最速下降和共轭梯度混合算法在波束形成中的应用

第３１卷第５期　２０１１年１Ｏ月　河池学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＥＣＨＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖｏ１．３１Ｎｏ．５　０ｃｔ．２０１１　最速下降和共轭梯度混合算法在波束形成中的应用　赵翠芹　，　段艳明　，　包玉珍　（１．河池学院计算机与信息科学系。广西　宜州　５￣３００；２．云南科技信息职业学院，云南　昆明６５０２２４）　［摘要］　介绍了一种最速下降法和共轭梯度法的混合算法，并将这种混合算法应用到自适应波束形成中。　该方法根据最小均方（ＬＭＳ）准则推导出代价函数，结合共轭梯度法和最速下降法产生搜索方向，既提高了共轭梯　度算法的收敛速度，又解决了最速下降法下降缓慢的问题。计算机仿真表明，混合算法所需迭代次数少于最速下　降法，且显著减少计算量，缩短运行时间。　［关键词］　最速下降法；共轭梯度法；自适应波束形成　［中图分类号］ＴＮ９１１．２５　［文献标识码］　Ａ　［文章编号］　１６７２—９０２１（２０１１）０５—００９７—０４　【作者简介］　赵翠芹（１９７９一），女，云南保山人，河池学院计算机与信息科学系讲师，硕士，主要研究方向：移　动通信信道建模与仿真。　［基金项目］　广西自然科学基金资助项目（２０１ｌｊｉＢ７００３７），河池学院青年科研经费资助课题（２０１１Ａ—　Ｎ００８）。　０　引言　波束形成是对多天线系统组成的天线阵列进行数字信号处理的技术。通过对天线阵列适当加权，波束　形成可以利用期望信号和干扰信号在波达角度等空间特性上的差异，对期望信号与干扰信号进行隔离，从而　达到增强期望信号并抑制干扰信号，提高通信容量和质量的目的。该技术被广泛应用于波形分集ＭＩＭＯ　（Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｉｎｐｕｔ　Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｏｕｔｐｕｔ）通信…、声纳和ＭＩＭＯ雷达　等系统中。随着大规模、超大规模集成电路　和数字信号处理技术的迅速发展，数字波束形成技术逐渐在移动通信领域中受到人们的关注。３Ｇ标准　ＴＤ－－ＳＣＤＭＡ采用的关键技术是以波束形成技术为核心的智能天线技术Ｈｊ。　共轭梯度法　是介于最速下降法　与牛顿法　。　之间的一种无约束优化算法，它具有超线性收敛速　度，而且算法结构简单，容易编程实现。将最速下降法和共轭梯度法有机结合起来构成混合算法，只用到了　目标函数及其梯度值，其梯度方向为最速下降方向。在迭代过程中，第ｋ＋１次迭代时代价函数的梯度方向　与第　次搜索方向正交，负梯度的方向就是代价函数减少最快的方向，迭代步长是基于每次迭代下降方向的　变步长。从数学最优化角度看这是一种最优步长，能有效降低运算量，且具有更快的收敛性和稳定性。仿真　结果表明，根据算法得到的波束性能较好，在干扰方向形成零陷，具有较好的抗多址性能。　本文首先详细介绍窄带数学模型和代价函数表达式。其次，推导了混合算法的下降方向和迭代步长表　达式。最后用ｍａｔｌａｂ进行仿真，并与传统的最速下降ＬＭＳ算法进行比较。给出了权值幅度比较图、均方误　差比较图和阵列因子的比较图，并对仿真结果进行了详细的分析和比较。　１　数学模型　窄带Ｍ元自适应阵列系统结构　如图１所示，期望信号从　角到达，干扰源从０　一，０　角到达。含Ｍ　９７　个权值的Ｍ个阵元天线接收期望信号和干扰源。阵元的每个接收信号还包括加性高斯噪声。时刻用第　次采　样表示。因此，加权后的天线阵输出Ｙ可表示为：　Ｙ（ｋ）＝Ｗ“　（ｋ）　（１）　其中（・）“表示矩阵共轭转置；叫＝［　：…１１）　］　表示天线阵权值，（・）　表示矩阵转置；　（　）＝　ａｏｓ（ｋ）＋［０　ｎ　…。　］［　（ｋ）ｉ２（ｋ）…ｉ　（ｋ）］　＋ｎ（ｋ）：　（ｋ）＋　（ｋ）＋ｎ（ｋ），　（ｋ）表示期望　信号向量；　（ｋ）表示干扰信号向量，ｎ（ｋ）表示每个信道的零均值高斯噪声；ｎ　表示Ｍ个阵元的天线阵在到达方　向０　上的导向向量。信号ｇ（ｋ）是参考信号，与期望信号ｓ（ｋ）相同，与干扰信号ｉ　（ｋ）不相关。误差信号为：　（　）＝ｅ（ｋ）一Ｗ“　（ｋ）　（２）　通过简单的代数运算，均方误差为：　ｔ，（Ｗ）：Ｅ（１　（ｋ）ｌ　）＝Ｅ｛［ｅ（ｋ）一Ｗ“　（ｋ）］［ｅ（　）一Ｗ“　（ｋ）］　｝＝　Ｅ｛ｅ（ｋ）ｅ（ｋ）　＋Ｗ“　（ｋ）ｘ“（ｋ）Ｗ—Ｗ“　（ｋ）ｅ（ｋ）　一ｅ（　）　（ｋ）　｝＝　Ｅ（１　Ｐ（ｋ）ｌ。）＋　尺　一Ｗ”ｒ—ｒｌ４ｗ　（３）　２　算法思想　Ｆｌｅｔｃｈｅｒ—Ｒｅｅｖｅｓ（ＦＲ）共轭梯度算法的本质是一个求解矩阵方程Ａｘ＝ｂ的迭代解法。在均方误差自适Ｊ　波束形成系统中，公式（３）是天线阵权值的二次函数，呈椭圆形的抛物面形状，如图２所示的局部代价函数　和局部误差性能曲面的等值曲线图，有一个最小值，即代价函数为：　ａｒｉｎ　Ｊ（Ｗ）＝ｅ（１　Ｅ（ｋ）Ｉ　）＋　Ｒｗ—Ｗ“ｒ—ｒＨｗ　ＦＲ算法分析：（１）任取初始点Ｗ　’，令ｋ＝１，第一个搜索方向取为ｄ　：一　．，（　¨　）；　（２）设已求点Ｗ‘　¨，若ＶＪ（ｗ‘　）≠０，令ｇ川＝ＶＪ（ｗ‘　），则下一个搜索方向ｄ　“　按如下方式　确定　ｄ‘　’＝一ｇ川＋　ｄ‘　（５）　（４）　要求ｄ‘¨　’和ｄ‘”关于Ｒ共轭。则在（５）式两边同时左乘ｄ（ｋ）ｒＲ，得０：ｄ（￣）ＴＲｄ‘“　＝一ｄ（ｋ）ｒＲｇ　＋　＋　ｄ（ｋ）ｒＲｄ　解得　，筘　（　¨＝　㈩　ｍｉｎ．，（　（　’＋Ａｄ（　）　（３）搜索步长的确定：已知迭代点Ｗ　和搜索方向ｄ　，利用一维搜索确定最优步长Ａ　，即求解　（　’＋Ａｄ（　’　记　（Ａ）＝．，（Ｗ‘　＋Ａｄ‘”），令　（Ａ）＝ｖＪ（Ｗ‘　＋Ａｄ‘　）　ｄ‘　＝０，即有［　Ｒ（　‘　＋Ａｄ（　）＋ｒ１　ｄ‘　＝　０，令ｇ　：ｖｆ（　‘　）＝２Ｒｗ‘¨一２ｒ，则有［ｇ　＋ＡＲｄ（　’】　ｄ‘　＝０，解得　Ａ　：一　Ａ＾　一　（７）　步长确定后，公式（６）还可以进一步简化，因为ｇ　ｄ　＝一　Ｔ　＝一ｌ　Ｉｇ　ｊｌ　＜０，　，ｇ　＝ＶＪ（ｗ‘　）＝２Ｒｗ‘¨一２ｒ．即有　ｇ　＋ｌ　（ｇ　＋１——ｇ　）　ＦＲ算法具体步骤：　（１）任取初始点Ｗ¨’，令ｋ＝１；　１Ｉ　ｇ　＋ｌ　Ｉ　】１Ｉ　ｇ　＋ｌ　ｌ　Ｉ订　（８）　（２）令ｇ，＝ＶＪ（ｗ‘　），ｄ‘　＝一ｇ１，利用公式（７）计算Ａ１，令Ｗ‘　＝Ｗ‘　＋ＡＩｄ㈩；　９Ｒ　（３）令ｇ　＝ｖＪ（Ｗ‘“　’），ｄ‘¨　＝一ｇ　＋　ｄ‘¨，其中　用公式（８）计算，ｋ＝ｋ＋１；　（４）利用公式（７）计算Ａ　，令Ｗ‘¨　’＝Ｗ‘　＋Ａｋｄ‘¨，转（３）；　（５）波束形成。　３　算法仿真及性能分析　为了分析所介绍的自适应波束形成算法，运用仿真来验证其性能，并与传统最速下降法进行性能上的比　较。两种算法采用相同的实验仿真条件，阵元模式为８阵元的均匀线性阵列，阵元间距为１／２个波长；期望信　号为ｓ（ｋ）：ＣＯＳ（２ｒｒｋ／Ｋ），Ｋ是取值为３０的块长，入射角为６０。；干扰信号是高斯随机信号，入射角为０。和一　６０。；噪声信号是方差为０．００１的高斯随机信号；　¨　＝【０　０　０　０　０　０　０　０１　。权值的幅度与迭代次数的关系如　图３和图４所示，从图３和图４的比较结果可以看出，混合法的稳定性更好。图５为采用最速下降法产生的平　方误差和混合法产生的残差范数的比较图，图５表明采用最速下降法需要经过６０次迭代之后，均方误差收敛　于零，而采用混合法只需经过６次迭代残差范数降到很小。由图３到图５可以看出，混合法的收敛速度要比最速　下降法的收敛速度快很多。两种方法的方向图如图６所示，由图６可见，在干扰信号到达角处都有很好的零陷。　４　总结　最速下降法和共轭梯度法混合算法将共轭性和最速下降方向相结合，利用已知迭代点处的梯度方向构　造一组共轭方向，并沿此方向进行搜索，求出函数的极小点。仿真结果表明，混合算法比传统最速下降ＬＭＳ　算法的收敛速度快很多、稳定性很高，而且算法得到的波束性能较好，在干扰方向形成零陷，具有较好的抗多　由Ｅ　ｌ生能　ｘ　１　０局部误　曲面　‘　’’　．叼　、■　４　熏　２　０　２　一４　．　图１均方误差自适应系统　图２局部代价函数　迭代状数　迭代次数　图３由最速下降法产生的权值幅度　图４由混合算法产生的权值幅度　］ｌ　・　三　ｉ　．　｝　ｆ　１　；　迭代状数　ｆ　．～　、．　．　。　图５最速下降法的平方误差和　到达角（ｄｏｇ）　混合算法的残差范数比较图　图５加权后的天线阵方向图　参考文献：　［１］Ｌｉｔａ　Ｊ，Ｔ　Ｋｗｏｋ—Ｙｅｕｎｇ　Ｌｏ．Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ　ｉｎ　Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ａｒｔｅｃｈ　Ｈｏｕｓｅ［Ｍ］．Ｂｏｓｔｏｎ：ＭＡ，１９９６．　［２］Ｆｉｓｈｌｅｒ　Ｅ，Ａ　Ｈａｉｍｏｖｉｃｈ，Ｒ　Ｂｌｕｍ，ｅｔ　ａ１．ＭＩＭＯ　Ｒａｄａｒ：Ａｎ　Ｉｄｅａ　Ｗｈｏｓｅ　Ｔｉｍｅ　Ｈａｓ　Ｃｏｍｅ［ｃ］．Ｐｒｏｃｃｅｄｉｎｇｓ　ｏｆｔｈｅ　ＩＥＥＥ　Ｒａｄａｒ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．２００４（２６—２９）：７１—７８．　．　［３］Ｒａｂｉｄｅａｕ　Ｄ，Ｐ　Ｐａｒｋｅｒ．Ｕｂｉｑｕｉｔｏｕｓ　ＭＩＭＯ　Ｍｕｈｉｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ａｒｒａｙ　Ｒａｄａｒ，ＩＥＥＥ　Ｓｉｇｎａｌｓ，Ｓｙｓｔｅｍｓ，ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ｌ　Ｃ］．３７ｔｈ　Ａｓｉｌｏｍｍ（　ｔｍ　ｆｅｒｅｎｃｅ，２００３，ｌ（９—１２）：１　０５７—１　０６４．　［４］Ｌｉｂｅｒｔｉ　Ｊ，Ｔ　Ｒａｐｐｏ￣．Ｓｍａｒｔ　Ａｎｔｅｎｎａｓ　ｆｏｒ　Ｗｉｒｅｌｅｓｓ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ：ＩＳ一９５　ａｎｄ　Ｔｈｉｒｄ　Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ　ＣＤＭＡ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：ＰｒｅｎｔｉＩ　Ｈａｌｌ　Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９９９，　［５］Ｇｒｏｓｓ　Ｆ　Ｂ．Ｓｍａｒｔ　ａｎｔｅｎｎａｓ　ｏｒ　ｆｗｉｒｅｌｅｓｓ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ＭＡＴＬＡＢ［Ｍ］．ＭｃＧｒａｗ—Ｈｉｌｌ：ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｅｃｉｅｓ，２００５　［６］Ｆｌｅｔｈｅｒ　Ｒ，Ｃ　Ｒｅｅｖｅｓ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｍｉｎｍｉｚａｔｉｏｎ　ｂｙ　Ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　Ｇｒａｄｉｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｊｏｕｒｎａｌ，１９６４，７：１４９—１５４．　［７］欧志英，严克明，王柏岩．共轭梯度法和最速下降法的混合算法［Ｊ］．甘肃工业大学学报，１９９９，２５（１）：８９—９１　［８］汤仪平，金福江．最速下降法和共轭梯度的混合算法及全局收敛［Ｊ］．华侨大学学报（自然科学版），２００７，２８（２）：１２４—１２６．　［９］Ｍ　Ｃ　Ｖａｎｄｅｒｖｅｅｎ，Ａ　ｖａｎ　ｄｅｒ　Ｖｅｅｎ，Ａ　Ｐａｕｌｒａｊ．Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｕｈｉｐａｔｈ　ｃｈａｎｎｅｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎ　ｗｉｒｅｌｅｓｓ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．１ＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓ，１９９８，４６（３）：６８２—６９０．　［１　Ｏ］Ａｔｈａｎａｓｉｏｓ　Ａ．Ｒｏｎｔｏｇｉａｎｎｉｓ，Ｋｏｓｔａｓ　Ｂｅｒｂｅｒｉｄｉｓ，Ａｌｅｘａｎｄｒａ　Ｍａｒａｖａ，Ｊａｃｑｕｅｓ　Ｐａｌｉｃｏｔ，Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｓｅｍｉ—ｂｌｉｎｄ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｕｈｉｐａｔｈ　ｃｈａｎｎｅｌ　ｐａ—　ｒａｎｌｅｔｅｒｓ　ｖｉａ　ａ　ｄｅｌａｙ　ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．ＥＬＳＥＶＩＥＲ．Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００５，（８５）：２　３９４—２　４１ｌ　Ａｎ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｈｙｂｒｉｄ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｔｅｅｐｅｓｔ　Ｄｅｓｃｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　Ｇｒａｄｉｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｂｅａｍ　Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ＺＨＡｏ　Ｃｕｉ—ｑｉｎ　，ＤＵＡＮ　Ｙａｎｇ—ｍｉｎｇ　，ＢＡＯ　Ｙｕ—ｚｈｅｎｇ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｃｈｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｘｉ　５４６３００；　２．Ｙｕｎｎａｎ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，　Ｋｕｎｍｉｎｇ，Ｙｕｎｎａｎ　６５０２２４，Ｃｈｉｎａ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］　Ａ　ｈｙｂｒｉｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｔｅｅｐｅｓｔ　ｄｅｓｃｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｂｅａｍ　ｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｄｅｒｉｖｅｓ　ｃｏｓｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｕｐｏｎ　ｌｅａｓｔ　ｍｅａｎ　ｓｑＨａｒｅ（ＬＭＳ）ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｈｙｂｒｉｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｒａｉｓｅｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｒａｔｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｓｏｌｖｅｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｓｌｏｗ　ｄｅｓｃｅｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔｅｅｐｅｓｔ　ｄｅｓｃｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｈｙ—　ｂｒｉｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｓｕｐｅｒｉｏｒ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｔｅｅｐｅｓｔ　ｄｅｓｃｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｔｈａｔ　ｉｔ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ｒｅｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｂｕｔ　ａｌ—　ＳＯ　ｓｈｏｒｔｅｎｓ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｏｆ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ．　［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］　ｓｔｅｅｐｅｓｔ　ｄｅｓｃｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ；ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ；ａｄａｐｔｉｖｅ　ｂｅａｍ　ｆｏｒｍａｔｉｏｎ　收稿日期２０１　ｌ一０６—１　１　［责任编辑刘景平］