2016年四川省甘孜州中考数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分 1．（4分）（2016•甘孜州）﹣3的绝对值是（ ） A．
B．﹣ C．3
D．﹣3
有意义的x的取值范围是（ ）
2．（4分）（2016•甘孜州）使分式
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 3．（4分）（2016•甘孜州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2016•甘孜州）某自治州自然风景优美，每天吸引大量游客前来游览，经统计，某段时间内来该州风景区游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ） A．36×103 B．0.36×106 C．C、0.36×104 D．3.6×104 5．（4分）（2016•甘孜州）在直角坐标中，点P（2，﹣3）所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（4分）（2016•甘孜州）某学校足球兴趣小组的五名同学在一次射门训练中，射进球门的次数分别为：6，7，7，8，9．这组数据的众数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（4分）（2016•甘孜州）下列计算正确的是（ ） A．4x﹣3x=1 B．x2+x2=2x4 C．（x2）3=x6 D．2x2•x3=2x6 8．（4分）（2016•甘孜州）将y=x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ） A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2 9．（4分）（2016•甘孜州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 10．（4分）（2016•甘孜州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径
的长为（ ）
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A．π B．2π D．8π
二、填空题：每小题4分，共16分 11．（4分）（2016•甘孜州）分解因式：a2﹣b2=______． 12．（4分）（2016•甘孜州）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是______． 13．（4分）（2016•甘孜州）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为______． 14．（4分）（2016•甘孜州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是______．
C．4π
三、解答题：本大题共6小题，共44分 15．（8分）（2016•甘孜州）（1）计算：（2）解方程组：
．
+（1﹣
）0﹣4cos45°．
16．（4分）（2016•甘孜州）化简：+．
17．（7分）（2016•甘孜州）某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A，B，C，D种不同类型的套餐．实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型（必选且只选一种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
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（1）在这次调查中，一共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢D套餐的学生的人数． 18．（7分）（2016•甘孜州）如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B处仰望树顶C，仰角为30°，已知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）
19．（8分）（2016•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求点C的坐标及△AOB的面积．
20．（10分）（2016•甘孜州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H． （1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：H为CE的中点； （3）若BC=10，cosC=
，求AE的长．
四、填空题：每小题4分，共20分
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21．（4分）（2016•甘孜州）若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为______． 22．（4分）（2016•甘孜州）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则m的值为______．
23．（4分）（2016•甘孜州）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为______．
24．（4分）（2016•甘孜州）在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y=（x＞0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是______． 25．（4分）（2016•甘孜州）如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半圆上，连接AC，BC，则
=______．
五、解答题：本大题共3小题，共30分 26．（8分）（2016•甘孜州）某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示： A型客车 B型客车 载客量（人/辆） 45 28 租金（元/辆） 400 250
经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的代数式填写下表： 车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元） A型客车 x 45x 400x B型客车 13﹣x ______ ______ （2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？ 27．（10分）（2016•甘孜州）如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE． （1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示） ①求证：BG⊥CE；
第4页（共22页）
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值．
28．（12分）（2016•甘孜州）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由． （3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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2016年四川省甘孜州中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题：每小题4分，共40分 1．（4分）（2016•甘孜州）﹣3的绝对值是（ ） A．
B．﹣ C．3
D．﹣3
【分析】根据绝对值的定义，即可解答． 【解答】解：|﹣3|=3， 故选：C．
2．（4分）（2016•甘孜州）使分式
有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵分式
有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1． 故选A． 3．（4分）（2016•甘孜州）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：A、球的俯视图是圆，故本选项错误； B、正方体的俯视图是正方形，故本选项正确； C、圆锥的俯视图是圆，故本选项错误； D、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误． 故选B． 4．（4分）（2016•甘孜州）某自治州自然风景优美，每天吸引大量游客前来游览，经统计，某段时间内来该州风景区游览的人数约为36000人，用科学记数法表示36000为（ ） A．36×103 B．0.36×106 C．C、0.36×104 D．3.6×104
【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：36000用科学记数法表示为3.6×104． 故选：D． 5．（4分）（2016•甘孜州）在直角坐标中，点P（2，﹣3）所在的象限是（ ）
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特点，可以确定点P的位置，本题得以解决．
【解答】解：∵在直角坐标中，点P（2，﹣3）， ∴点P在第四象限， 故选D． 6．（4分）（2016•甘孜州）某学校足球兴趣小组的五名同学在一次射门训练中，射进球门的次数分别为：6，7，7，8，9．这组数据的众数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由于众数是一组数据中次数出现最多的数据，由此可以确定数据的众数． 【解答】解：依题意得，7出现了二次，次数最多， 所以这组数据的众数是7． 故选B． 7．（4分）（2016•甘孜州）下列计算正确的是（ ） A．4x﹣3x=1 B．x2+x2=2x4 C．（x2）3=x6 D．2x2•x3=2x6
【分析】根据合并同类项的法则只需把系数相加减，字母和字母的指数不变得出A和B不正确；根据幂的乘方底数不变、指数相乘得出C正确；根据同底数幂的乘法底数不变，指数相加得出D不正确．
【解答】解：A、4x﹣3x=x，故本选项错误； B、x2+x2=2x2，故本选项错误； C、（x2）3=x6，故本选项正确； D、2x2•x3=2x5，故本选项错误； 故选C． 8．（4分）（2016•甘孜州）将y=x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ） A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2 【分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），由于点（0，0）向上平移2个单位得到的点的坐标为（0，2），则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y=x2+2． 【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位得到的点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线的解析式为y=x2+2． 故选：A． 9．（4分）（2016•甘孜州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）
A．2 B．3
C．4
D．5
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【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等角对等边可得BE=DE，然后求出△AED的周长=AB+AD，代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵ED∥BC，
∴∠CBD=∠BDE， ∴∠ABD=∠BDE， ∴BE=DE，
△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD， ∵AB=3，AD=1，
∴△AED的周长=3+1=4． 故选C． 10．（4分）（2016•甘孜州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径
的长为（ ）
A．π B．2π C．4π D．8π
【分析】由每个小正方形的边长都为1，可求得OA长，然后由弧长公式，求得答案． 【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1， ∴OA=4，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′， ∴∠AOA′=90°， ∴A点运动的路径
的长为：
=2π．
故选B．
二、填空题：每小题4分，共16分 11．（4分）（2016•甘孜州）分解因式：a2﹣b2= （a+b）（a﹣b） ． 【分析】直接利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）， 故答案为：（a+b）（a﹣b）．
12．（4分）（2016•甘孜州）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是
．
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，其等可能的情况有2个，求出正面朝上的概率即可． 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，
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则P（正面朝上）=， 故答案为：
13．（4分）（2016•甘孜州）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 6 ．
【分析】根据直角三角形的斜边与一条直角边，可利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3， ∴另一直角边长为
=4．
该直角三角形的面积S=×3×4=6．
故答案为：6． 14．（4分）（2016•甘孜州）如图，已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），则关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是 x=2 ．
【分析】函数图象的交点坐标的横坐标即是方程的解．
【解答】解：∵已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4）， ∴关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是x=2， 故答案为：x=2．
三、解答题：本大题共6小题，共44分 15．（8分）（2016•甘孜州）（1）计算：+（1﹣）0﹣4cos45°． （2）解方程组：
．
【分析】（1）由a0=1以及特殊角的三角函数值，可得出（1﹣）0=1，cos45°=
，将其
代入算式中即可得出结论；
（2）根据用加减法解二元一次方程组的步骤解方程组即可得出结论． 【解答】解：（1）原式=
+1﹣4×
，
=2+1﹣2， =1．
（2）方程①×2+②得：3x=9，
第9页（共22页）
方程两边同时除以3得：x=3， 将x=3代入①中得：3﹣y=2， 移项得：y=1． ∴方程组的解为
16．（4分）（2016•甘孜州）化简：
+
．
．
【分析】线通分变为同分母分式，然后再相加即可解答本题． 【解答】解：
+
===
．
+
17．（7分）（2016•甘孜州）某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A，B，C，D种不同类型的套餐．实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型（必选且只选一种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 100 名学生； （2）请补全条形统计图；
（3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢D套餐的学生的人数． 【分析】（1）根据喜爱A种套餐的人数和百分比求解即可； （2）依据总人数等于各部分的和可求得喜爱C套餐的人数；
（3）先求得喜欢D套餐人数所占的百分比，然后用总人数乘百分比即可． 【解答】解：（1）40÷40%=100人， 这次调查中一共抽取了100人． 故答案为：100．
（2）100﹣40﹣20﹣10=30人． 补全条形统计图如图所示：
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（3）10÷100=10%，1200×10%=120人． 全校喜欢D套餐的学生的人数大约为120人． 18．（7分）（2016•甘孜州）如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部E处5m的B处仰望树顶C，仰角为30°，已知小丽的眼睛离地面的距离AB为1.65m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）
【分析】过点A作AD⊥CE于点D，根据矩形的判定定理证出四边形ABED为矩形，由此即可得出AD=5，DE=1.65，在Rt△ACD中通过解直角三角形以及特殊角的三角函数值即可得出CD的长度，再根据线段间的关系即可得出结论． 【解答】解：过点A作AD⊥CE于点D，如图所示． ∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD⊥DE， ∴四边形ABED为矩形， ∴AD=BE=5，DE=AB=1.65．
在Rt△ACD中，AD=5，∠CAD=30°， ∴CD=AD•tan∠CAD=5×
≈2.88，
∴CE=CD+DE=2.88+1.65=4.53≈4.5． 答：这棵树大约高4.5米．
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19．（8分）（2016•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求点C的坐标及△AOB的面积．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）令一次函数表达式中x=0求出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点A、B的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣2）在反比例函数y=的图象上， ∴k=﹣4×（﹣2）=8，
∴反比例函数的表达式为y=；
∵点B（m，4）在反比例函数y=的图象上， ∴4m=8，解得：m=2， ∴点B（2，4）． 将点A（﹣4，﹣2）、B（2，4）代入y=﹣ax+b中， 得：
，解得：
，
∴一次函数的表达式为y=x+2． （2）令y=x+2中x=0，则y=2， ∴点C的坐标为（0，2）．
∴S△AOB=OC×（xB﹣xA）=×2×[2﹣（﹣4）]=6．
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20．（10分）（2016•甘孜州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H． （1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：H为CE的中点； （3）若BC=10，cosC=
，求AE的长．
【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；
（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH； （3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC=5，在Rt△CDH中可计算出CH=，则CE=2CH=2，
然后计算AC﹣CE即可得到AE的长． 【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下： 连结OD、AD，如图， ∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD， 而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连结DE，如图，
第13页（共22页）
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形， ∴∠DEC=∠B， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠DEC=∠C， ∵DH⊥CE，
∴CH=EH，即H为CE的中点；
（3）解：在Rt△ADC中，CD=BC=5， ∵cosC=∴AC=5
=，
=
，
，
在Rt△CDH中，∵cosC=∴CH=，
∴CE=2CH=2，
∴AE=AC﹣CE=5﹣2
=3．
四、填空题：每小题4分，共20分
21．（4分）（2016•甘孜州）若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为 8 ． 【分析】原式可以化成2（x2﹣3x），代入求值即可． 【解答】解：原式=2（x2﹣3x）=2×4=8． 故答案是：8． 22．（4分）（2016•甘孜州）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则m的值为 3 ．
【分析】由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于可得方程，继而求得答案． 【解答】解：根据题意得：解得：m=3． 故答案为：3．
23．（4分）（2016•甘孜州）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 （8，0） ．
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=，
【分析】根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．
【解答】解：∵点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0）， ∴OP1=1，OP2=2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3， ∴
=
，即=
，
解得，OP3=4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4， ∴
=
，即=
，
解得，OP4=8，
则点P4的坐标为（8，0）， 故答案为：（8，0）．
24．（4分）（2016•甘孜州）在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y=（x＞0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是 2 ．
【分析】根据题意得出：当P为直线y=x与反比例函数y=（x＞0）的交点时线段OP长度的最小，再求出P点的坐标，从而得出则线段OP的长度的最小值．
【解答】解：根据题意可得：当P为直线y=x与反比例函数y=（x＞0）的交点时则线段OP长度的最小， 由
得：
或，
）， =2，
（舍去），
则P点的坐标为（则线段OP=
故答案为：2． 25．（4分）（2016•甘孜州）如图，正方形CDEF的顶点D，E在半圆O的直径上，顶点C，F在半圆上，连接AC，BC，则
= ．
第15页（共22页）
【分析】首先设正方形CDEF的边长是a，应用勾股定理，求出半圆的半径是多少；然后应用圆周角定理并解直角三角形，求出
的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接CO，设正方形CDEF的边长是a， 则DO=， 在Rt△CDO中， CO=
，
=
=a
a，
a，
∴AO=CO=∴AD=
a﹣=
∵∠ACB=90°， ∴
=tan∠BAC=
=
=
．
故答案为：．
五、解答题：本大题共3小题，共30分 26．（8分）（2016•甘孜州）某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示： A型客车 B型客车 载客量（人/辆） 45 28 租金（元/辆） 400 250
经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的代数式填写下表： 车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元） A型客车 x 45x 400x
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B型客车 13﹣x 28（13﹣x） 250（13﹣x） （2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？ 【分析】（1）根据“B型车的载客量=租的辆数×满载人数”以及“租B型车应付租金=每辆的租金×租的辆数”即可得出结论；
（2）设租车的总费用为W元，根据“总租金=租A型车的租金+租B型车的租金”即可得出W关于x的函数关系式，再根据共500人参加社会实践活动，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（13﹣x）辆， B型车的载客量28（13﹣x），租金为250（13﹣x）． 故答案为：28（13﹣x）；250（13﹣x）．
（2）设租车的总费用为W元，则有：W=400x+250（13﹣x）=150x+3250． 由已知得：45x+28（13﹣x）≥500， 解得：x≥8．
∵在W=150x+3250中150＞0，
∴当x=8时，W取最小值，最小值为4450元．
故租A型车8辆、B型车5辆时，总的租车费用最低，最低为4450元． 27．（10分）（2016•甘孜州）如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE． （1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示） ①求证：BG⊥CE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求
的值．
【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG=
GE=
x，
由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=DM=
AB=
x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出x，于是可计算出
的值．
x，所以GM=
【解答】（1）证明：如图①， ∵AD为等腰直角△ABC的高，
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∴AD=BD，
∵四边形DEFG为正方形， ∴∠GDE=90°，DG=DE， 在△BDG和△ADE中
，
∴△BDG≌△ADE， ∴BG=AE；
（2）①证明：如图②， ∵四边形DEFG为正方形， ∴△DEG为等腰直角三角形， ∴∠1=∠2=45°，
由（1）得△BDG≌△ADE， ∴∠3=∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°， ∴BG⊥GE；
②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x， ∴DG=
GE=
x，
∵△BDG≌△ADE， ∴BG=AE=4x， 在Rt△BGA中，AB=
∵△ABD为等腰直角三角形， ∴∠4=45°，BD=
AB=
x，
=
=5x，
∴∠3=∠4，
而∠BDM=∠GDB， ∴△DBM∽△DGB， ∴BD：DG=DM：BD，即∴GM=DG﹣DM=
x﹣
x：x=
x=DM：x，
x，解得DM=
x，
∴==．
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28．（12分）（2016•甘孜州）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由． （3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；
（3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）． ∴﹣3=a﹣4， ∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3， （2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4， ∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4， ∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
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令y=0，
∴x2+2x﹣3=0， ∴x1=﹣3，x2=1， ∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20， ∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形， （3）存在，N（﹣1+
，）或N（﹣1﹣
，），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物
线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上， 如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2， ∴BC=3，CM=， ∴S△BCM=BC×CM=×3
×
=3，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等， ∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC， ∴S△ABN=S△BCM=3， ∵A（1，0），B（﹣3，0）， ∴AB=4，
∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3， ∴n=，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上， ∴m2+2m﹣3=， ∴m1=﹣1+∴N（﹣1+
，m2=﹣1﹣
，
，）．
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，）或N（﹣1﹣
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上， ∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧， 过点M作MN∥BC，交抛物线于点N， ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3， 设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①， ∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②， 联立①②得（舍），
，
∴N（﹣2，﹣3）， 即：N（﹣1+，）或N（﹣1﹣
，）或N（﹣2，﹣
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3）．
参与本试卷答题和审题的老师有：sdwdmahongye；ZJX；gbl210；zgm666；HLing；lantin；dbz1018；星期八；zcx；sjzx；sks；曹先生；梁宝华；gsls；zhjh；1286697702；放飞梦想；星月相随（排名不分先后） 菁优网
2016年9月21日
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