“绝对值型函数”的求解策略

理封磷竺／数学　“绝对值型函数”的求解策略　文／丁永前　【摘要】在近几年各地的高考或模拟考试中，含有绝对　值的函数的求解层出不穷，我们不妨称之为“绝对值型函　数”，绝对值型函数是大部分考生的弱点，更是难点所在，因　为这类题目主要考察学生对基本函数的掌握和去绝对值的　思想灵活运用的能力，若是基本功不扎实不能转化为已学的　基本函数类问题求解，若是灵活运用的能力不强，则不能通　过知识的迁移将转换后的问题进行求解。　【关键词】绝对值的函数；函数求解　本文笔者通过对这类问题的思考，谈谈解决绝对值型函　数的常用解法。　１．形如“ｙ＝ｌｆ（ｘ）ｌ”型。这是单一绝对值型函数，不论“ｘ）是　已知函数还是含参数的未知函数，都可对“对值的正负进行　分类讨论。　例１．（２０１４年淮阴市模拟试题）已知函数ｆ（ｘ１＝ｅｘ，（１）求　证：ｆ（ｘ）≥ｘ＋１；（２）求证：对任意的正数ａ，总存在正数ｘ，使得　Ｊ　ｌｘ　一ｌ　ｌＩ　＜ａ成立。　解析：第（１）小题利用导数可求得函数ｇ（ｘ）＝ｅＸ－ｘ一１在ｘ＝Ｏ　处求得最小值为０，故　ｘ）≥ｘ＋ｌ得证；第（２）小题的绝对值若　利用第（１）小题的结果进行分析，可变形为ｌ坐　Ｉ：　Ｉｆ（ｘ）－ｌ－ｘｌ　１＿　＝　即证明对任意的ａ∈ｆ０，＋。。），总存在　∈　例２．（２０１４年徐州　模拟题改编）已知ａ≠Ｏ，若函　数ｆｉｘ）－ＸＩｘ－ａｌ在区间ｍ，ｎ１上既　有最大值又有最小值，分别求　出ｍ，ｎ的取值范围（用ａ表　示）。　解析：由函数在开区间ｆｍ，　ｎ）上既有最大值又有最小值，　则最大值、最小值只能在函数　的极值点处取得，由ｆ（ｘ）　｛　；　，当ａ＞０时，由右图可知极小值为０，极大值为孚　所以函数在开区间ｍ，ｎ）上的最小值为ｆ（ａ）＝ｏ，最大值为ｆ（　）　＝　，可知０≤ｍ≤　ａｚ，ｎ＞ａ，且ｎ２一ａｎ≤丁ａｚ，解得ａ＜ｎ≤　ａ＋Ｘ／２ａ下；当ａ＜０时，求得卫　≤ｍ＜ａ，　ａ＜ｎ≤０。　３．形如“ｆ（ｘ）＝ｌｘ—ａｌ＋ｌｘ—ｂｌ”或“ｆ（ｘ）＝Ｊｘ—ａｌ—Ｊｘ－ｂ　其中ａ，ｂ为　已知的常数）的函数．这是双绝对值型函数中的类型，可用正　豳文理导航２０１５／０６　负性分类讨论　的方法或者用　数轴的几何意　义将绝对值去　掉，由ｆ（ｘ１＝Ｉｘ—　ａＩ－Ｉｘ—ｂＩ有图形　（１）则ｆ（ｘ）￣ｌａ－ｂｌ；由ｆ（ｘ）＝ｌｘ—ａｌ—Ｉｘ＋ｂｌ有其图形（２）则一ｌａ－ｂｌ￣ｆ（ｘ）　≤ｌａ—ｂｌ。　例３．（２０１４年湖北卷高考题　改编）已知函数ｆｉｘ）是定义在Ｒ　上的奇函数，当ｘ＞Ｏ时，ｆｆｘ１＝Ｉｘ—　ａ２１＋ｌｘ一３ａ　Ｉ一４ａ　，若对任意的ｘ∈　Ｒ，都有ｆ（Ｏ≤ｆ（ｘ＋２１成立，则实数　ａ的取值范围为　。　解析：本题即为ｆｆｘ）＝Ｊｘ＿ａＩ＋Ｉｘ＿ｂＩ型函数，又３ａ　≥ａｚ≥０，所　以Ｉｘ—ａ　ｘ－３ａ　≥２ａ　，则当ｘ＞Ｏ时ｆ（　≥一２ａ２且与ｘ轴的交点为　（４ａ２，０），由奇函数可知：当ｘ＜Ｏ时　ｘ）≤２ａ２，且与Ｘ轴的交点为一　ｆ４ａ２，０），如图。因为ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ＋２）对任意的Ｘ∈Ｒ成立，所以ｆ（ｌｘ＋２）　的图像恒在ｆ（ｘ１的上方或有部分重合，当ｆ（ｘ１向左平移８ａｚ个单　位时为临界值，从而有ｆ（ｘ）向左平移大于或等于８ａｚ个单位时　能满足题意，故由８ａ　≤２解得一　１≤ａ≤　１。　例４．（２０１４年南通模拟试题）设实数ａ使得不等式１２ｘ—ａｌ＋ｌ　３ｘ－３ａｌ≥ａｚ对任意实数Ｘ恒成立，则满足条件的ａ所组成的集　合为。　——解析一：设函数ｆ（ｘ）＝１２ｘ－ａｌ＋１３ｘ－２ａｌ。方法一、对ａ的正负性　进行讨论，去掉绝对值，实质为求ａ＞Ｏ和ａ＜Ｏ两种情形之下分　段函数的最小值问题。对ａ分类讨论为：当ａ≥Ｏ时，有ｘ＜．ａ＾，　ｆ（ｘ）＝３ａ－５ｘ；　ａ≤ｘ≤竿时ｆ（炉ａ　ｘ＞　；　＝５ｘ一３ａ。由图像　可得ｘ＝竽时函数取得最小值，此时ａ≥０且　ａ≥ａ。；解得０＜　ａ≤　１；同理：当ａ＜Ｏ时，有ｘ＜竿ｆｉｘ）＝３ａ一５ｘ；竽≤ｘ≤　ａ　ｆ（ｘ）＝　ｘ＿ａ；ｘ＞ａｒｉｘ）－Ｓｘ一３ａ由图像可得ｘ＝　【一时函数取得最小值，此　时ａ＜Ｏ且一　ａ　ａ２，解得一｝≤ａ＜０；当ａ＝：０，易知原不等式恒成　立综上所述，ａ　ＮｇｚｔＡ￣ＮＮ［一　１，　１】。　解析二：转化为　ｌｘ）＝『ｘ—ａ『＋『ｘ＿ｂ『型求解。ｆ（ｘ）＝／２ｘ—ａ『＋ｆｘ－ｂｆ型　求解。ｆ（Ｉｘ一争１）＋ｘ）ｌ＝ｘ一ｌ２孕ｌｘ—ａ１＋，１３其中２ｘ一２ａｌ＿ｉ２．ｘｌ　ｘ－一￣．－争Ｉ；＋ｌ　ｘ一Ｉｘ孕１一争ｌ）在［＝２（争，１争】ｘ－争Ｉ（ａ如　＋　时）或【　，—ａ　］ｉａ＜Ｏ时）上任意一点取得最小值，而Ｉ　等Ｉ在　ｘ＝　时取得最小值，综上所述：当ｘ＝　时原函数取得最小　值，故ｆ（　≥　即可，解得ａ的取值范围为卜｝，｝］。　波利亚在《怎样解题》一书中，阐述了解题者在面对问题　时寻求突破的一般思路。因此，教师平时在讲评问题的过程　中，应注重对通性通法的讲解，培养出学生自身的解题能力，　若从不同的角度思考、观察常常会有“横看成岭侧成峰”的感　觉，在面对绝对值型函数的求解，只要认真分析、仔细琢磨参　考上述方法，即可找到简洁明快的解题方法。　（作者单位：江苏省如皋市第一中学）