士兵军考试题：2017年院校招生文化科目统一考试——士兵高中数学模拟试题1(含答案)

阶段性检测试题

一、选择题（共9小题，每题4分）

1、已知全集U＝R，集合A＝{x|lg x≤0}，B＝{x|2≤2}，则A∪B＝( D )

11

A．∅ B．(0，3] C．[3，1] D．(－∞，1] 1

(1)由题意知，A＝(0，1]，B＝(－∞，3]，∴A∪B＝(－∞，1]．故选D.

2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a52，a2＝2，则a1＝( C ) 12A.2 B.2 C.2 D．2 解析：选C.由等比数列的性质得 ， ∵q>0，

a6a2

∴a6＝2a5，q＝a5＝2，a1＝q＝2，故选C.

π

3．已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：∀x∈0，，f(x)<0，则( D )

2

π

A．p是假命题，p：∀x∈0，，f(x)≥0

2πB．p是假命题，p：∃x0∈0，，f(x0)≥0

2

π

C．p是真命题，p：∀x∈0，，f(x)>0

2π

D．p是真命题，p：∃x0∈0，，f(x0)≥0

2

π解析：选D.因为f′(x)＝3cos x－π，所以当x∈0，时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

2

π

所以∀x∈0，，f(x)2

以答案选D.

4．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝23，且a∈(a＋b)，则a与b的夹角为(D ) π2π3π5πA.2 B.3 C.4 D.6

解析：选D.a∈(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉

5π3＝－2，故所求夹角为6.

5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( A )

x

3

A．f(x)＝

1 2xB．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝2－x

C．f(x)＝x3

1

解析：选A.A中f(x)＝x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．

6．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( B)

解析：选B.∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，

∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a＞1，则0＜b＜1， 此时f(x)＝ax是增函数， g(x)＝－logbx是增函数， 结合图象知选B.

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( B )

3n－1

A．2n－1 B.2



2n－11C.3 D. 2n－1

Sn＋13[解析] (1)由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，Sn＝2，

3n－1

而S1＝a1＝1，所以Sn＝2.



[答案] B

xy212

8.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当z取得最大值时，x＋y－z的最大值为( B )

9

A．0 B．1 C.4 D．3 解析：选B.z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，

xyxy11∴z＝2＝≤＝1.

x－3xy＋4y2x4y4－3

y＋x－3

x4y

当且仅当y＝x，即x＝2y时等号成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，

1221221212212∴x＋y－z＝2y＋y－2y2＝－y2＋y＝－y－1＋1，∴当y＝1时，x＋y－z的最大值为

1.

9.已知{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于( C )

A．40 B．200 C．400 解析：选C.Sa1＋a1020－2S10＝

20（a1＋a20）10（2－2×）

2

＝10(a20－a10)＝100d. 又a10＝a2＋8d， ∴33＝1＋8d， ∴d＝4.

∴S20－2S10＝400.

二、填空题（共8小题，每题4分）

1、函数f(x)＝10＋9x－x2

lg（x－1）

的定义域为( )

解析：要使函数有意义，



10＋9x－x2

≥0，（x＋则x需满足1）（x－10）≤0，①x－1>0，即

x>1，

lg（x－1）≠0，x≠2，

解①得－1≤x≤10.

所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]． 2、函数y＝cos(42x)的单调减区间为________．

(3)由y＝cosππ

4－2x＝cos

2x－4，得

2kπ≤2x－π

4≤2kπ＋π(k∈Z)，

故kπ＋π5π

8≤x≤kπ＋8(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为

kπ＋π8，kπ＋5π

8(k∈Z)．

3、函数f(x)＝x33x23x4在[0，2]上的最小值是( ) D．20

17

A．－3 10B．－3

C．－4 D．－3 解析：选A.f′(x)＝x2＋2x－3， 令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，

1710

又f(0)＝－4，f(1)＝－3，f(2)＝－3，

17

故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－3.

4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P­ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA∈平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则

AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝2，所以最长的棱为PC，PC＝PA2＋AC2＝22. 答案：22

5、若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－4，则an＝________．

4

解析：由3an＋1＝3an－4，得an＋1－an＝－3，

4

所以{an}是等差数列，首项a1＝15，公差d＝－3，

49－4n4

所以an＝15－3(n－1)＝3.

49－4n答案：3

2

6、若命题“∃x0∈R，2x0－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

2

因为“∃x0∈R，2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则“∀x∈R，2x－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.

7、若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，2941则 f4＋f6＝________．

sin πx，133417729

∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴f4＝f8－4＝f－4，f6＝f8－6＝f－6. 

3333

∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，∴f4＝4×1－4＝16.∵当1

x，

7π71

∴f6＝sin6＝－2.又∵f(x)是奇函数， 

337713－－∴f4＝－f4＝－16，f6＝－f6＝2. 2941135∴f4＋f6＝2－16＝16. 

8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．

解析：(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；

31

当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥x2－x3.

31

设g(x)＝x2－x3，

3（1－2x）

则g′(x)＝， x4

110，，1所以g(x)在区间2上单调递增，在区间2上单调递减， 1

因此g(x)max＝g2＝4，从而a≥4.



31

当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤x2－x3. g(x)在区间[－1，0)上单调递增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4， 从而a≤4，综上可知a＝4. 答案：4

三．计算下列各题：（18分） 1324

(1)2lg 49－3lg 8＋lg 245；

1324

解：(1)2lg 49－3lg 8＋lg 245 1431

＝2×(5lg 2－2lg 7)－3×2lg 2＋2(lg 5＋2lg 7) 51

＝2lg 2－lg 7－2lg 2＋2lg 5＋lg 7 1111＝2lg 2＋2lg 5＝2lg(2×5)＝2.

（2）在∈ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.求角A的大小； [解] (1)由题意知，

根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc.∈

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

1

故cos A＝－2，A＝120°. 四、（12分）已知p:1x1q:x22x1m20(m0)，2，若p是q的必要不充分条件，

3求实数m的取值范围。

五、证明：(1)连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1. 从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1＝C， 所以BD⊥平面ACC1.

而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1. 因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点， 所以MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

（12分）六、已知函数f(x)sin(x)cosxcos2x(0)的最小正周期为，将函数

1纵坐标不变，得到函数yg(x)的图像，yf(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，2求函数yg(x)在区间0,

上的最小值。 16（14分）七、已知数列an满足an12(an1)21，且a13,an1 （1）设bnlog2(an1)，证明数列bn1为等比数列； （2）设cnnbn，求数列cn的前n项和sn。

ex（14分）八、已知函数f(x)＝

x(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)＝ex

x，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴f′(x)＝ex（x－1）

x2. 当f′(x)＝0时，x＝1.

f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：

x (－∞，0) (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － － 0 ＋ 极小f(x) 值 故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)． (2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝ex－a，

①当a≤1时，g′(x)＝ex－a>0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋上无极值点．

②当a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a； 令g′(x)＝ex－a>0，得x∈(ln a，＋∞)； 令g′(x)＝ex－a<0，得x∈(0，ln a)．

故g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增，

∴g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝ln a. 故实数a的取值范围是a>1.

∞)