∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标为（0，11）， ∵c=11，

又∵图象的顶点坐标为（2，﹣1），

b-=22a∵ 解得a=3，b=﹣12，c=11 24ac-b=-14a8．在等差数列an中，a35，a53，其前n项和为Sn，则S10的值为（ ） A．25 【答案】A

【分析】根据题意求出a1,d,利用求和公式直接计算即可. 【详解】设等差数列an的公差为d. 等差数列an中，a35，a53，

a2d5a711，，ana1n1d7n18n.

d1a14d3B．55 C．100 D．55

S1010a1a10107225. 2229．在各项均为正数的等比数列an中，若a1a79，则a2a6a4（ ） A．6 【答案】D

【分析】由等比数列的性质直接求得.

【详解】在等比数列an中，由等比数列的性质可得：

B．12

C．56

D．78

2由a4a1a79，解得：a43；

由2617可得：a2a6a1a79， 所以a2a6a492378.

10．下列函数图像相同的是（ ） A．ysinx与ysinx

2B．ysinx与ysinx

22D．ysin2x与ysinx

C．ysinx与ysinx 【答案】D

【分析】A：化简ysinxsinx，可得ysinx与ysinx的图象关于x轴对称；

B：化简ysinxcosx，ysinxcosx，可得ysinx与ysinx的图象关于x轴对称；

2222C：化简ysinxsinx，可得ysinx与ysinx的图象关于x轴对称；

D：化简ysin2xsinx，可得ysin2xysin2x与ysinx的图象重合， 【详解】A：因为ysinxsinx，所以ysinx与ysinx的图象关于x轴对称；

B：因为ysinxcosx，ysinxcosx，所以ysinx与ysinx的图象关于x轴对称；

2222C：ysinxsinx，所以ysinx与ysinx的图象关于x轴对称；

D：因为ysin2xsinx，所以ysin2xysin2x与ysinx的图象重合， 11．过点1,2且与直线2x3y40平行的直线方程为（ ） A．3x2y70 C．2x3y50 【答案】D

【分析】根据题意设线l的方程为2x3yc0(c4)，再根据经过点(1,2)，待定系数即可得答案.

B．3x2y10 D．2x3y80

【详解】由题可得，设平行于直线2x3y40的直线l的方程为2x3yc0(c4)， 因为直线过点(1,2)，所以26c0，解得c8， 所以直线l的方程为2x3y80.

212．在x的二项式展开式中，常数项为（ ）

x6A．160 【答案】A

B．-160 C．60 D．-60

【分析】求出二项展开式的通项，令x的指数等于零即可得出答案.

2【详解】解：二项展开式的通项为Tk1Cxk66kxkC6k26kx2k6,k0,1,2,3,4,5,6，

令2k60，则k3， 所以常数项为C63263x66160.

13. 5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( ) A．A45种 C．54种 【答案】D

【详解】 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C45种．

B．45种 D．C45种

14．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线D1C与BD所成的角为（ ）

A．30 【答案】C

B．45 C．60 D．90

【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.

【详解】连接B1D1与B1C，因为BD//B1D1，则CD1B1为所求，又△CD1B1是正三角形，CD1B160.

y22

15. 双曲线－x＝1的渐近线方程为( )

4A．y＝±2x 1

C．y＝±x

2【答案】A

y22

【详解】 因为双曲线的标准方程为－x＝1，则它的渐近线方程为：y＝±2x.故选A．

4

B．y＝±2x

2x 2

D．y＝±

二、填空题（本大题有15个小题，每小题２分，共30分。）

16．已知函数f(x)ax3bx3，若f17，则f1 . 【答案】13

【分析】根据题意函数f(x)ax3bx3，可构造g(x)f(x)3ax3bx，可知g(x)为奇函数，再根据奇函数的性质，可得g(1)g(1)，从而可得f1的值．

【详解】由题意得，函数f(x)ax3bx3，令g(x)f(x)3ax3bx 则可知g(x)定义域为R且关于原点对称，且满足g(x)g(x)

g(x)为奇函数,g(1)g(1),即

f(1)3f(1)3

已知f17,解得f113

16x217．函数fx的定义域为______．

lnx2【答案】2,33,4

【分析】根据对数函数的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可. 16x202x4且x3， 【详解】由函数的解析式可知：x20ln(x2)0所以函数的定义域为：2,3133,4，

118．计算求值8lg5lg2eln2lg0.01______．

49【答案】

2【分析】利用对数、指数的运算性质计算可得结果.

19【详解】原式2lg1022.

429故答案为：.

219．若不等式x2axb0的解集为x|2x1}，则ab___________. 【答案】1

【分析】根据根与系数关系求得a,b，由此求得ab. 【详解】由于不等式x2axb0的解集为x|2x1}，

a21a1所以，所以ab1.

b21b2故答案为：1

20．数列3，33，333，3333，…的一个通项公式为___________. 10n1 【答案】3【分析】先写出9，99，999，9999，…的通项公式，即可求出3，33，333，3333，…的通项公式

【详解】因为9，99，999，9999，…可改写为10-1，100-1，1000-1，10000-1，…，所以得到它的一个通项为10n1，

10n1. 因此3，33，333，3333，…的通项公式可表示成321．已知平面向量a，b满足a2b19，a3，若cosa,b【答案】2

【分析】利用模长公式，数量积的定义及运算法则即求. 【详解】由题知，a2b19，a3，cosa,b1， 41，则b_____． 4则a2ba2b2a4b4ab22a4b4abcosa,b19，

2225代值运算得：4b3b100，解得b2或（舍去），

4故b2．

1，则cos4___________. 222．已知sincos1【答案】或-0.125

8【分析】结合同角的平方关系以及正弦的二倍角公式得到sin2，进而结合余弦的二倍角公式即可求出结果.

111322，两边同时平方得到sincos2sincos，即1sin2，解得sin2，

444234【详解】因为sincos12从而cos412sin2.

8y2x223．若过椭圆1上焦点F1的直线交椭圆于点A，B，F2为椭圆下焦点，则三角形F2AB的周长为___________.

1612【答案】16

由椭圆的定义得AF1AF22a,BF1BF22a，根据椭圆的方程可得答案.

y2x21中，a4 【详解】在椭圆1612由椭圆的定义得AF1AF22a,BF1BF22a

所以AF1AF2BF1BF24a,即AF2+BF2AB4a16

故答案为：16

24．三个数1.70.3，log0.51.1，sin1按由小到大的顺序排列是________. 【答案】log0.51.1sin1 1.70.3

利用三角函数､指数函数以及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】1.70.31.701,log0.51.1log0.510,sin1(0,1),

三个数1.70.3,log0.51.1,sin1按由小到大的顺序排列为:log0.51.1sin11.70.3,

25．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，其所在的直线与直线BA1成异面直线的共有________条.

【答案】6

根据几何体依次写出与直线BA1成异面的直线即可得解.

【详解】正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，其所在的直线与直线BA1成异面直线如下：

AD,DC,DD1,B1C1,C1D1,C1C，一共6条.

26．某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,则选出的4人中恰有3名男生的概率 _. 【答案】

8 21【分析】4人中恰有3名男生只能是3名男生和1名女生的组合，利用古典概型的概率求解即可.

【详解】根据题意从10人中选出4人恰有3名男生只能是3名男生1名女生，

31C6C8概率为P44

C102127．已知sin4cos47 433，且,.则sin2a___________. 424【答案】【分析】利用三角恒等变换公式，即可求解.

442222【详解】解:sinacosasinacosasinacosacos2a

3cos2

433,2a,

2427, 4sin2a1cos22a1

28. 已知向量a＝(sin x，－1)，b＝3cos x，－2，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.则f(x)的解析式为________．

1－cos 2x13131

【详解】 f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝sin2x＋1＋3sin xcos x＋－2＝＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x

222222π

2x－， ＝sin6

29．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为________． 6【答案】{x| ＜x＜3}

5【分析】根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组求解即可.

2x30,【详解】解析：由5x60,

2x35x6,3x,2666解得x,即＜x＜3，故不等式的解集为{x|＜x＜3}．

555x3,30．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为________. 5【答案】

6【分析】先求总的摸球方法为C42，再求摸出的2个球中至少有1个是红球的摸球方法，然后可得概率.

112【详解】从4个球中随机摸出2个球共有C426种摸法，摸出的2个球中至少有1个是红球的摸法有C2C2C25种，

5所以摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为.

6三、解答题 （共 7 小题， 45 分，在指定位置作答，要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤）

231．(6分)设集合Axylnx1，Bxx3x100，Cx2m1x2m.

(1)求RAB；

(2)若BC，求m的取值范围. 【答案】(1),5

(2)1,

【分析】（1）求集合A，B，进而求出RAB；（2）根据BC，分C与C，进而求解m的取值范围.

(1)因为A1,，B2,5，

所以

RA,1，RAB,5.

(2)当C时，2m12m，解得:m1，满足BC. 当C时，2m12m，解得：m1. 因为BC，所以2m2或2m15，

解得：m4或m3，与m1矛盾. 综上，m的取值范围为1,.

32. (6分)如图，用一块宽为60cm的长方形铝板，两边折起做成一个横截面为等腰梯形的水槽（上口敞开），已知梯形的腰与底边的夹角为60°，求每边折起的长度为多少时，才能使水槽的横截面面积最大？最大面积为多少？

【解析】设每边折起的长度为xcm,则等腰梯形的下底为cm,上底为+（602x）（602x）2xcos60(60x)cm,高为３xcm,所以横截面面积为： ２133s[(602x)(60x)]•x3(x20)23003

224当x20时，Ｓ最大，最大值为3003。

所以，当每边折起的长度为20cm时，才能使水槽的横截面面积最大，最大面积为3003cm2.

33．(6分)已知数列an是一个公差为dd0的等差数列，前n项和为Sn，a2，a4，a5，成等比数列，且S515. （1）求数列an的通项公式： Sn（2）求数列的前10项和.

n【答案】（1）an6n；（2）

55． 2【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式；

1Sn11nS，令cnn，得到{cn}是首项为5，公差为的等差数列，然后求解数列的和即可．

nn22（2）推出

22【详解】（1）由a2、a4、a5成等比数列得：(a13d)a1da14d，即5da1d，

又∵d≠0，可得a15d；

54d15，解得d1，所以ana1n1d6n， 2而S55a1即数列{an}的通项公式为an6n．

（2）因为Snna1nn12S11n11nn2，所以n， dn22令cn11Sn，则cn1cn为常数，∵{cn}是首项为5，公差为的等差数列， n22109155Sn所以的前10项和为510．

n22234. (6分)已知函数f(x) ＝23sin ωxcos ωx＋2cosωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π，求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；

【详解】 (1)由题意知f(x)＝3sin 2ωx＋1＋cos 2ωx π

2ωx＋＋1， ＝2sin6

2π

∵周期T＝π，＝π，∴ω＝1，

2ωπ

2x＋＋1， ∴f(x)＝2sin6

ππ3ππ2π

令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 26263π2π

＋kπ，＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的单调递减区间为36

1235．(8分)已知抛物线y2pxp0的顶点为O，焦点坐标为,0．

22

（1）求抛物线方程；

（2）过点1,0且斜率为1的直线l与抛物线交于P，Q两点，求线段PQ的值．

【答案】（1）y22x．（2）26 p1，解之即得抛物线的方程；（2）设直线l方程为xy1，利用弦长公式求解. 22（1）由题得

P【详解】解：（1）∵y22px焦点坐标为,0

2∵

p1，p1， 22∵抛物线的方程为y22x．

（2）设直线l方程为xy1，设Px1,y1，Qx2,y2，

xy1联立2，消元得y22y20，

y2x∵120，y1y22，y1y22，

∵PQ112y1y2

112y1y22224y1y2 1124226．

∵线段PQ的值为26．

36. (7分)如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PC的中点．

（1）求证：EF//平面PAD ；（2）若平面PDC与平面ABCD所成的角为60，且PA4cm，求EF的长．

P

F D

C

A E B

（1）证明：取PD的中点G，连接AG、GF，

因为ABCD是矩形，E为AB中点，所以AE//DC，且AE1DC， 21DC， 2因为G、F分别为PD、PC中点，所以GF//DC，且GF所以GF//AE，且GF=AE，即四边形AEFG是平行四边形，

从而EF//AG，而AG平面PAD， 所以EF//平面PAD；

（2）解：因为PA平面ABCD，所以PADC， 因为ABCD是矩形，所以DCAD，又PA所以DC平面PAD，所以PDDC，

所以PDA是平面PDC与平面ABCD所成的角，即

ADA

P

G D

A

E

B

F

C

PDA60，

在RtPAD中，PDPA83，

sin603所以EFAG143PDcm． 2337．(6分)一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得-12分）.设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列和数学期望EX；

【分析】（1）X的取值范围为0,1,2,3，再依次求出对应的概率，从而可得X的分布列和数学期望； 11【详解】解： X的取值范围为0,1,2,3，每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为p，XB(3,)，

66175112511，P(X1)C3， P(X0)C1166216621603321P(X2)C6232111531，P(X3)C3， 1621662163所以X的分布列为：

X 0 1 2 3 P 125216 12525511123. 216727221622572 572 1216 所以E(X)0