初中数学总复习《几何基本图形1—三角形》讲义
今日多几分钟 时的
的努力，明日多 几小快乐！何 乐而不为 ！
教师指导讲义
学员姓名： 讲课日期实时段 课
题
指导课目： 数学
年级： 九年级
学科教师： 汪老师
初中数学总复习——几何基本图形 1——三角形
学习目标
教课内容
初中数学总复习——几何基本图形
【一、三角形的有关观点】
【基本知识考点： 】
1——三角形
一、三角形的分类：
1 、三角形按角分为 ______________ ， ______________ ， _____________ ．
2 、三角形按边分为 _______________,__________________. 二、三角形的性质：
1 、三角形中随意两边之和 ____第三边，两边之差 _____第三边
2 、三角形的内角和为 _______，外角与内角的关系： 三、三角形中的主要线段：
__________________ ．
1 、 ___________________________________ 叫三角形的中位线．
2 、中位线的性质： ____________________________________________ ． 3 、三角形三条中位线将三角形分红四个面积相等的全等三角形。
4、角均分线： 三角形的角均分线交于一点，这点叫三角形的心里，它到三角形三边的距离
心里也是三角形内切圆的圆心 5、三角形三边的垂直均分线：
三个极点的距离
。
三角形三边的垂直均分线交于一点，这点叫做三角形的外心，它到三角形
， ，外心也是三角形外接圆的圆心。
6 、三角形的中线、高线、角均分线都是____________ ．( 线段、射线、 直线 ) 四、等腰三角形的性质与判断：
①
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今日多几分钟
的努力，明日多 几小时的 快乐！何 乐而不为 ！
1 、等腰三角形的两底角 __________ ；
2 、等腰三角形底边上的 ______、底边上的 ________和顶角的 _______相互重合（ 三线合一）； 3 、有两个角相等的三角形是 _________． 五、等边三角形的性质与判断：
1 、等边三角形每个角都等于 _______，相同拥有“三线合一”的性质；
2、三个角相等的三角形是
是等边三角形．
六、直角三角形的性质与判断：
________，三边相等的三角形是 _______，一个角等于 60°的 三角形
1 、直角三角形两锐角 ________．
2 、直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的 ________．
3 、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的 ； 4 、勾股定理： _________________________________________ ．
5 、勾股定理的逆定理： _________________________________________________ ．
【有关中考试题： 】
1、假如一个等腰三角形的两边长分别是
5cm 和 6cm，那么此三角形的周长是（
C
． 17cm
D
． 16cm或 17cm
） A ． 15cm
B ． 16cm
2、如图，在 △ ABC 中， AB AC 13， BC 10 ，点 D 为 BC 的中点，
DE DE AB ，垂足为点 E ，则 DE 等于（
A．
10
13
B ．
15
C．
60 13
D ．
75
13
）
13
3、 如图，⊿ ABC和⊿ CDE均为等腰直角三角形，点 B,C,D 在一条直线上，
点 M是 AE 的中点，以下结论：①
tan ∠ AEC=
BC CD
A
; ② S ⊿ ABC+S⊿ CDE≧ S⊿ ACE ;
M
E
③ BM⊥DM; ④ BM=DM.正确结论的个数是（ （A）1 个
）
（D）4 个
（B）2 个
（C）3 个
B
CD
4、如图 3，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， BC=6cm， AC=8cm，按图中所示方法将△ AB边的
BCD沿 BD折叠，使点 C落在
②
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今日多几分钟的努力，明日多几小时的快乐！何乐而不为！
′点，那么△
′的面积是 ．
C
ADC
B
D
A ' 图 3
C E
A
第5题图
5、如图 5，在△ ABC中，∠ C=90°， BC=6,D,E 分别在 AB,AC上，将△ ABC沿 DE折叠，使点 A 落在点 A′处，
若 A′为 CE的中点，则折痕 DE的长为（ A．
） ． 3
1
B ．2
C D． 4
2
6、一个正方体物体沿斜坡向下滑动， 其截面如下图 . 正方形 的边长为 2 米，坡角∠ ＝ 30° , ∠ ＝90° , DEFH A
米时 , 有 DC2 ＝ AE2 ＋BC2 .
B
BC＝ 6 米. 当正方形 DEFH运动到什么地点 , 即当 AE ＝
7、已知等边△ ABC中，点 D,E 分别在边 AB,BC 上，把△ BDE沿直线 DE翻折，使点 B 落在点 Bˊ处， DBˊ ,EBˊ
分别交边 AC于点 F， G，若∠ ADF=80o ，则∠ EGC的度数为 8、如图，△
和△ 都是等腰直角三角形，∠ 交
=∠ 交
于点
=90°四边形
是平行四边形，连接
ABCADE
于点
，连接
BAC DAE
G
，连接.
ACDE
CE AD F BD CE BE
以下结论中：必定正确的结论有 ① CE =BD；
② △ ADC是等腰直角三角形；
③ ∠ ADB=∠ AEB； ④ CD· AE =EF· CG ；
9、如图 7-67 所示 , 有一底角为 35°的等腰三角形纸片 , 现过底边上
一点 ,
沿与底边垂直的方向将其剪开
, 分红三角形和四边形两部分 .
, 则四边形
中的最大角的度数是
10、如图，已知△ ABC是等边三角形，点 B、 C、 D、E 在同向来线上，且 CG＝ CD，DF＝ DE，则∠ E＝
度．
③
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今日多几分钟
的努力，明日多 几小时的 快乐！何 乐而不为 ！ 11、如图，已知等腰 Rt△ ABC的直角边长为 1，以 Rt △ ABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰 Rt △ ACD，再以
Rt △ ACD的斜边 AD为直角边，画第三个等腰
个
等腰直角三角形所组成的图形的面积为
__
Rt △ ADE， ，依此类推直到第五个等腰 Rt △AFG，则由这五
____ ． A2 、
12、如图，已知∠ AOB= ，在射线 OA、 OB上分别取点 OA1 =OB ，连接 A B ，在 B A 、B B 上分别取点
1
1
1
1
1
1
B2，使 B1 B2=B1A2，连接 A2 B2 按此规律上去，记∠
A2 B 1 B2= 1，∠ A3B2B3
⑵
n =
2， ， ∠ A n+1 B n Bn 1
n 则 ⑴
1 =
； 。 13、在图 14-1 至图 14-3 中，点 B 是线段 AC的中点， 点 D是线段 CE的中点． 四边形 BCGF和 CDHN都是正方形．
AE 的中点是 M．
G(N)
F
H
（ 1）如图 14-1 ，点 E 在 AC的延伸线上，点 N与点 G重
合时，点 M与点 C重合，
A
求证： FM= MH， FM⊥ MH；
（ 2）将图 14-1 中的 CE绕点 C顺时针旋转一个锐角，
获得图 14-2 ，
B C(M) D E
图 14-1
F
G
N
H
求证：△ FMH是等腰直角三角形；
A
B
C
（ 3）将图 14-2 中的 CE缩短到图 14-3 的状况，
M
D
△ FMH仍是等腰直角三角形吗？
图 14-2
F G
E （不用说明原因）
N C
H
A
B
M
D
图 14-3
E
④
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今日多几分钟
的努力，明日多
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几小时的 快乐！何 乐而不为 ！
若 AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数 ). 尝试究线段 EF 与 EG的数目关系 .
（ 1）如图 (14.2), 当 m=1,n=1 时 ,EF 与 EG的数目关系是
证明 :
（ 1）如图 (14.3), 当 m=1,n 为随意实数时 ,EF 与 EG的数目关系是
证明：
（3）如图 (14.1),
当 m,n 均为随意实数时 ,EF 与 EG的数目关系是
( 写出关系式 , 不用证明 )
【二、全等三角形和相像三角形： 】
【基本知识考点： 】
一、全等三角形：
1、全等三角形 :____________ 、 ______________的三角形叫全等三角形
.
2、三角形全等的判断方法有
:____ 、 ____、 ____、 ___. 直角三角形全等的判断除以上的方法还有
___________， ____________.
________.
3、全等三角形的性质：全等三角形
4、全等三角形的面积 _______、周长 _____、对应高、 ______、 _______相等 .
5、证明三角形全等的思路：
（ 1）已知两边
（ 2）已知一边一角 （ 3）已知两角
二、相像三角形：
1、三边对应成 _________ ，三个角对应 ________的两个三角形叫做相像三角形．
2、相像三角形的判断方法
⑴ 若 DE∥ BC（ A 型和 X 型）则 ______________．
⑵ 射影定理：若 CD为 Rt △ ABC斜边上的高（双直角图形）则
Rt△ ABC∽ Rt△ ACD∽ Rt△ CBD且
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今日多几分钟
2
2
的努力，明日多
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几小时的 快乐！何
乐而不为
！
AC
=
，CD = ，BC = ．
A
D
B
E C
B
E D A
C
A
C
D B
⑶ 两个角对应相等的两个三角形
__________ ．
⑷ 两边对应成 _________且夹角相等的两个三角形相像．
⑸ 三边对应成比率的两个三角形
___________． 3、相像三角形的性质
⑴ 相像三角形的对应边 _________，对应角 ________．
⑵ 相像三角形的对应边的比叫做
________，一般用 k 表示． 线，对应边上的
⑶ 相像三角形的对应角均分线，对应边的
线的比等于 比，
周长之比也等于 ________比，面积比等于 _________．
【有关中考试题： 】
1、如图 2，某同学把一块三角形的玻璃打坏成了三块，此刻要到玻璃店去配一块完整相同的玻璃，那么最省事
的方法是（ A.
带①去
B.
） 带②去
C.
带③去
D.
带①和②去
2、已知如图 11- 134 所示的两个三角形全等，则∠
a 的度数是 （ ） A ．72°
B ．60° C ．58° D ．50°
） 3、如图 11- 135 所示，在等腰梯形 A ．2对
B ．3对
C ．4对
ABCD中， AB＝ DC， AC，BD交于点 O，则图中全等三角形共有（
D ．5对
6、 8，按如图那样折叠，使点
： 5
4、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为
A 与点 B 重合，折痕为 DE， D. 4:21
则 S ： S 等于（
）
A. 2 B.14:25
C.16:25
△BCE △BDE
F 是 □ABCD的边 CD上一点，直
5、如图，点 线
BF交 AD的延伸线于点 E，则以下结论错误 的是 （
）
．．
A.
ED DF =
B.
DE EF
=
C.
BC BF
= D.
BF BC
=
EA AB BC FB DE BE BE AE
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今日多几分钟
的努力，明日多 几小时的 快乐！何 乐而不为 ！ 6、如图，△ ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm， ?要把它加工成正方形部件，使正方形的
一边在 BC上，其他两个极点分别在 AB、 AC上， ?这个正方形部件的边长是多少？
【三、锐角三角函数和解直角三角形： 】
【基本知识考点： 】
α b
c
一、锐角三角函数
1、 sin α， cos α， tan α定义
a
sin α＝ ____， cos α＝ _______， tan α＝ ______ ． 2、特别角三角函数值
30°
sin α
45°
60°
A
b
c
cos α tan α
二、解直角三角形
C B 图 1
a
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乐而！
1、解直角三角形的观点：在直角三角形中已知一些 2、如图（ 1）解直角三角形的公式： （ 1）三边关系： __________________． （ 3）边角关系： sinA=
_____________ 叫做解直角三角形．
（ 2）角关系：∠ A+∠ B＝ _____，
．tanA=
cosA=_______ ， 3、如图（ 2）仰角是 ____________, 俯角是 ____________ ．
4、如图（ 3）方向角： OA： _____， OB： _______，OC： _______， OD： ________． 5、如图（ 4）坡度： AB 的坡度 i AB＝ _______，∠α叫 _____， tan α＝ i ＝ ____．
B
北
A C 东
A
A
O
C
西
O 60 70
45
B
D 南 B
C
【有关中考试题： 】
1、已知 3tan A 3 0 则
． sin A=_______.
2、如图，△ ABC的极点都在方格纸的格点上，则
BC、CA、 AB知3、在△ ABC中，若三边 足 A．
BC∶ CA∶ AB=5∶12∶ 13，则 cos B=（ C
）
5
12
B
． 12
5
．
5
D
． 12
13
13
4、如下图，在△ A 、 2
ABC中，∠ C=90°， AD是 BC边上的中线， BD=4，AD=2 B 、
C 、
D、
，则 tan ∠CAD的值是（ ）
5、如图， A、 B、 C三点在正方形网格线的交点处，若将△ 则 tanB ’的值为（ A．
ACB绕着点 A逆时针旋转获得△ AC’B’，
） C．
1
2
B．
1
3
1
4
D．
2 4
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C’
C
A B
6、点 （－ sin60 °， cos60 °）对于
轴对称的点的坐标是（
）
M
A．（
x
3，1） B．（ 3 ， ）C．（ 2 2 2 2
131
2 2
，） D．（
1 ， 2
3 ） 2
7、如图是教课用直角三角板，边
AC=30cm，∠ C=90°， tan ∠ BAC=
3
3
，则边 BC的长为（
） A 、30
3 cm B、 20 3 cm
C、 10 3 cm D、 5 3 cm
）
D.
8、已知△ ABC的外接圆 O的半径为 3，AC=4，则 sinB= （
A.
1 3
B.
3 4
C.
4 5
2 3
9、如图 28－ 145 所示，在高楼前的 D点测得楼顶的仰角为
仰角为 45°，则该高楼的高度大概为 A ．82米
30°，向高楼行进 60 米抵达 C点，又测得楼顶的
( )
．163 米 ．52 米 D．70米 B C
ABCD中， E、 F 分別是 AB、AD的中点，若 EF=2， BC=5，CD=3，则 tanC 等于
10、如图，在四边形 （
3
）
4 3
4
A ． 4
B
． 3
C
． 5
D
． 5
C
150°
h
D
A
B
图 4
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今日多几分钟
的努力，明日多 几小时的 快乐！何 乐而不为 ！ ABCD中，点 E 在 AB边上，沿 CE折叠矩形 ABCD，使点 B 落在 AD边上的点 F 处，若 11、如图，在矩形 AB=4， 5，则
∠的值为（ ）
BC=
3
tan
B AFE
． 3
5
A ． 4 C． 3 4
D
． 4
5
12、图 4 是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯表示图．此中
、 分别表示一楼、二楼地面的水平线，
AB CD
∠ ABC=150°， BC的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C上涨的高度 h 是（ A ．
）
8 m
3 3
B． 4 m
C.3 m
D.5 m
13、△ ABC中，若（ sinA － ） ＋|
1
2
3
2
－ cosB| ＝0，则∠ C的大小是 _______．
14、计算： | － 1| －
1
2
8 －（ 5－π） 0+4cos45 °先化简，
2 2 x2 15、求代数式
1 的值，此中 x=2cos45 °﹣ 3．
9 x 3
16、如图 28－ 140 所示， A， B两城市相距 100 km ．现计划在这两座城市中间修建一条高速公路
经丈量，丛林保护中心
( 即线段 AB) ， P在 A 城市的北偏东 30°和 B城市的北偏西 45°的方向上．已知丛林保护区的范
围在以 P 点为圆心， 50 km 为半径的圆形地区内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区． 为何 ?( 参照数据：
3 ≈1.732 ， 2 ≈ 1.414)
17、气象台公布的卫星云图显示，代号为
W的台风在某海岛（设为点 O ）的南偏东 45o 方向的 B 点生成，测得
5h 后抵达海面上的点
OB 100 6km ．台风中心从点 B 以 40km/h 的速度向正北方向挪动，经
受气旋影响，台风中心从点
C 处．因
C 开始以 30km/h 的速度向北偏西 60o 方向持续挪动．以
O 为原点成立如图
⑩
11 / 1211 / 12
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今日多几分钟
的努力，明日多 几小时的 快乐！何 乐而不为 ！ 12 所示的直角坐标系．
（ 1）台风中心生成点
B 的坐标为
，台风中心转折点
C 的坐标为
；（结果保存根号）
（ 2）已知距台风中心 20km的范围内均会遇到台风的侵袭．假如某城市（设为点
处于台风中心的挪动路线上，那么台风从生成到最先
．．
A ）位于点 O 的正北方向且
侵袭该城要经过多长时间？
北
A
y/km
60o
C
45o
东 x/km
O
图 12
B
?
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