简支梁的相关计算

创作编号：BG75314000198134887SX 创作者： 别如克*

教学队伍 教学内容 教学方法 实践教学 教学效果 教科研成果 课程特第十章 弯曲梁的设计 第一节 梁平面弯曲的概念和弯曲内力 、弯曲的概念 际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1，图10.1.2所示，这类杆件受力的共同特横向力）与杆轴线相垂直，变形时杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。 图10.1.1 火车轮轴 图10.1.2 起重机大梁 程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图10.1.3所示。 图10.1.3 梁的纵向对称

果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。这种弯曲曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。

、梁的计算简图及基本形式

上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。

一)、梁的简化

了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。

二）、荷载分类

用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：

、集中荷载 当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。

力偶 当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。如图示。它的单位为牛·米

·m）或千牛·米（kN·m）。

、均布载荷 沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，均布集度 q 为.1.4（c）所示。其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。

三）、梁的基本形式

按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种支况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。

、简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图10.1.5（a）。

、外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。如图10.1.5（

臂梁 一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图10.1.5（c）

图10.1.4 载荷类 图10.1.5 梁的类

上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。

、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算

梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。在外载，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截面上内力的方法是截面法。

图10.1.6 截面法求梁的内

1.6所示的简支梁，受集中力P1和P2作用。为了求出距A端支座为x处横截面m-m上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支座

。然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截开，并以左边部分为研究对象（图10.1.6(b)）。因为原来梁处于平衡状态，故左段梁在外

内力的共同作用下也应保持平衡。截面m-m上必有一个与截面相切的内力Q来代替右边部分对左边部分沿截面切线方

所起的约束作用；又因为RA与P1对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横截面m-m上

于载荷平面的内力偶，其力矩为M，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯曲时，横

存在两个内力因素，其中Q称为剪力，M称为弯矩。

力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。

1Q0 由 ΣFy = 0 得 RAP1 QRAP1(xa)0 由 ΣMC = 0 得 MRAxP MRAxp1(xa)

为横截面的形心。

若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力Q 和弯矩M，并且它们分别与 Q 和

、方向相反。

弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图10.1.7所示。凡使

凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图10.1.8所示。

图10.1.7 剪力的符 图10.1.8 弯矩的

上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：

于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的剪定。

于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。正负号由“外力矩左顺右弯矩为正”确定。

用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。

1 简支梁受集中力p1kN，力偶m1kNm，均布载荷q4kN/m，如图10.1.9所示，试求Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面上的

。

图10.1.9

简支梁

：（1）求支座反力。 MB(F)0, 即 P750RA1000mq0.52500

得 RA250N

即RAPq0.5RB0

Fy0,得 RB2750N

）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象）。 Ⅰ-Ⅰ Q1RA250N

M1RA2002500.250Nm

Ⅱ-Ⅱ Q2q0.4RB40.42.751.5kN M2RB400q0.4200275040010341030.40.2780Nm 42 图10.1.10（a）是薄板轧机的示意图。下轧辊尺寸表示在图10.1.10（b）中轧制力约为10kN,并假定均匀分布在轧范围内。试求轧辊截面上的弯矩及截面C的剪力。 图10.1.10 剪板机电 辊可简化为如图10.1.10（c）所示形式。轧制力均匀分布于长度为0.8m的范围内，故轧制力的载荷集度为 104qkN/m12.5103kN/m0.8 于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的，所以容易求出两段的约束反力为 104FAFB5103kN2 截面C左侧为研究对象，求得该截面上的剪力为 104FscFa5103kN2 跨度中点截面左侧MFA0.83q0.40.43150kN.m2的外力为FA和一部分均布载荷。以中点截面左侧为研究为 矩 、剪力图和弯矩图 一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的。如果取梁的轴线为x轴，以坐标x表示横截面的位置，则可表示为x的函数，即 QQ(x) MM(x) 述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各截面上的剪力和弯矩用图形平行于梁轴线的横坐标x来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x的这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。 用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力图和弯矩图往往是刚度计算中的重要步骤。 力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段，分段列出剪力和取横坐标x表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。 面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤 10.1.3 如图10.1.11（a）所示起重机横梁长l，起吊重量为P。不计梁的自重，试绘制图示位置横梁的剪力图并指出最大剪力和最大弯矩所在的截面位置。 图10.1.11 简支梁受集中力 1）绘制横梁的计算简图 根据横梁两端A、B轮的实际支承情况，将其简化为简支梁（图10.1.11（a）。起吊重化为作用于沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面C处的集中力。 ）计算A、B两端的支座的约束反力 根据静力平衡方程得 PbPaRBl ， l RA）建立剪力方程和弯矩方程 由于截面C有集中力p作用，梁AC端和BC段上任意截面左段研究对象的平衡方程别建立两段的剪力方程和弯矩方程。设AC段和BC段的任一截面位置分别用x表示 （图10.1.11（a）），并以左段计算剪力和弯矩，则方程为 段 Pbl， 0xa Q1RAM1RAxPbxxl， 0xa 段 Pal， axl Q2RB M2RB(lx)Pa(lx)l， axl ）绘制剪力图和弯矩图 由AC段和BC段剪力方程可知，两段的剪力分别为一正一负的常数，故剪力图是分别位和下方的两条平行线（图10.1.11(b)）。 两段的弯矩方程可知，弯矩图为两条斜直线，由边界条件可得出斜直线上两点的坐标值： 段 x10xa， M10；1， M1Pabl BC段 Pabl；x2l，M20 x2a， M2是便得到如图10.1.11(c)所示的横梁的弯矩图。 ）确定剪力和弯矩的最大值 由图10.1.11c，结合剪力方程，可以看出，当ab时，BC段各截面的剪力值最大；当段各截面的剪力值最大。小车行驶时，力P作用点的坐标发生变化，最大剪力值也随之发生变化。小车接近支座BPQmaxP剪力达到最大值。 图10.1.11c，结合弯矩方程，可以分析得出，集中力F作用的C点所在截面处有最大弯矩。当小车位于梁的中点时，即a乘积ab最大，所以最大弯矩值也最大，为 Pl4 Mmax0.1.4 如图10.1.12（a）所示简支梁，在全梁上受集度q的均布载荷。试作此梁的剪力图和弯矩图。 ：1）求支座反力。 由MA0及MB0得 2）列剪力方程和弯矩方程。 FAyFByql2 取A为坐标轴原点，并在截面x处切开取左段为研究对象，如图10.1.12（b）所示，则 FSFAyqxqlqx2(0xl) (10.1.1) 图10.1.12 简支梁受均布 qx2qlxqx2MFAyx222(0xl) (10.1.2) ）画剪力图。 式（10.1.1）表明，剪力FS是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线 qlxl,2 ql2 x0,FSFS画弯矩图。 式（10.1.2）表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图是一条抛物线。由方程 qlxqx2qql2ql22M(x)(lxx)(x)222228 lql2,既曲线顶点为（28），开口向下，可按下列对应值确定几点。 x M 0 0 l4 l2 3l4 l 0 ql23ql23ql232 8 32 剪力图与弯矩图分别如图10.1.12（c）、(d)所示。由图可知，剪力最大值 在两支座A、B内侧的横截面上，FSmaxql2Mmax8。 最大值在梁的中点，5 如图10.1.13（a）所示简支梁，在C点处受大小为Me的集中力偶作用。试作其剪力图和弯矩图。 ：1）求支反力。 MB0,FAylMe0, Mel图10.1.13 简支梁受集中力偶 ： FAyFy0FByFAy0 yFAyMel 列出剪力方程和弯矩方程。 Mel(0xl)x)FAy 点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。 段 Mexl M(x)FAyx(0xa) 段 MeM(x)FBy(lx)(lx)l(0xl) 画剪力图。 剪力方程知，剪力为常数，故是一水平直线，如图10.1.13（b）所示。 画弯矩图。 弯矩方程知，C截面左右段均为斜直线。 段 x0,M0;xa,MMeal BC段 xa,MMeb,lxl,M0 弯矩图如图10.1.13（c）所示。如ba,则最大弯矩发生在集中力偶作用处右侧横截面上，MmaxMebl。 析以上几例即可得出剪力图和弯矩图规律： 梁上没有分布载荷时，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。斜率为对应的剪力图的值，剪力为正时，弯矩图向上剪力为负时，弯矩图向下倾斜（\\）。 集中力F作用的截平面上，剪力图发生突变，突变的方向与集中力的作用方向一致；突变幅度等于外力大小，弯矩图现一个尖角。 梁上有均布载荷作用时，其对应区间的剪力图为斜直线，均布载荷向下时，直线由左上向右下倾斜(\\)，斜线的斜率荷的载荷集度q。对应的弯矩图为抛物线，剪力图下斜（\\）,弯矩图上凸（⌒），反之则相反。剪力图Q0的点其弯qlMmaxql2/82抛物线部分的最大值等于抛物线起点至最大值点对应的剪力图形的面积，如图10.1.12（d）所示，集中力偶Me作用的截面上，剪力图不变，弯矩图出现突变。Me逆时针时，弯矩图由上向下突变，Me顺时针时，弯矩突变。 前面总结了集中力、集中力偶和均布力作用时，剪力图和弯矩图的做图规律,下面我们根据这些规律快速而准确地做出和弯矩图。 13kN,P21kN的集中力作用（图10.1.14（a））。已知约束反力，RA2.5kN,RB1.5kN,其他0.1.6 简支梁受P示。试绘出该梁的剪力图和弯矩图. 。图10.1.14 解：（1）绘剪力图。剪力图从零开始,一般自左向右,逐段画出。根据规律可知，因A点有集中力RA,故在A点剪力图上突变2.5kN，从A点右侧到C点左侧，两点之间无力作用，故剪力图平行与x轴的直线。因C点有集中力P1,故在2.5kN向下突变3kN，C点左侧的剪力值为2.5kN，C点右侧的剪力值为0.5kN。同样的道理，依次，可完成其剪力图（b））。需要说明，剪力图最后应回到零。图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向。 （2）绘弯矩图。弯矩图也是从零开始，自左向右边，逐段画出。A点因无力偶作用，故无突变。因AC段剪力图为行线，故其弯矩图为一条从零开始的上斜线，其斜率为2.5（图10.1.14（c）中斜率仅为绘图方便而标注），C点的

12.5(kNm)。

CD段的弯矩图为一条从2.5kNm开始的下斜线，斜率为0.5，故D点的弯矩值为2.50.521.5(kNm)，同样的道

段弯矩图，最后回到零（图10.1.14（c））。

0.1.7 外伸梁受力如图10.1.15（a）所示，M4kNm，P10kN，RA6kN，RB16kN。其它尺寸如图所示

绘出梁的剪力图和弯矩图。

图10.1.15

：

）绘剪力图。根据规律画剪力图时可不考虑力偶的影响。因此，绘其剪力图时，从A点零开始，向下突变6，从6开行线至B点，向上突变16，在画X轴平行线，最后连D点向下突变10而回到零（图10.1.15（b））.

（2）绘弯矩图从A点零开始，画斜率为6的下斜线至C点，因C点有力偶作用，故弯矩图有突变，根据“顺上逆突变4，在画斜率为6的下斜线至B点，在B点转折，作斜率为10的上斜线至D点而回到零（图10.1.15（c））。

0.1.8 外伸梁受力如图10.1.16（a）所示，已知M16KNm，q2kN/m，p2KN，约束反力RA7.28KN，试绘出梁的剪力图和弯矩图，并求距A点4m处截面的剪力和弯矩。

：（1）绘制剪力图。

开始，向上突变7.2，AC段为x轴的平行线。CB段，剪力图从7.2下斜至B点，斜率为2，故B点左侧的剪力值为8.8，从8.8向上到B点右侧。BD段剪力图仍为斜率2的下斜线至D点左侧，因D点有集中力P，故向下突变回到零（图10.1.16（b））。剪力图

7.23.62=0的点可由几何关系求得，如：(m)。 ）绘弯矩图。 C段弯矩图为一条从零开始的斜率为7.2的上斜线。因C点有力偶，故弯矩图在C点 图 10.1.16 下突变1.6。CB段剪力图为一条下斜线，故对应的弯矩图为一条从1.6开始的上弯抛物线，最大值点应对应于Q=0的由对应的三角形面积求得 3.61.611.362 7.2的值也可由对应的三角形面积求得 83.611.3682 8.8也可暂不求此值，继续绘图，因B，D点无力偶，故弯矩图直接转折上弯至零，最后利用对应的剪力图梯形面积计算282 (62)需要注意，图10.1.16（b）中CB段剪力图能否下斜而过x轴？图10.1.16（c）中的CB段弯矩图能否上弯而过x轴？形几何关系预先测算而定。 ）求距A点4m处截面的剪力和弯矩。 截面剪力和弯矩可由图中几何关系直接求得。由图10.1.16（b）可知，该截面的剪力 21.63.2(KN) 图10.1.16（c）可知，该截面的弯矩 1.63.28.8(KNm)2 M11.36由上述各例可以看出，绘制剪力图和弯矩图的基本过程为：熟记规律，从左至右，从零开始，到点即停，标值判定（，最终回零。 第二节 梁的弯曲强度计算 纯弯曲时梁横截面上的正应力 面对梁弯曲时横截面上的内力进行了分析讨论。为了进行梁的强度计算，还需要进一步研究横截面上的应力情况。通面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，则梁的横截面上仅有正应力而这种弯曲称为纯弯曲。梁纯弯曲的强度主要决定于截面上的正应力，切应力居于次要地位。所以这里只讨论梁在纯弯上的正应力。 想分析正应力的分布规律并计算正应力，先是通过实验，观察其变形，提出假设。在这个基础上综合应用几何变形，学关系，找出变形及其应力的变化规律而推导出应力计算公式。 一）、实验观察 一矩形截面直杆，实验前，在梁的侧面上，画上垂直于梁轴的横向线 = 1 \\* ROMAN I－ = 1 \\* ROMAN I和 = 2 \\* 2 \\* ROMAN II及平行于梁轴的纵向线ab和cd，然后在梁的纵向对称平面内两端施加集中力偶M，使梁产生纯弯曲.1所示。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象： 横向线ac和bd仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度 纵向线ab和cd（包括轴线）都变成了弧线。且ab变成ab后缩短了，cd变成cd后伸长了 截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。 图10.2.1 梁的弯曲试验图 10.2.2 梁的中性层 据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： 平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。 单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。 以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称中性层和横截面的交线称为中性轴。如图10.2.2所示。 二）、变形的几何关系 于纯弯曲时，各层纵向纤维受到轴向拉伸和压缩的作用，因此材料的应力和应变的关系应符合拉压胡克定律E 知，若搞清应力分布规律，必须搞清应变的变化规律，为此，将变形后的梁中取一微段来进行研究，如图10.2.3所示。两截面 = 1 \\*\\* ROMAN I和 = 2 \\* ROMAN II－ = 2 \\* ROMAN II原来是平行的，现在相互倾斜了一个微小角度d。图中OO为中性层，设其，cd到中性层的距离为y形后中性层纤维长度仍为dX且dXd。距中性层为y，则纵向线cd的线应变为： cdcd(y)ddydycddd 任一纵向纤维的线应变ε与它到中性层的距离y成正比。 、变形的物理关系 单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得： EEy （ 10.2.1） 式表明了横截面上正应力的分布规律，即：横截面上任一点处的正应力与它到中性轴的距离成正比，与中性层距离相应力相等；距离中性层越远，正应力越大；中性轴上各点的正应力为零，由此可得横截面上各点的正应力分布情况，所示。为了准确计算正应力值，必须确定中性轴的位置与曲率半径的大小，而这又需要通过应力与内力间的静力学。 四）、静力学关系 图10.2.3 弯曲变形 图 10.2.4 弯曲正应力的分布规律 纯弯曲时，横截面上只有弯矩而无剪力，且弯曲变形时横截面绕中性轴Z转动。所以，横截面上所有内力合成的结果中性轴Z的弯矩M，而沿梁轴线的分量和对横截面对称轴的弯矩均为零。 过对静力学和截面形心进行分析可得如下结论： 时，横截面的中性轴必须通过截面的形心。 时，中性轴的曲率半径的计算公式为 1MEIZ （10.2.2） EIZ值越大，则梁弯曲的曲率半径越大，中性轴的曲率就越小，也就是梁的弯曲变形越小；反之，EIZ值越小，则梁越大。因此，EIZ值的大小反映了梁抵抗弯曲变形的能力，故EIZ称为梁的弯曲刚度。将式（10.2.2）带入（10.2.1弯曲梁横截面上任意一点正应力的计算公式为：  MyIZ （10.2.3） ――为截面上的弯矩； ——为截面上所求应力点到中性轴的距离； ——为横截面对中性轴Z的惯性矩。 是一个仅与横截面形状和尺寸有关的几何量，可以通过理论计算来求得。一般地，各种平面几何图形的IZ都求出并列用时直接查表即可。 式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。应用时M及y均可用绝对值代入，至于所求点的正应力是拉应力，可根据梁的变形情况，由纤维的伸缩来确定，即以中性轴为界，梁变形后靠凸的一侧受拉应力，靠凹的一侧受压应据弯矩的正负来判断，当弯矩为正时，中性轴以下部分受拉应力，以上部分受压应力，弯矩为负时，则相反。由公式1横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即 max MymaxIz （10.2.4） WzIzymax max MWZ （10.2.5） 称为抗弯截面模量，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关 （10.2.2）和（10.2.3）是纯弯曲梁的两个重要公式，前者用于计算梁的变形，后者用于计算梁横截面上的应力。弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平截面假设不再成立。但较精确的分析证明，对于跨度l与截面高度h的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁，其跨高比远大于5，因此，计算式可足够精确地推广应曲的情况。 1 如图10.2.5（a）所示矩形截面简支梁。已知：Ｆ＝5ｋＮ，ａ＝180ｍｍ，ｂ＝30ｍｍ，ｈ＝60ｍｍ。试分别求将横放时梁截面上的最大正应力。 图 10.2.5 简支梁受力 ：1）求支座反力。根据外力平衡条件列平衡方程，可解得支座反力为 5KNy 画出剪力图和弯矩图，如图10.2.5（b）、（c）所示。可见，在CD段横截面上剪力为零，故CD段为纯弯曲段，截面 MmaxMc900Nm MWZmax竖放时最大正应力。先由表10.2.1中查得矩形截面的截面弯曲系Wz的计算公式，代入式即可求出竖放时横大正应力为 MM900625010Pa50MPa20.030.06WZbh66 理可求得横放时横截面上的最大正应力为 max MM9006210010Pa100MPa2Mybh0.060.0366 此例可知：矩形截面梁的横截面放置方位不同，其最大正应力值也不同，即梁的弯曲强度不同，矩形截面梁的横截面时强度高。 梁的弯曲强度计算 进行梁的强度计算时，由于梁上的应力一般是随截面位置的不同而变化的，因此应首先找出最大应力所在截面，即危求出最大应力max。一般情况下，对于等截面直梁，其危险点在弯矩最大的截面上的上下边缘处，即最大正应力所在强度条件 安全可靠的工作，危险点的最大工作应力不能超过梁所用材料的许用应力，强度条件为： MmaxWZ( 10.2.6) 中，max为危险点的应力； Mmax、WZ分别为危险截面的弯矩和拉弯截面系数； 为梁材料的许用应力。 虑到材料的力学性质和截面的几何性质，判定危险点的位置是建立强度条件的主要问题。 )、关于危险点的讨论 对称截面 截面对称于中性轴，则称为对称截面，否则称为非对称截面。对于塑性材料，其许用拉应力和许用压应力相同。对称料的危险点可以选择距中性轴最远端的任一点计算。 于许用拉应力和许用压应力不同的脆性材料，由于脆性材料的许用压应力大于许用拉应力，所以只需计算受拉边的最lmaxl 非对称截面 于塑性材料，危险点一定出现在距中性轴最远处，所以这种情况下只需计算一个危险点。 MymaxIZ max于脆性材料，需要结合弯矩的正负及截面形状分别计算。如果距中性轴最远处的是受拉边则只需计算一个危险点；如最远处的是受压边则需要计算两个危险点。 强度条件为： MmaxylmaxlIzlmax ymaxMmaxyymaxyIz lmax和ymax分别为最大拉应力和最大压应力； l和y分别为许用拉应力和许用压应力； ylmax 和yymax分别是拉应力和压应力一侧最远点到中性轴的距离。 强度条件三类问题 拉压强度条件应用相似，弯曲强度条件同样可以用来解决以下三类问题。 强度校核 验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁在工作时是否安全。 截面设计 根据梁的最大载荷和材料的许用应力，确定梁截面的尺寸和形状，或选用合适的标准型钢。 确定许用载荷 根据梁截面的形状和尺寸及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许

于非对称截面，需按公式

74I1.3510mmZ0.2.2 图10.2.6（a）所示，托架为一T形截面的铸铁梁。已知截面对中性轴z的惯性矩 ,P4弯曲许用应力[1]=40MPa，[2]=80MPa，若略去梁的自重影响，使校核梁的强度。

）画其受力图（见图10.2.6（b））。

）绘制剪力图（见图10.2.6（c））.

图10.2.6 T形铸铁梁

绘制弯矩图（见图10.2.6（d）），并求最大弯矩值

Mmaxpl=4.5×1=4.5(kN.m)

(4)校核强度 Mmax4.5106lmaxylmax6020(MPa)[l]7I1.3510Z Mmax4.5106ymaxymax15050(MPa)[y]7IZ1.3510 所以此铸铁梁的强度足够。 例10.2.3 一矩形截面简支梁（见图10.2.7（a）），b200mm，h300mm，l4m，[σ]=10MPa。试求梁能承受的荷q。 图10.2.7 简支梁 ）求支座反力。 RARBql2 ）绘剪力图（10.2.7（b））。 ）绘弯矩图（10.2.7（c））,并求最大弯矩。 ql2qMmax422q(kNm)88 ）确定许可载荷 MmaxWZ[] bh22003002WZ3106(mm3)66 因 66 故 2q1031010 q15N/mm 2.4 简易吊车梁如图10.2.8（a）所示，已知起吊最大载荷Q50KN，跨度l10m,若梁材料的许用应力[σ]=180MPa自重，试求：（1）选择工字钢的型号；（2）若选用矩形截面，其高度比为h/b2时，确定截面尺寸；（3）比较两。 （1）绘制梁的受力图（10.2.8（b））,求约 力。 RARBQ/2 （2）绘制梁的剪力图（10.2.8（ c ））。 (3)绘制梁的弯矩图（10.2.8（ d ））, 并求最 弯矩。 Ql5010125(kNm)44 Mmax 图10.2.7 简支梁 ）选择工字钢型号 2.7 简支梁 Mmax125106Wz686813mm3687(cm3)[]182 查表得32a号工字钢WZ=692﹥687cm3,故可选用32a号工字钢，查得其截面面积为67.156cm2。 （5）若采用矩形截面。 bh22b3WZ687(cm3)63 687310(cm)2 b3 h2b20(cm) 2 Abh200(cm) (6)比较两梁的重量。在材料和长度相同的条件下，梁的重量之比等于截面面积之比， A矩2002.9867.156 A工 即矩形截面的梁的重量是工字钢截面梁的2.98倍。 第三节 拉伸（压缩）与弯曲组合的强度计算

面讨论了杆件在拉伸（压缩）、和弯曲变形时的强度和刚度计算。但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。我们把杆件在外力作用下同或两种以上的基本变形称为组合变形。工程中许多受拉（压）构件同时发生弯曲变形，称为拉（压）弯组合变形。处问题的基本方法是叠加法，先将组合变形分解为基本变形，再分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，起来。组合变形强度计算的步骤一般如下：

外力分析 将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况；

内力分析 分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置；

应力分析 在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。

建立强度条件 将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。

面举例说明拉（压）弯组合变形的强度计算。

1 悬臂吊车的计算简图如图10.3.1a所示，横梁AC用工字钢制成。已知最大吊重P=15kN，α=30 º，梁的许用应力MPa，试选择工字钢型号。 图10.3.1 横梁AC的内力及应用 （1）外力分析：取横梁AB为研究对象，受力分析如图10.3.1（b）所示。当小车移到点C时，梁处于最不利的受力状平衡条件知： MA0 TlABsinPlAC0 T PlAC15448kNlABsinsin302.5 FX0和FY0，可解出： HAHBTcos41.57kN RARBPTsinP9kN 外力分解两组,分别产生两种基本功变形,一组由HA、HB产生的压缩变形（图10.3.1c），一组由RA、RB、P产生的弯曲变形）。 ）内力分析：分别绘制轴力图（图10.3.1d）和弯矩图（图10.3.1g）。由内力图可知，B截面为危险截面，其上的内力别为： N41.57kN MmaxP1.5151.52.25kNm ）应力分析：B截面由轴向力产生的压应力和由弯矩产生的正应力分布如图10.3.1f所示，其中为叠加后的应见，危险点在B截面的下边缘处，为压应力。最大压应力值为： max NMmax4157022500AWZAWZ （4）选择工字钢型号：因为上式中的横截面面积A和抗弯截面模量Wz均为未知数，一般情况下需先按弯曲正应力条，再按组合变形进行校核。由弯曲条件得 Mmax22.510363322510m225cm100106 WZ查型钢表选取20a工字钢，其A=35.5 cm2, Wz=237 cm3。按组合变形校核强度： max4157022500106.6MPa35.5104237106 工程中，如果max不超过的5%，一般是允许的。这里(max)/6.6%，偏于不安全。重新选取20b号工字钢cm2 , Wz= 250cm3，则 ax4157022500100.5MPa39.5104250106 x只超过的0.25%，故选用20b号工字钢能满足梁的要求。 0.3.2 小型压力机的铸铁框架如图10.3.2所示。已知材料的许用拉应力160l30MPa，许用压应力y柱的强度确定压力机的最大许可压力P。立柱的截面尺寸如图，其中O为形心，z0=7.5cm，Iy=5310cm3，面积A=15×10 图10.3.2 立柱的受力分析及应力图 ：（1）外力分析：由于外力P与床身立柱的轴线平行但不重合，故立柱受偏心拉伸作用。 （2）内力分析：如图10.3.2所示，由截面法可得： NP My(0.35z0)P(0.350.075)P0.425P 见,立柱实质上承受轴向拉伸和弯曲组合变形。 （3）应力分析：如图10.3.2所示，由轴力N引起的正应力沿横截面均匀分布，其值为： NP103PMPaA1510315 弯矩My引起的正应力沿y方向分布如图所示。其值分别为： maxMyZ0Iy0.425P1030.0750.6PMPa8531010 （拉） maxMyZ1Iy0.425P1030.1251PMPa5310108 （压） 与叠加后得到总应力,仍在截面内侧有最大拉应力，外侧有最大压应力，其值分别为： P0.6P0.667PMPa15 （拉） maxmaxmaxPP0.933MPa15 （压） ）由强度条件确定许可载荷：由抗拉强度条件 maxl 得：Pl0.6673045kN0.667 由抗压强度条件 maxy 得：P≤Py0.933160171.5kN0.933 使立柱同时满足抗拉和抗压强度条件,压力P不应超过45kN。 第四节 梁的弯曲变形及刚度计算 与其它受力杆件一样，除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。使其工作时变形不致过大，否则会引起振动，影转精度，甚至导致失效。例如图10.4.1所示，齿轮轴的弯曲变形过大，就会影响齿轮的正常啮合，加速齿轮的磨损，承配合不好，造成传动不稳定，减少寿命。另一方面，弯曲变形也有可利用的一面。如车辆上的钢板弹簧，需要足够和车辆受到的冲击和震动，为了和利用梁的变形，就必须掌握梁的变形计算。 图10.4.1 齿轮轴 图10.4.2 梁的挠曲线 、弯曲变形的挠度与转角 梁在平面弯曲时，其轴线将在加载平面内弯成一条光滑的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。如图10.4.2所示。梁任心沿y轴方向的线位移，称为挠度，用y表示，通常规定：向上为正，向下为负。由于弯曲变形属于小变形，梁横截轴方向的位移很小，可忽略不计。 弯曲过程中，梁任一横截面相对于原来位置所转过的角度，称为转角，用θ表示，通常规定：逆时针为正，顺时针、梁的挠曲线方程 了表达梁的挠度与转角随着截面位置不同而变化的规律，取梁变形前的轴线为x轴，与x轴垂直向上的轴为y轴，如图1则挠曲线方程可表示为： yy(x) （10.4.1） 忽略剪力对变形影响的情况下，横截面在变形后仍垂直于挠曲线。这样，任一截面的转角θ也等于挠曲线在该截面处轴的夹角。由于θ很小，所以有 dyydx (10.4.2) tan10.4.2)称为梁的转角方程，它反映了挠度和转角的关系。 上可知，如果知道了梁的挠曲线方程和转角方程，梁各截面的挠度和转角也就知道了。 、用叠加法求梁的变形 梁服从胡克定律的条件下，梁的挠曲线方程和转角方程均与载荷成线性关系。因此，梁在复杂载荷作用下的变形，可几种简单载荷分别作用下的叠加。用叠加法可计算复杂载荷作用下梁的变形。即先分别计算每一种载荷单独作用时引度和转角，然后，再把同一截面的转角和挠度代数相加，就得到这些载荷共同作用下的该截面的挠度和转角。 简化计算，工程技术人员已经把梁在各种典型的简单载荷作用下的挠度和转角计算公式求出并列在相应的计算表中，，实际应用时只需查表选用即可。 图10.4.3 1 等直梁AB，已知分布载荷q，集中力P，长度l及抗弯刚度EIZ。试求C点的挠度。 ：用叠加法求C点的挠度，分别画出均布力q和集中力P单独作用时的计算简图。 表10.4.1，当均布载荷q单独作用时，C点的挠度为： 5ql4yc1384EIZ （负号说明挠度向下） 单独作用时，C点的挠度为： Pl3yc248EIZ 据叠加原理得q和P共同作用时的挠度： 5ql4Pl3ycyc1yc2384EIZ48EIZ 、梁的弯曲刚度条件 为了保证受弯梁能安全工作，必须梁上最大挠度和最大转角不超过许用值，即梁的刚度条件为： ymaxy max （10.4.3） 中，［ y ］为许可挠度；［θ］为许可转角。有关数据可参考有关规范及手册来确定［y ］值和［θ］值。 计时，通常根据强度条件，结构要求，确定梁的截面尺寸，然后，校核其刚度，对于刚度要求高的轴，其截面尺寸往件决定。 0.4.2 如图10.4.4（a）所示为一电动机轴，已知F2.5kN,q4kN/m,跨度l0.5m,a0.4mm,材料弹性GPa，许用应力80MPa,C截面的许用挠度［ y ］=0.4mm，试设计轴的直径d。 ：1）按强度条件设计轴径。先画出弯矩图，如图10.4.4（b）所示，求得最大弯矩为 M3Fa2.5100.2500N.mmax 据强度条件求得 MmaxWWd332Mmax  算得 32Mmax325003.99102m3.99mm68010 d3 3取d=40mm,则有 图10. Id4404mm4125.6103mm4 2）轴的刚度进行较核。如图10.4.4（c）、(d)所示，由叠加法求C截面的挠度得 ycyCFyCqFal25ql40.182mmy16EI384EI 因此，轴径取d=40mm可同时满足强度、刚度要求。 、提高梁的承载能力 前面分析可知，梁的变形与跨度l的高次方成正比，与截面惯性矩I成反比；又由强度条件（式10.2.6）可知，梁的弯Mmax的最大弯矩和弯曲截面系数WZ有关，所以，降低最大弯矩Mmax或增大抗弯截面模量WZ，均能提高强度。由此梁的承载能力，除合理地施加载荷和安排支承位置，以减小弯矩和变形外，主要应从增大I和W，以及减小跨度等方，以使梁的设计经济合理。工程上可采用以下几项措施。 （1）采用合理的截面形状 截面面积即材料重量相同时，应采用I和W较大的截面形状，即截面积分布应尽量远离中性轴。因离中性轴较远处正而靠近中性轴处正应力很小，这部分材料没有被充分利用。若将靠近中性轴处的材料移到离中性轴较远处，如将矩形截面，则可提高惯性矩和抗弯截面模量，即提高抗弯能力。同理，实心圆截面若改为面积相等的圆环形截面也可提高外，合理的截面形状应使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到相应的许用应力值。对于抗拉和抗压强度相等的宜采用中性轴是对称轴的截面(工字形)。对于抗拉和抗压强度不相等的脆性材料，宜采用中性轴不对称的截面(如T字 采用变截面梁 上述材料在梁的某一截面合理安排外，还有一个材料沿梁的轴线如何合理安排问题。 截面的截面尺寸是由最大弯矩决定的。故除最大弯矩所在截面外，其余部分材料未被充分利用。为了节省材料和减轻变截面梁，即在弯矩较大的部位采用较大的截面，在弯矩较小的部位采用较小的截面。 ）、减小跨度或增加支承 梁的变形与梁的跨度l高次方成正比，故减小跨度是提高梁抗弯强度和抗弯刚度的有效措施。如在车床车工件时在工加装尾架顶针即为此目的。 第五节 疲劳破坏 一、动载荷和交变应力 一）动载荷的概念 研究直杆的拉（压）、梁的弯曲和圆轴的扭转等的变形和强度时，都是把外载荷的大小和方向看成是不随时间变化来种大小和方向不随时间而变化的载荷称为静载荷。然而在工程实际中，大多数零件工作时所受到的载荷并不是静载荷合的齿轮、内燃机的连杆、高速旋转的砂轮等等，在工作中所受的载荷明显要随时间而变化，或者是短时间内有突变称为动载荷。 二）交变应力 程中许多构件处于随时间作周期性变化的应力下工作，成周期性变化的应力称为交变应力。例如齿轮的轮齿每啮合一点的弯曲应力就由零变化到某一最大值，然后再回到零（如图10.5.1）。齿轮连续转动时，A点的应力即作周期变化.5.2(a)中的转轴，虽然所受载荷F的大小和方向并不随时间变化，但由于轴的转动，截面A 的弯曲应力σ也随时间（图b），其变化规律如图c所示。这种随时间作周期性变化的应力，称为交变应力。交变应力每重复变化一次称为环，如图10.5.3所示，重复变化的次数称为循环次数。图中表示应力变化的曲线称为应力循环曲线。为了能直观地反的变化规律，便于分析受动载荷作用地轴及杆件的强度，就要分析交变应力循环的规律和类型。 图 10.5.1 齿轮啮合 图 10.5.2 转动圆轴的交变应交变应力的参数 力变化过程中，最小应力min和最大应力max之比称为循环特性，用r表示 rminmax 大应力和最小应力的平均值称为平均应力，用m表示 mminmax2 力和最小应力的代数差的一半称为应力幅，用a表示 图 10.5.3 amaxmin2 交变应力的类型 程中常见的交变应力的类型有以下几种： 称循环的交变应力。 应力循环中最大应力和最小应力大小相等，而符号相反的交变应力，其应力循环特征为  min1max 称循环的交变应力。 应力循环中最大应力与最小应力数值不等的交变应力，其应力循环特征 minmax 动循环的交变应力。 在非对称循环中，最小应力等于零的交变应力。此时，循环特性 min0max 践证明，在交变应力作用下的构件，虽然其内部的应力低于材料的屈服点应力，但即使是塑性好的材料，也会发生断坏时没有明显的塑性变形。在交变应力作用下，构件发生断裂的现象称为疲劳失效。 、疲劳破坏 件在交变应力作用下发生的破坏现象，称为“疲劳破坏”或“疲劳失效”，简称疲劳。疲劳失效与静载荷作用下的强着本质的区别。在交变应力作用下，经过一定的应力反复变化后，在构件内最大应力远低于屈服点时，构件也会发生。即使塑性好的材料，在断裂前也没有明显的塑性变形。如图所示，是构件疲劳破坏时的断口示意图。从图中可看出的断口有两个截然不同的区域，即光滑区和粗糙区。这种断口特征，可根据疲劳破坏的成因来解释。 （一）疲劳破坏的特点与原因简述 与静载作用下的强度破坏有很大的差别。大量实验结果以及实际构件的疲劳失 现象表明，构件在交变应力作用下发生疲劳失效时，具有以下明显的特征：

即使交变应力的最大值小于材料的强度极限，甚至屈服点时，构件在经过一定次数的应力循环后，也能发生破坏；

即使是塑性材料，破坏时也无显著变形，而是发生突然脆性断裂；

疲劳破坏断口具有明显的光滑区和粗糙区。光滑区是裂纹扩展所致，粗糙区是裂缝前沿应力集中导致突然脆断所致。所示。

成这种破坏特点的原因通常是：当交变应力经过了一定次数的循环后，在构件上最大应力处或材质薄弱处就产生了细。有时材料表面的加工痕迹、缺陷等本身就是裂纹源。随着应力循环次数的增加，裂纹逐渐扩大；在应力交替过程中面的材料时而压紧，时而分开，不断反复，从而形成了断口处的光滑区域。随着裂纹的不断扩展，构件的有效承载面小，并在裂纹交口处形成高度的应力集中。当裂纹扩大到一定程度后，就会在某次偶然的振动或冲击下，发生突然的从而形成断口处的粗糙颗粒状区域。

程中大部分零件的损坏都属于疲劳破坏。疲劳破坏是在没有明显塑性变形的情况下突然发生的，具有较大的危险性，是严重的。因此，对交变应力引起的疲劳破坏应引起足够的重视，疲劳计算也就显得尤为重要。

二）、疲劳极限

上述分析可知，构件发生疲劳失效时，所受到的最大应力低于静载下材料的屈服极限或强度极限。所以不能用静载强衡量疲劳强度的标准，要用实验的方法测得材料在交变应力下的极限应力值（称为材料的疲劳极限）作为疲劳强度指

料的疲劳极限是指材料试样经过无穷多次应力循环而不发生破坏时，应力循环中最大应力的最高限，又称为持久极限的最大工作应力和使用寿命（即应力循环次数）之间的关系可用如图10.5.4所示的疲劳曲线来表示。

0.5.4 疲劳断口 图10.5.5 疲劳曲线

疲劳曲线图中可以看出，交变应力的最大值越大，则构件的应力循环次数就越少，即构件的寿命越短；反之，则应力多，寿命越长。当最大应力降低到某一值时，疲劳曲线趋于水平，这表示构件在此交变应力下可经历无数次的应力循疲劳破坏，这一应力值称为该材料的疲劳极限，在图中以疲劳曲线的水平渐近线的纵坐标表示。若交变应力为对称循

极限用1表示；若为脉动循环则用

0表示。根据大量实验结果可得，材料的疲劳极限与其静强度极限之间存在一定

，而且对不同的变形和不同的应力循环特性，即使是同一种材料，这一数量关系也不同，即疲劳极限不同。由试验可变形和交变应力类型作用下的材料疲劳极限与静强度极限之间的数量关系如下：

曲对称循环

10.4b

（压）对称循环

10.28b

10.22b

转对称循环

这一近似关系中可知，材料的持久极限远小与其强度极限。也就是说，在交变应力作用下，材料抵抗破坏的能力显著

试验结果还表明，同一种材料在不同的应力循环特性下的持久极限1数值不同。同一种材料在相同的基本变形下，以

环时的持久极限为最低。因此，实际工程中以材料在对称应力循环下的持久极限作为材料疲劳强度的基本指标。

思考与练习

1 梁弯曲时横截面上的内力有哪些？它们的符号是如何规定的？

2 作用在梁上的载荷通常有哪几种？

3 梁弯曲时，怎样判断梁上的危险截面和危险点？

4 空心截面梁的强度比实心截面梁的强度大，这种说法正确吗？

5 怎样解释“在梁上集中力作用处剪力图发生突变，弯矩图发生转折”和“在集中力偶作用处弯矩图发生突变而剪”？

6 试求图示各梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。

题10.6图 试列出图示梁的剪力、弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，并求出FQmax和Mzmax。 题10.7图 试按已绘制的剪力图和弯矩图确定作用于梁上的全部外载荷的大小、方向及作用 题10.8图 电动机带动皮带轮转动，已知轮的重量G =600 N，直径D =200 mm，皮带 FT1 = 2FT2 。若电动机功率P = 14kW，转速n = 950 r/min ，试绘出AB 轴的内

题10 .9图

10 外伸梁承受载荷如图所示，已知横截面为22a工字钢，试求梁横截面上的最大正应力和最大切应力，并指出其作

题10．10图

0.11．圆截面梁的承载情况如图所示，其外伸部分为空心圆截面，试作弯矩图，并求该梁的最大正应力。

题10．11图

12 图示一端外伸的轴在C处受飞轮自重G=20kN的作用，轴材料的许用应力120MPa，E=200GPa，轴承B处的

0.5。试设计轴的直径。

13 轴受力如图所示，已知FP=3.6kN，d=32mm，材料的许用应力100MPa，E=200GPa，要求加力点处C截面的挠

用挠度0.05mm，试校核该轴的强度与刚度。

题10 .12图 题10.13图

14 No25a槽形截面简支梁如图所示。已知材料的许用应力［σ］＝１６０ＭＰａ，在截面竖放和横放两种情况下，用弯曲力偶矩M0的大小。

0.15 图示承受均布载荷的简支梁，由两根竖向放置的普通槽钢组成，已知q=100kN/m，l=4m；材料的许用应力［ＭＰａ，E=200Gpa；梁的许挠度［ν］＝０.００１ｌ，试确定槽钢的型号。

题10.14图 题10.15图

16 如图示梁AC的截面为No10工字钢，B点用圆截面钢杆BD悬挂，已知d=20mm，梁和杆的材料许用应力［σ］＝１，试求许用均布载荷ｑ。

17 简支梁承受载荷如图所示，已知横截面为28a号工字钢，其材料许用应力［σ］＝１７０ＭＰａ，试校核此梁的

题10.16 图

题10.17图

0.18 如图所示起重构架，梁ACD由两根槽钢组成。已知a=3m，b=1m，F=30kN，梁材料的许用应力［σ］＝１４０Ｍ槽钢的型号。

0.19 图示简支梁AB上受载荷FP=20kN的作用，梁的跨度l=2.5m，横截面为矩形，其高度h=100mm，宽度b=60mm。３００，材料的许用应力［σ］＝８０ＭＰａ，试校核此梁的强度。

题10.18图

创作编号：BG75314000198134887SX 创作者： 别如克*