（2007年3月18日，省考研会发言）
一．关于复习的告诫：
决不能以高考卷最后两题的难度组织复习．谁钻难题，谁整垮自己． 高考真正可怕的不是难题！没有几个人听懂的题，讲了又有什么用？ 主要缺少什么？缺理解，缺熟练，缺能力．知识点会盖不住？ 习题教学，不是“对答案，讲题目”．解题训练不等于思维训练． 好的教师“想”给学生“听”，差的教师做给学生看． 挖学生怎么想的，讲你是怎么想的，常表扬学生的想法． 惟有抓好基础，才能以不变应万变．
重视基础，扎扎实实．抓基础，抓重点，抓落实．宁可少些，但要好些． 澄清概念，归纳方法，教会思考．
讲概念，一定要讲发生发展，来龙去脉，讲联系，讲理解，讲变式． 要“借题发挥”，借题说事。几个题目讲完，注意归纳．归纳方法，总结经验．题目不必再记住（能记住？），方法、经验要理解记忆．朗朗上口，耳熟能详，如数家珍．“鱼”与“渔”。
知识是载体，方法是核心．这里的方法不仅是“解题术”．要把思考问题的出发点、解决问题的原理教给学生．
必须讲怎么想？讲“老虎吃天从何下口？” 讲“是什么？”更要讲“为什么？” 为什么这样做是对的？那样也好，怎么不好．让学生感到自然，少强加于人，让学生理解你的教学，否则可能是无效的． 如“勾股定理的空间推广”．
想一想，学生离开你怎么办？你是外因，学生才是内因．一定要让学生参与讨论，参与思维，参与解题策略制定的过程．
决不搞高考不可能考的偏题、怪题，让学生恨数学．
教师多一分思考，多一分准备，多一分辛劳，学生就省一分力气，增加一分效果． 科学的试卷一定让遵循数学教学规律的老师有好报．
肯定要练，不能光练，教师要讲．多板演，否则他就写到高考试卷上去。 教会学生思考，让他们掌握思考问题的方法． 轨迹问题（山西卷20题）思考的出发点． 如空间向平面转化的途径有哪些？
2003年第22（满分14分）的得分率是0.03．共3个小题，分别是0.08，0，0．复习时不要心里老惦记着这些题．有些考生考完是哭着走出考场的．
分析1983年高考试卷时，第9题我校与南京一中得分率都是2.83．但我校一位老教师几乎猜到了这道题．
一．二轮复习要做“问答题”（选） 1．下列函数的图象你会画吗？ ①y＝
cxdaxbax2（ad≠bc）；② y＝ax＋
bxcbx（a＞0，b≠0）；
③ y＝；④三次函数的图象．等等． xy＝x2|x－a|，y＝
1|x|．
1
描点法指更多地了解函数性质下的描点：
定义域，奇偶性，对称性，截距，单调性，值域，周期性，渐近线． 有了导数这个工具更方便． 遇到下列函数怎么办？ ⑤y＝Ax＋Baxb，⑥ y＝
mxnxpaxbxc22；
的值域．
解不等式2x1＞x－1；求函数y＝
2x1x2x322．函数最大、最小值应用题的解题步骤是什么？ （1）函数值为什么动，选择自变量； （2）用自变量表示函数式中要用到的量； （3）列出函数关系式，明确定义域；
（4）求出最大、最小值，并指出相应的自变量的值； （5）答． “不答，扣1分．”
例1 请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？（2006年18题）
3．如何正确应用导数研究函数的单调性、最值等问题？ （1）求导；（2）解方程；（2）列表，判断；（4）结论． 导数不搞闭区间．
4．把空间问题转化为平面问题是解立体几何问题的基本方法，把空间问题转化为平面问题的途径有哪些？
“把握学科的整体意义”
例2 已知二面角P－l－Q是120°的二面角．点A∈P，B∈Q，点A、B到棱l的距离分别是2和4，AB＝10．求：
（1）AB与棱所成的角的正弦值； （2）AB与平面Q所成角的正弦值； （3）AB与棱l的距离．
例3 如图，设平面AC与BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为顶点P在底面ABC上的射影H是三角形ABC的垂心，PA⊥PB，二面角P－AC－B，P－BC－A都是60°的二面角，求二面角P－AB－C的大小．
5．解析几何中遇到求轨迹问题，从何想起？
（动点变动时满足的几何条件；引起动点变动的原因）
6．用韦达定理，△研究直线与曲线之间的关系，有哪几个步骤？
（1）把条件，结论，计算的对象化成含有x1＋x2，x1x2（或y1＋y2，y1y2）的式子；
2
（2）消去一个未知数，得到一元二次方程，写出x1＋x2，x1x2（或y1＋y2，y1y2）代入上式，求出结果；
（3）验证方程是否有实数根． 7．函数图象变换的本质（甲到乙）
已知y＝f（x）的图象，怎样画出y＝f（1－x）的图象．三角函数图象的变换． 8．函数是怎样作用于方程、不等式的？ 例4 不等式x＋2mx＋m－
2
2
m2－
32＞0在（0，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
例5 设函数f（x）＝（x＋1）ln（x＋1），若对所有的x≥0都有f（x）≥ax成立，求实数a的范围． （2006全国卷第20题） 9．数列的递推——可化为等差、等比的． 例5 2005年第（23）题．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且 （5n－8）Sn＋1－（5n＋2）Sn＝An＋B，n＝1，2，3，„ 其中A、B为常数． （Ⅰ）求A与B的值；
（Ⅱ）证明数列{an}是等差数列；
（Ⅲ）证明不等式5amn－aman＞1对任意正整数m、n都成立．（2＋6＋6＝14） 解：（Ⅰ）略．A＝－20，B＝－8． （Ⅱ）由（Ⅰ），得
（5n－8）Sn＋1－（5n＋2）Sn＝－20n－8， ① 所以，（5n－13）Sn＋1－（5n－3）Sn－1＝－20n＋12，（n≥2） ② ①－②，得（5n－8）an＋1－（5n－3）an＝－20， ③ 法一：由③，得 累加，得
an5n8an15n3a13－
an5n81＝4（－
15n313－
15n8），
－＝4（
5n8），
因为a1＝1，所以 an＝5n－4． 所以，{an}是等差数列．
法二（答案）：由③，得（5n－13）an－（5n－8）an－1＝－20，
③－④，得 an＋1－2an＋an－1＝0，（n≥3）． 所以，{an}是等差数列．
做到“清清楚楚几条线，而不是模模糊糊一大片”．打歼灭战，段段清．一章或者一部分内容复习完了，学生能够脱离课本、笔记本说出这一章、这一节主要讲了一些什么？哪些概念？哪些主要内容？哪些重要方法，等等．要注意让学生用举例的方法来说明问题，有载体，有附着物．老师要（引导学生）整理、归纳．使学生从宏观上把握所复习的内容，形成良好的知识结构与能力结构．
高考复习不是比赛谁做的题目多，题目做的再多，这些问题不能正确回答这些“问答题”，可能还是无准备之仗．
要帮助学生归纳，这是教师的事．
二．重视数学思想方法的复习（归纳方法）
命题指导思想指出：“加强对中学数学知识中所蕴涵的数学思想方法的考查，具体要求主要体现在通性通法上．”
3
数学学科高考是注重能力考查的考试．对数学能力的考查，就是以知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，考查考生在运用知识和方法过程中的数学能力．
考试中心曾经指出：数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想．数学思想和方法的考查始终贯穿于整个试卷之中．
考能力寓于数学思想方法的考查之中，知识是载体，重点是方法． 数学思想方法主要指：数形结合的思想，分类讨论的思想，化归与转化的思想，函数与方程的思想．
数学基本方法有：分析法、综合法、消元法、降次法、配方法、换元法、比较法、归纳法、反证法、同一法、待定系数法．此外还有，猜想与估算．
特别要重视教材内容所体现的思想和方法．
比如等差数列求和的倒序求和，分解求和，错位相减等． 解析几何中的降维（定比分点公式的推导，点到直线距离等） ●讲具体的方法，更要讲原理，讲思维的出发点． 数学解题的灵魂——思维起点的选择． 比如，轨迹问题思维的出发点有二：
（1）找出约束动点变动的几何条件；（2）找出引起动点变动的原因．
例1 在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1（0，－3）和F2（0，3）为焦点、离心率为
32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线
与x，y轴的交点分别为A、B，且向量OM＝OA＋OB．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）|OM|的最小值． （2006年全国高考第20题） ●主要体现在通性通法上． 例2 设
12x＋
1y＝1，x，y∈（0，＋∞），求x＋y的范围．
出，“注重通性通法，淡化解题技巧”．不在学生面前卖弄解题技巧． ●讲方法，要讲“何时用、怎样用”．
“何时用”指适用于什么样的问题；讲“怎样用”就是讲使用要领，讲步骤．所以对每一种方法都必须了解如何正确使用．更重要的，是要提高思想方法的使用意识．
以具有代表性的问题为载体，先让学生解题，形成感受，然后再概括、总结．这样就可以明确该方法的含义，而不是仅记住是什么名称．
教师帮助学生归纳、规范、整理，形成系统的认识．有的方法可以进行专题复习，比如，怎样求函数的值域？数列的求和有几种方法（分解，错位相减，裂项，分类，）？学生要能如数家珍似的说出来，这是“活中找死”，这个“死”就是方法、步骤、规律，就是动中找不变．
●形成模式，简缩思维．比如，含参数的不等式恒成立，求参数范围的方法． 如，“比较法”也是常用的一种方法．两个式子相减后要判断它们的差与零的关系有哪些方法？
●提高数形结合的意识． 例3 填空题：
已知点（x0，y0）在直线ax＋by＝0（a，b为常数）上，则(x0a)2(y0b)2的最小
4
值为
a2b2． （南京市模拟考题）
2222一些学生由(x0a)2(y0b)2得到x0y0ab2(ax0by0)
2222＝x0y0ab，没能注意谁是常量，谁是变量，再得到
x0y0ab2222≥
a2b2，甚至没有得到结果．
题意即求点M（a，b）到直线ax＋by＝0的距离．
“数形结合”是学习数学的“头号”方法．要加强“数形结合”的意识．熟练地画出一些常见函数的图象是学好数学的基本功．一定要十分重视学生画函数图象的能力．
通篇试卷见不到有几幅图．
例4 已知a∈R，函数f（x）＝x2|x－a|．
（1）当a＝2时，求使f（x）＝x成立的x的集合； （2）求函数y＝f （x）在区间[1，2]上的最小值．（2005年江苏省高考（22）题）
显然，如果能画出它的图象，第（2）小题就容易解决了．
●等价转化思想，问题的转换，信息形式的转换．三角问题转化为代数函数． 例7 求函数y＝tanx＋cotx＋cscx－secx（0＜x＜
2）的值域．（南京市模拟考题）
（高考曾经考过，求函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域，意图是什么？换元．）
方法的选择当然十分重要．好的方法能收到事半功倍的效果． 解题方法的选择和差异当然就是能力的体现．
二．培养良好的解题习惯，教会学生思考
只有让学生“学会思考”，掌握与数学题打交道的招招式式，才能从题海中跳出来． 共同分析，从题意的理解开始，从不明确到明确，从不知到知，从不懂到懂，从不会到会，一步一步找到解决问题的途径．
“学会思考”不是一天两天可以奏效的，需要有一个养成的过程．坚持这样做，量变会发生质变．
教师不能光解题给学生看，要暴露思维过程，“想”给学生听。
怎样让学生学会思考？必须培养良好的解题习惯．要尽可能增强可操作性，不要让学生感到玄乎，难以琢磨．
从历年对高考试卷失分情况的分析看，其中一个重要的原因是解题习惯不好，而不仅是数学知识掌握的缺陷．有一个好的解题习惯可以避免许多不该发生的事情．
1．分析条件，弄清问题
（1）读题多遍，弄清题意．（2）数一数题设中有几个条件，揭示每一个条件的本质． （3）注意条件之间的联系．（4）选择一个（认为）恰当的条件使用方法． 2．明确任务，制订策略
（5）明确任务，明确“干什么”，突出“目标意识”． （6）能否化归为另一个任务？能否分解为几个小的任务． （7）为什么不画个图，列个表呢？（8）与已知条件之间的关系． （9）见过类似的问题吗？
5
3．规范表达，实施计划
（10）运算准确，推理严密，不跳步骤．（11）规范的表述，完整的步骤． 杜绝“会而不对，对而不全”现象，记住“不怕难题不得分，就怕每题被扣分”。
4．验算结果，回顾反思
（12）有无归纳、总结性语言． （13）是否利用了所有条件（或者发现多余条件）？ （14）验证结论．结论合理吗？ （15）有没有其他更简便的方法？ （16）你最多能给出几种解法？
认真审题，弄清有什么；明确任务，弄清干什么；选择方法，弄清怎样干． 开阔思路，提高学生应变能力．数学教学是思维的教学．
解题分析时可以先宏观再微观，即根据条件及任务，大体明确解题的思路． ▲要准确理解题意思，揭示条件的本质
例1 条件p：不等式log2（x－1）＜1的解；条件q：不等式q的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件 “条件q”是什么？ 例2 设函数y＝f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋1，则方程f（x）＝ x根的个数可能是（ ）
（A）无穷多 （B）没有或者有限个 （C）有限个 （D）没有或者无穷多 “条件f（x＋1）＝f（x）＋1”是什么？
▲列个表，整理条件之间的关系．条件要加强联系！
例3 某顾客第一次在商店买x件商品花去y元，第2次再去买该商品时发现该商品已经降价，且120件正好降价8元，因此他比第一次多买了10件，一共花去2元．若顾客第一次花去的不少于1元，那么他第一次至少买商品多少件？
列表揭示关系，难题变得容易． 件数 单价 金额 X y第一次 y≥1 第二次 根据（
yxx1x3≥0的解，则p是非
x＋10 －
8120xyx－8120 （yx－8120）（x＋10）＝2 ）（x＋10）＝2，y≥1，解得 x≥5．难题变得容易了．
12例4 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝（＝．求an．
81）an，b1＋b2＋b3＝
218，b1b2b3
五．精选例题，讲练得法，反思到位（习题课到底怎么上）
●精选例题，提高针对性
（1）体现概念理解、知识覆盖、思想方法．
（2）源于课本，高于课本——变换背景、改变图形位置、增减题设或结论．高考试题特点是，情景新颖，高于课本．通过变形、引申、发散等方式形成典型的例题.
（3）陈题新解、熟题重温——历届高考题仍然是训练的最好选题． 这些试题科学性强，“正派”．
6
（4）各地模拟考试试题．
（5）自编题．
易迷惑、易出错的问题；“会而不对，对而不全”的题；与前面内容有联系的题． 毫不吝惜地删除偏题、难题、怪题，高考绝对不会考的题．
坚决摒弃“偏、怪、奇”的题，三角形三边长a，b，c分别是8，10，12．求tan●精选例题，注意知识的交汇点
要注意知识的交汇点，跨学科（代数、几何、三角）；要注意复习后面内容时附带着前面的内容．
例1 对正整数n，设曲线yxn(1x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{ann1A2tan
C2．
（2006年江苏卷15） }的前n项和的公式是______．
例2 设函数f（x）=cos（3x+φ）（0＜φ＜π)，若f（x）+ f’（x）是奇函数，则φ=____。
简单综合了导数、函数的奇偶性，甚至简单三角方程，等。这是好题目。
●看起来类似，实际解法不同．避免思维定势
例3 双曲线的中心在坐标原点，过双曲线的右焦点且斜率为A、B两点，若OA⊥OB，|AB|＝4，求双曲线的方程．
例4 直线l：y＝x＋1与中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆交于A、B两点，且OA⊥OB，|AB|＝
10235的直线与双曲线交于
，求椭圆的方程．
●开放条件，死题变活
例5 两相同的正四棱锥组成同底的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体．．．积的可能值有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无穷多个（江苏2006高考题） 2004年立体几何大题。 ●给出错解，分析错因 例5 椭圆
xa22＋
yb22＝1（a＞b＞0）上哪个点到顶点B（0，b）的距离最远？
先指出下列解答的错误之处，再解答本题：
应该彻底弄清楚：判别式法的本质是什么？怎样发现使用它发生了错误，发生错误又怎样纠正？
●一题多变，注意方法局限性
例6 已知方程x2＋mx＋m＋1＝0的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m的取值范围．
题目改成：已知方程x－mx＋m＋1＝0的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m的取值范围．
这样就会得到A＋B＝135°，A、B不一定都是锐角． 这样就可以看出前面那个解法不具一般性！定性不定量．
2
7
好的解法（前一题）：m＝－（tanA＋tanB）．m∈（－1，2－2 ●类比引申，触类旁通
例7 如图，PQ是经过椭圆
xa222]．
＋
yb22＝1（a＞b＞0）的焦
点F2的弦，l是相应于F2的椭圆的准线，l交x轴于K．经过点P，Q分别作l的垂线，垂足分别为N，M，求证PM一个平分F2K．
换成椭圆、双曲线呢？（解析几何的问题都应该提出这样的反思）
●关联其他知识，防止回生
例8 点P是双曲线
xa22－
yb22＝1的右支上的任一点（不是顶点），F1、F2是左、右焦点，
2设PF1F2＝α，∠PF2F1＝β．求证tan （1）就例题，tan
错解 ∵ tan
2·cot
2＝
caca．
2＋cot
22有最小值吗？若有请求出来，若没有请说明理由．
2、cot都是正数，∴tan
2＋cot
22≥2
tan2cot2＝2
caca．
事实上，等号应该在tan＝cot
2，
2＋＝
2，α＋β＝π时成立，这不可能．
（2）就例题，请你求出｜PF1｜·｜PF2｜的最小值及相应点P的坐标．
解：设｜PF1｜＝t，则｜PF2｜＝t－2a，且t≥a＋c，｜PF1｜·｜PF2｜＝t（t－2a）＝（t－a）2－a2． ∵函数f（t）＝（t－a）2－a2在[a，＋∞）上是增函数， ∴当t＝a＋c时，有最小值（a＋c－a）2－a2＝c2－a2＝b2， 此时点P坐标是（a，0）．
复习一道解析几何题，又复习了不少代数．此外，还可以有： （3）若点P在双曲线的左支上，结论是否需要修改？
则有tan
2·cot
2＝
caca．
（4）把双曲线换成椭圆，结论是否需要修改？
答案：椭圆也有类似的情形：若点P为椭圆上异于长轴端点的任一点，F1、F2是它的两个焦点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则tan
2·tan
2＝
acac．
2005年广东省高考20题就是解析几何与函数最值综合的题． （5）若∠F1PF2＝90°，怎样求△F2PF1的面积？不是90°呢？
r1＋r2＝4c2，|r1－r2|＝2c，要什么？要
22212r1r2，怎样做你就知道了（平方，消去r1、
2r2）．知道∠F1PF2＝90°时怎么办，∠F1PF2≠90°也就会做了．
●解答一道题引出一个话题，打一场歼灭战
例9 设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7．5）等于（ ）
（A）0．5 （B）－0．5 （C）1．5 （D）－1．5 函数周期是4．那么，周期函数还有哪些等价说法呢？
8
●一大题两小题，解法却迥然不同
例10 已知f（x）＝x＋ax＋b的定义区间是[－1，1]，且f（0）＝f（1），设x1，x2∈[－1，1]，且x1≠x2．
（1）求证|f（x1）－f（x2）|＜2| x1－x2|；
（2）若0＜x1＜x2≤1，求证|f（x1）－f（x2）|＜1． （附中模拟考试题） （1）证明：由f（0）＝f（1），得a＝－1．所以f（x）＝ x3－x＋b．
2 |f（x1）－f（x2）|＜2| x1－x2|＝ | x1－x2||x1＋ x1x2＋x2－1|． 23
2 只要证明 －2＜x1＋ x1x2＋x2－1＜2． ① 22 ①式左边，即证明x1＋x1x2＋x22＋1＞0，即（x1＋
12x2）2＋
34 x2＋1＞0，显然成立． 222 ①式右边，即证明x1＋x1x2＋x2，所以x1＋x1x2＋x2＜32＜3．由于|xi|＜1（i＝1，2）2显然成立．
综合以上知，不等式成立．
（2）但是用同样的方法很难证明第（2）小题．
对f（x）＝ x3－x＋b求导数，得f ’（x）＝ 3x3－1． 令f ’（x）＝0，得x＝在（0，
3333（只需要考虑区间（0，1））．
33）上，f ’（x）＜0，函数递减；在（
33，1）上，f ’（x）＞0，函数递增．
39在区间（0，1）上，f（x）的最小值是f（）＝－
33＋b＝－
292933＋b．
又f（x）的最大值是f（1）＝b，所以，| fmax（x）－ fmin（x）|＝
＜1．
从第（1）小题的思维方式中摆脱出来不是件容易的事．
●回顾反思，深究到位 （精讲）
使用元认知提示语，启发学生自我监察，自我，自我分析，自我预测，自我评价，发展学生的认识力．培养学生主动学习．
先让学生想一想，不要把题目往黑板上一写就开始分析起来，头头是道．
不要把题目往黑板上一写就开始分析起来，头头是道．那是你教师在分析，学生是分析不起来的．不要用教师的过早的“引导”、代替学生的思维．可以师生共做．要先让学生熟悉题意，重视思维过程的指导，暴露如何想？怎样做？谈来龙去脉．在方法的选择中，重视通性通法的运用．
题目写完后，学生就开始写起来，画起来，那是主动学习的表现，若抬头等你讲，那是思维懒惰的表现．要培养学生主动学习的习惯．
也不要题目刚写好就请学生回答起来． 要讲的例题事先自己一定要认真做一遍．
例11 已知{an}是等差数列，a1＝5，公差d≠0．{bn}是等比数列，bn＞0，且a1，a4，a16分别是b1，b3，b5．
（1）求S＝a1＋a2＋a3＋„＋a100；
（2）{bn}的各项不大于S/2，求{bn}项数的最大值N；
（3）若a1＋a2＋a3＋„＋an＝Sn，b1＋b2＋b3＋„＋bn＝Tn，是否存在自然数m，使得
9
Sm＝TN？
分析时，教师：
（1）条件的用在哪里了？这就是元认知提示．
已知条件“a1，a4，a16分别是b1，b3，b5”提供了数列{an}的公差，因为a1＝5，因此数列{an}是确定的（除项数n）．
这是教师应该起的作用．这样，学生可能就醒了，而具体的计算可以由学生进行． （2）在等比数列中，序号等差数列的项成等比数列，这是等比数列的性质，教师可以通过这道题又复习了等比数列．
（3）在“解题回顾与反思”中，还可以提出：a1，a4，a16，a32，a，„成等比数列吗？a1，a2，a4，a8，a16，„也成等比数列吗？
这些挑战性的问题，可以开发学生的智力，把学生教得聪明起来．这样的教学学生是不会睡觉的．
画龙必须点睛．一定要做好题后小结，哪怕只有一两句话．是思路的整理、概括．回顾这道题是经历了哪些过程解出来的，层次分明．
在解题过程中不断进行这样的思考和操作，使“运用数学知识分析问题和解决问题的能力”得到有效提高．
●讲思维过程，训练思维
解题训练，不等于思维训练！ 思维过程来自哪里？可以来自教师，最好来自学生．无论如何，必须讲思维过程！
例12 求半径为r的内接矩形面积最大值．
在教师的提问、启发下，学生中出现了五、六种解法，但是教师缺少对学生思维过程的挖掘，缺少归纳整理．比如大致来源于选择边为自变量或者角做自变量，也缺少各种方法优劣的比较．学生画了龙，教师未点睛．
●暴露自己失败的思维过程
例13 设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程f（x）－x＝0的两个根x1、x2
满足0＜x1＜x2＜
1a．
（1）当x∈（0，x1）时，证明：x＜f（x）＜x1； （2）设函数f（x）的图象关于x＝x0对称，证明：x0＜
x12．（1997年）
我与学生共同分析这道题：把f（x）＜x1转化为f（x）＜f（x1），化简后发现要证明ax1＋b＞0．不会证明．又去证明第（2）小题，因为x0＝－
b2a，要证明－
b2a＜
x12，也即
证明ax1＋b＞0．（1）与（2）本质上是一致的！这时已经没有退路，怎么办？重新读题分析条件，发现条件x1＜
1a未用！
1a 由0＝F（x1）＜F（ 经整理，得（x1－
1a）．即ax1＋bx1＋c－x1＜a（
1a21a）2＋b·
1a＋c－
1a．
）（ax1＋b）＜0．∵ x1＜，∴ ax1＋b＞0．命题得证．
●讲思路，订策略
例14 OA，OB，OC两·两互相垂直，求证，SAOB＋ SBOC＋ SCOA＝ SABC．
2222 10
明确任务：要证 OA2·OB2＋OB2·OC2＋OC2·OA2＝BC2·AD2．
从哪里开始？左边没什么好化简的．
画右边，统一到OA2，OB2，OC2上来．基底思想，基本量思想． 该学生干的不要老师去干，该老师干的不要学生去干． 审题是及其重要的一个环节． ●讲常规思路
例15 在△ABC中，A、B、C成等差数列，求sinA＋sinB＋sinC的范围． 条件的本质：B＝60°，A＋C＝120°．
问题的转化：sinA＋sinB＋sinC＝ sinA＋sinC＋
2
2
2
2
2
2
2
2
34＝ sinA＋sin（120°－A）＋
22
34（减（消）元思想）．这是关于A的三角函数，0°＜A＜120°是定义域．（函数思想．）
现在的问题是求函数的值域．（我听一个高三教师复习课时说，先猜一猜．） 把“练，练，练”改为“变，变，变”．一题多解，一题多变，一法多用，深挖细究，在解题的质量上下功夫．
变式教学是培养思维能力的有效途径，学生在这个过程构建起自己的经验体系． ——一定要进行解题的反思、回顾、总结，概括、提炼（基本思想、基本方法）．由浅入深，变式变形、深化推广、引伸创新，由封闭到开放．力求“解一题，会一类”． ●学生已经有准备的习题课怎么上？ 学生“画龙”，教师“点睛”．
教师组织学生交流．
交流思路，交流方法．始终注意把能力培养放在重要位置．
教师归纳，理清思路，明确谁的解法好，好在哪里？ 延伸、推广、开放等． 尤其是不必再板演．
因为这时的板演是在抄写他事先准备的解答过程．如果需要展示某个学生的解答过程（代表一种意图），只要用实物展示台就可以了，否则板演浪费了课堂宝贵的时间．再就是，由于其他同学都已经课前做了，往往不关心板演情况，而这时又没有什么新的任务，许多学生就显得无所事事．这样一来，课堂45分钟的教学效益可能就值得研究．教师要提高对课堂的掌控能力．有学生一直在睡觉，教师却未能发现．课堂上，教师要关注有没有人不听我的课？
●如何评讲试卷？
走过，就留下脚印．
不仅是为了解法与答案．是又一次学习的过程． （1）请学生讲．
比如试卷评讲时，让某道题做的好的同学来讲，尤其是讲怎么想的，而不是简单地说出解答．这不论对于他本人还是对其他同学都有很好的教育作用．大家想想，我们教师在自己讲教过内容印象是非常深刻的．
进行不同解法上的交流，也体现“一题多解”，表扬一些学生独到的解法． （2）不必面面俱到讲．分类归纳，集中讲评．
在试卷评讲时，不要面面俱到地讲，抓住重要的，带普遍性的问题讲．
（3）抓住大是大非，居高临下．
要从学生所犯错误的性质以及宏观上看问题．比如是由于概念不清，知识掌握不牢固，还是方法选择不当，不得要领，还是运算错误．不要简单地解释为粗心．
抓重要概念上的失误，思想方法运用不到位．
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不要把试卷评讲课上成对答案的过程．不要把复习课上成对答案的过程．
另外，还要注意表达规范．
可能有老师讲，这样讲怎么来得及呢？指什么，是指内容，还是能力？能力是第一重要的，复习一年，做了一套又一套的试卷，知识还怕覆盖不住？缺少的不是知识，是能力． （4）亲自做一遍，与学生交流思维过程．
有时试卷并不是由自己命题，要事先亲自做一遍．不要先看解答，否则没有感性认识． 选题恰当、训练科学、引伸创新、讲解到位．
六．指导学——帮助学生制订复习策略
教师始终是外因，学生是内因．高考数学复习，不仅要研究我们教师该如何组织复习，还不可忽视另一面——学生．复习不仅是教师的事，更是学生的事．帮助学生确定复习的策略也是必要的．
1．找准自己的位置
不要好高婺远，正确地估量自己的现实水平，找准自己的位置，扎扎实实地从实际水平出发组织复习，这样才能得到有效的提高．
在复习过程中不要去钻难题，遇到连看多看不懂的问题，可以暂时放一放．把更多的精力放在基础知识的熟悉上，基本技能的熟练上．熟能生巧．
当然对基础比较好的争取取得高考高分的同学例外．但是，高考拿高分的同学的一个共同特点仍然是基础题做得好．
一名学生在高考前跟我说：“我只想前面的120分，后面能做出来就是赚的．”，我说“对．”由于心态好，镇定平静，发挥正常，结果考了131分，是高分了，对自己很满意． 2．重视基础，坚决做好选择、填空，确保“三位数”
江苏2006年卷，选择题与填空题，占80分，超过一半；主要是用来考察基础知识的，只要你熟悉数学知识，最多经过少量计算就能作出判断，得分．
同一张试卷上，前面的分数与后面的分数是等值的，但是前面的分数当然要好拿一些．
做好选择题填空，就象打仗有了根据地．织好“锦”再去摘“花”，锦上添花！ 再认真做好前两道（低档）大题并不困难，约占24分，这样就已经达到104分了． 一张试卷如果能做到“确保三位数”，分数就不会低．因为后面3道题中还有中档题，即便是难题也可能拿到几分．
问题仍然在于基础，100分能做到“确保”吗？
最近我在复习实践中实施我“坚决做好选择填空”的想法，有意加强了选择、填空题的训练，取得了明显的效果．
从这个意义上讲，我以为，数学学习得不是很好不等于高考不能取得较好的成绩．如果某学生认为自己数学学得不好，那就先瞄准前100分到120分这个层次．
高考命题的一个重要特点是区分度好，能有效地检测出考生的不同层次（包括不同的知识水平和不同的能力水平）．体现在客观题上，有从易到难的一个合适的坡度；体现在解答题上，多数的试题有几个明显的层次，入门宽，路子多．揭示一个已知条件的本质，转化一个任务都是得分的机会． 3．从自己的错误中学习
如果犯过的错误都不再犯就一定成功了．要求学生每次考试后，不要为自己的错误辩解．专门用一个笔记本收集整理自己的错误．
4．不必把分数、名次看得太重
每次考试结束，要求学生不要盯住分数．这样会造成心理负担．
考试结束后，不要老是想着在班上是多少名，能否考上这个大学那个大学．需要采取的
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态度是：分析错误的性质，找出错误的原因．这样做很具体，很充实．不把犯过的错误带到考场去．
5．温故而知新，让量变成为质变
学之道，在于悟！
离开高考的最后一段时间，可以少做一些试卷，不要指望通过模拟考试能猜中高考题．还可以把一年来（或这学期）复习过试卷拿出来反复做、反复想．
6．不要乱选资料，不要乱求家教
用好现有的资料，相信自己的老师． 没有吃一济药就能把病治好的事．哪本资料能治高考的“病”？最近还有家长告诉我说，他为孩子买了一本什么好的复习资料．我说你是帮倒忙．
不要乱找家教，时间浪费不起了．一位家长告诉我，她为她的女儿请了家教，后来发现还不如她自己的老师，想退掉又不好意思，只好每次都去，结果时间浪费了，很后悔． 7．乐与同伴交流，多向老师请教
要求学生互相交流．从同学那里得到的帮助可能不比从老师那里得到的少！
乐于向同伴请教，与同伴进行讨论．首先是方便，随时随地，也更接近你的思维特点．如果同伴问你，懂就告诉他．其实学习的相互的，他也可能对你的解答提出疑问，促进你反思，互相学习，共同进步．
多问老师，不怕丢面子．老师不仅会把这道题的答案告诉你，一定会帮助你分析问题，甚至给你讲一类问题的解题方法、规律．这是增长数学知识、提高分析问题能力的好机会，从哪里能找到这么好的“家教”？ 8．重视课本，狠抓基础
一位参加高考命题的老师说：“没有一道试题在教材中找不到影子．”2001年的解析几何题基本就是课本中的原题：设抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点． 点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴． 证明直线AC经过原点O．
我们没有必要不去追究这个话是否完全正确，但起码说明我们应该重视课本．细想想，你高中学习三年的课本不重视重视什么？考试大纲（说明）、教材总是命题的依据，而事实的情况是，教材不知被仍到哪里去了，复习资料漫天飞．把教材拿出来，好好看一看，一定会有新的认识，新的感受．有一个学生，平时不太用功，家长也没法，最后只好叫他把书好好看一看，结果考上了重点大学．
总之，按照数学教学的规律组织复习，才可能减轻学生的负担，就一定有好的效果．提高能力是最根本的办法，而思维能力是能力的核心，知识与（思想）方法是能力的载体．
1．必须重视概念的复习
决不能忽视概念的复习！概念是思维的细胞，判断的依据，解题的指导（对解题方案的制定，解题的过程有直接的指导作用）．
数学概念属于陈述性知识，它是一种静态的，相对不变的事实性知识．对于陈述性知识要弄清形成过程，讲发生，讲发展，讲理解．数学是清楚的，数学是讲道理的． ●必须重视概念的复习．
概念复习要抓住六个字：准确、完整、理解．
首先要做到“准确、完整”四个字．没有准确、完整只能是曲解；只有准确、完整，不理解，就谈不上去迁移、运用．
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例1 求证：两条平行直线和同一个平面所成的角相等．（二下A第29页第9题．） ●讲概念要讲理解，在“理解”二字上下功夫．
组织系列小题，让学生通过正确运用、产生失误等各种方式达到对概念理解的目的． 例2 设函数f（x）＝2－2（x＞0），则f 教师要精心组织问题，下面的题就很好．
342x
x＋2
－1
（0）＝_________．
例3 若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（ ） A、
B、
23 C、
12 D、
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在选择、填空题中，使用一下概念，经过简单的计算就可以作出判断或者得到答案的题并不少见．
例4 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ（
AB|AB|＋AC|AC|），λ∈[0，＋∞），则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ）
B、内心
AB|AB| A、外心 C、重心 D、垂心
AB|AB|这道题的关键是识别，它是单位向量．OP－OA＝λ（＋AC|AC|）说明射线
AP是∠BAC的平分线，这就不难知道选择（B）了．得分率是0.2．这是考计算吗，显然是考理解．在讲向量的数量积时，光讲a·b＝|a||b|cosθ不行，变形成cosθ＝a|a|·b|b|，这
是两个单位向量的数量积，角的大小与向量长度无关．这就是一种理解，是向量的数量积的另一种表示．“多元联系表示”就是从各个不同的角度认识同一个概念，把握它的本质．
教育部考试中心命题时，提倡“多想少算”．这些都是典型的“多想少算”题． 例5 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝（＝．求an．
8112218）an，b1＋b2＋b3＝，b1b2b3
教师的任务完成了，剩下的由学生去计算，让学生进行到底．
运用概念转换信息形式，揭示条件本质．需要对等差数列、等比数列各种等价刻画方式的了解．
●讲概念要讲联系．比如，倾斜角、斜率、方向向量都是用来刻画坐标系中直线的倾斜程度的．既然是用来刻画同一件事物的，因此，它们本质上是一致的．要揭示这一本质，打通它们之间的关系．知道其中一个，要能够根据需要立即转换成另一个．
例6 已知常数a＞0，向量c ＝（0，a），i ＝（1，0）．经过原点O以c＋λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|＋|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．（江苏省2003年高考题）
这道题也是考查对椭圆概念的理解．“是否存在两个定点E、F，使得|PE|＋|PF|为定值”需要转换成“点P在以点E、F为焦点的椭圆上”．这样的椭圆存在，则点E、F存在，否则，这样的椭圆不存在．
理解了这几个概念，学生就已经知道首先应该干什么了（明确任务）——求点P的轨
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迹方程．
这道题充分说明了理解概念对解题的指导作用．
●讲概念，要讲必要性，合理性，讲形成过程，即讲发生，发展．
为什么要定义倾斜角？范围为什么是[0，）？斜率又是怎么回事？直线与平面所成角的概念，它的范围为什么是[0，
2]？二面角的范围为什么是[0，π]？等等．
复习时要在基础知识的理解上下功夫．“读死书，死读书”是不行的．
概念复习形式多样化．以问题为载体复习，这样学生感受比较深，以后想起这个概念时就可能想道了某道题．做辨析练习，做概念运用小题（选择或填空），教师归纳讲解．帮助学生理解概念的题不要弯弯绕多，求难，否则会形成干扰，达不到目的．
2．使复习的内容系统化，做到“段段清”
系统的知识，容易理解与掌握．对每一个所复习过的问题必须做到到位．教师要帮助学生整理、规范，使得对每一个问题都有一个明晰的答案． 如“函数单调性”，要明确：
（1）“函数单调性”是函数在定义区间上的性质，是函数的局部性质． （2）“函数单调性”特别强调“区间”这一形式．
（3）如何证明一个函数是增函数或者减函数？
（4）单调性有哪些应用？如比较两个数的大小；求函数的最大、最小值；证明不等式，等等．
以简单的例子为载体，给学生的理解以“抓手”．比如函数f（x）＝好例子．
3．师生共同明确复习的任务及要到达的目标
明确复习内容和要求．复习完了，每一个学生要反问自己“这些问题你清楚了吗？” 比如数列部分：
（1）等差数列与等比数列；定义，通项公式，求和公式，中项，性质等． （2）数列求和的各种方法；倒序；错位相减；分解；裂项；分类；归纳等 （3）数列与函数、不等式； （4）数列的应用；
（5）递推问题．2006年高考最后一题．
●关于复习的告诫
决不能以最后两题难度组织复习．谁钻难题，谁整垮自己． 没有几个人听懂的题，讲了也没用。
习题教学，不能仅是“对答案，讲题目”．
解题训练不等于思维训练．挖学生怎么想的，讲你怎么想的，表扬学生的想法． “想”给学生“听”，而不是做给学生看．
把思考问题的出发点、解决问题的原理交给学生．讲“是什么”更要讲“为什么”，让学生感到自然，少强加于人。让学生理解你的教学。
要“借题发挥”。归纳方法，总结经验．方法、经验要理解记忆．朗朗上口，耳熟能详． 重视基础，扎扎实实．惟有抓好基础，才能以不变应万变．
讲概念，一定要讲发生发展，来龙去脉，讲联系，讲理解，讲变式．知识是载体，方法是核心．
一定要让学生参与讨论，参与思维，参与解题策略制定的过程．想一想，学生离开你怎
1x是理解单调性的
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么办？你是外因，学生才是内因．
决不搞偏题、怪题，让学生恨数学．
教师多一分思考，多一分准备，学生就省一分力气，增加一分效果． 科学的试卷一定让遵循数学教学规律的老师有好报．
良好的解题习惯可以避免许多不该发生的事，把能拿到的拿回来。 1．分析条件，弄清问题 （1）读题多遍，弄清题意．（2）数一数有几个条件，揭示每一个条件的本质． （3）条件之间加强联系．（4）选择一个（认为）恰当使用方法．
2．明确任务，制订策略
（5）明确任务，明确“干什么”，突出“目标意识”．（6）能否化归成另一个任务？能否分解成几个小的任务．（7）为什么不画个图，列个表呢？（8）与已知条件之间的关系．（9）见过类似的问题吗？ 3．规范表达，实施计划
（10）运算准确，推理严密，不跳步骤．（11）表达规范，步骤完整． 4．验算结果，回顾反思
（12）有归纳、总结性语言．（13）是否利用了所有条件（或发现多余条件）？
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（14）结论合理吗？检查验证．（15）有没有其他更简便的方法？
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（16）你最多能给出几种解法？
理解条件，弄清有什么； 明确任务，弄清干什么； 选择方法，弄清怎样干．
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