《数理统计》考试题及参

《数理统计》考试题及参

一、填空题（每小题3分，共15分）

1，设总体X和Y相互，且都服从正态分布N(0,3)，而(X1,X2别来自X和Y的样本，则U2,X9)和(Y1,Y2,Y9)是分

X1Y21X9Y29服从的分布是_______ .解：t(9)．

2，设ˆ1与ˆ2都是总体未知参数的估计，且ˆ1比ˆ2有效，则ˆ1与ˆ2的期望与方差满足_______ . ˆ)E(ˆ), D(ˆ)D(ˆ)． 解：E(12123，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．

4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、性．

ˆ=_______ .解：β=ˆ(XX)1XY． 5，多元线性回归模型YXβ中，β的最小二乘估计是β二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设(X1,X2,____D___ .

（A）nX,Xn)(n2)为来自总体N(0,1)的一个样本，X为样本均值，S2为样本方差，则

N(0,1)； （B）nS22(n)；

F(1,n1).

(n1)X（C）

St(n)； （D）

(n1)X12Xi2n2i2，若总体XN(,2)，其中2已知，当置信度1保持不变时，如果样本容量n增大，则的置

信区间____B___ .

（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.

3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是____C___ .

（A）减小时也减小； （B）增大时也增大； （C）,其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立.

4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设ST为总离差平方和，Se为误差平方和，SA为效应平方和，则总有___A___ .

（A）STSeSA； （B）

SA22(r1)；

..

;

（C）

SA/(r1)Se/(nr)F(r1,nr)； （D）SA与Se相互.

5，在一元回归分析中，判定系数定义为R2S回，则___B____ . ST（A）R2接近0时回归效果显著； （B）R2接近1时回归效果显著； （C）R2接近时回归效果显著； （D）前述都不对. 三、（本题10分）设总体XN(1,2)、YN(2,2)，(X1,X2,22,Xn1)和(Y1,Y2,,Yn2)分别

是来自X和Y的样本，且两个样本相互，X、Y和SX、SY分别是它们的样本均值和样本方差，证明

(XY)(12)11Snn12证明：易知

22(n11)SX(n21)SYt(n1n22)，其中S.

n1n222XYN(12,2n12n2)， U(XY)(12)11n1n2N(0,1)．

由定理可知

2(n11)SX22(n11)，

22(n21)SY22(n21)．

由性和分布的可加性可得

2(n11)SX2(n21)SYV222(n1n22)．

由U与V得性和t分布的定义可得

(XY)(12)U11V/(n1n22)Snn12t(n1n22)．

x1x0e, 四、（本题10分）已知总体X的概率密度函数为f(x),其中未知参数0,

0, 其它(X1,X2,,Xn)为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．

解：（1）v1EXxf(x)dx01nxedx，用v1XiX代替，所以

ni11x..

;

1ˆnXi1niX．

1nˆ（2）E()E(X)E(Xi)E(X)，所以该估计量是无偏估计．

ni1五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为f(x;)(1)x,0x1，其中未知参数1，

(X1,X2,解：

Xn)是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计．

nn (1)(xi) , 0xi1i1L()

 0 , 其它ndlnL()nlnxi0，得 当0xi1时，lnL()nln(1)lnxi，令

d1i1i1nˆ1nlnxi1n．

iex,x>0;六、（本题10分）设总体X的密度函数为f(x;) 未知参数0，

x0,0,(X1,X2,Xn)为总体的一个样本，证明X是

1的一个UMVUE． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得

211I()E2lnf(x;)E22，

1的的无偏估计方差的C-R下界为 112[()]21．

21nI()nn22另一方面

E(X)1， VarX()即X得方差达到C-R下界，故X是

1， 2n1的UMVUE． 七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为S0.007公斤, 试问：（1）在显著性水平0.05下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？

..

;

2222参考数据: 0.025(9)19.023, 0.05(9)16.919, 0.025(8)17.535, 0.05(8)15.507．

解：（1）H0:0.005,2n1S2~28，则应有： 2222P20.05(8)15.507， 80.005,0.0580.007215.6815.507,所以拒绝假设H0，即认为苹果重量标准差指标未达到要具体计算得：20.0052求．

（2）新设 H0:0.005, 由220.02580.007217.535,15.6817.535, 则接受假设，

0.00522即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．

2八、（本题10分）已知两个总体X与Y，X~(1,1)，Y~(2,2)，1, 2, 1, 2未知，

222(X1,X2,,Xn1)和(Y1,Y2,2212,Yn)分别是来自X和Y的样本，求2的置信度为1的置信区间.

22解：设SX, SY分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分布定理可知

2(n11)SX12由F分布的定义可得

(n11)，

22(n21)SY222(n21)，

2(n11)SXF21(n11)(n21)2(n21)SY2222SX222SY1F(n11,n21)．

对于置信度1，查F分布表找F/2(n11,n21)和F1/2(n11,n21)使得 PF/2(n11,n21)FF,n21)1， 1/2(n11即

2222SX/SY12SX/SYP21， F1/2(n11,n21)2F/2(n11,n21)2222SX/SYSX/SY12, 所求2的置信度为1的置信区间为 ．

2F(n1,n1)F(n1,n1)2/2121/21九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．

解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．

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