2-3-2平面与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 2．以下三个命题中，正确的命题有( )
①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( ) A．有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 4．已知l⊂β，m⊥α，有下列四个命题： ①α∥β⇒l⊥m; ②α⊥β⇒l∥m； ③l∥m⇒α⊥β； ④l⊥m⇒α∥β. 其中正确的命题是( ) A．②与④ B．③与④ C．①与② D．①③ 5．正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面BC1垂直的面的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 6．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定
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7．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述： ①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交； ④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β. 其中表述正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于( )
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A.3 B.2 C.2 D.3
9．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( )
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
10．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为( )
A．45° B．30° C．60° D．90°
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二、填空题
11．下列四个命题中，正确的命题为________(填序号)． ①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ ②α∥β，β∥γ，则α∥γ ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
12．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
13．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.
14．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
(1)二面角A－PD－C的度数为________；
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(2)二面角B－PA－D的度数为________； (3)二面角B－PA－C的度数为________； (4)二面角B－PC－D的度数为________． 三、解答题 15．(2012·江西卷)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG； (2)求多面体CDEFG的体积．
16．在如下图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD.
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC； (2)求二面角C－AB－D的大小．
[分析] (1)转化为证明CD⊥平面ABC； (2)∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
17．已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M、N分别
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是AB、PC的中点，求证：
①MN∥平面PAD；
②平面PMC⊥平面PDC.
18．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小．
详解答案 1[答案] B
[解析] 对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.
[点评] 根据二面角的相关概念进行分析判定． 2[答案] B
[解析] 仅②正确． 3[答案] C
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[解析] 经过l的任一平面都和α垂直． 4[答案] D [解析]
m⊥α
⇒m⊥β
α∥β
l⊂β
⇒m⊥l，∴①正确否定A、B，
又m⊥α
⇒l⊥α
l∥m
l⊂β
⇒β⊥α，∴③正确否定C，故选D.
5[答案] D
[解析] 与平面BC1垂直的面有：平面AC1，平面AC1，平面AB1，平面CD1.
6[答案] B
[解析] 如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.
7[答案] B
[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．
8[答案] C
[解析] 设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥AO，
∴∠A1OA为二面角的平面角．
A1A
tan∠A1OA＝AO＝2，∴选C. 9[答案] D
[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，
6
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角， ∵AB＝6，BC＝3， ∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°， ∴二面角大小为60°或120°. 10[答案] D
[解析] 设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD ∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD
∵E、F分别为CD、BD的中点， ∴EF∥BC，
∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，
又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D. 11[答案] ①②
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12[答案] 3
[解析] ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P， ∴PA⊥平面PBC，
∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.
13[答案] 1
[解析] ∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，
∴C1F⊥EF，CF⊥EF，
∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角， ∴∠C1FC＝45°，
∴△FCC1是等腰直角三角形， ∴CF＝CC1＝AA1＝1.
又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1. 14[答案] 90°；90°；45°；120°
[解析] (1)PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD
又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， 又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD， ∴二面角A－PD－C为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA ∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角 又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90° (3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角 又ABCD为正方形，∴∠BAC＝45° 即二面角B－PA－C为45°
(4)作BE⊥PC于E，连DE
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则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE 从而△PBE≌△PDE ∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE ∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
PB·BC6
∴BE＝PC＝3a，BD＝2a
BO3
∴取BD中点O，则sin∠BEO＝BE＝2， ∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120° ∴二面角B－PC－D的度数为120°.
15[解析] (1)由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF，又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以
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所求体积为3S正方体DECF·GO＝3×5×5×5＝20.
16[解析] (1)证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B， ∴CD⊥平面ABC.
又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC. (2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C， ∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角． ∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°. ∴二面角C－AB－D的大小为45°.
17[解析] (1)取PD的中点Q，连接AQ、QN
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∵PN＝NC，∴QN綊2DC ∵四边形ABCD为矩形，
∴QN綊AM ∴MN∥AQ，
又∵AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90° ∴△PAD为等腰直角三角形 ∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD
∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，
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∵AQ⊂平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC 由①MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC，
又∵MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.
18[解析] (1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，
又AB∥CD，所以BE⊥AB，
又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE. 而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．
PA
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝AB＝3，∠PBA＝60°. 故二面角A－BE－P的大小是60°.
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