泛函分析报告小论文设计[1]

泛函分析论文

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。。

§1 度量空间

§1.1 定义：若X是一个非空集合，d:X值函数，对于x,yX，有

（1）d(x,y)0当且仅当x（2）d(x,y)d(y,x)；

（3）d(x,y)d(x,z)d(y,z)，

则称d为X上的度量，称(X,d)为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子

例：1、离散的度量空间(X,d)，设X是一个非空集合，x,yX，当

XR是满足下面条件的实

y；

1,当xy。

d(x,y)0,当x=y2、序列空间S ，d(x,y)1|i-i|是度量空间 i21+|i-i|i=13、有界函数全体B(A) ，d(x,y)sup|x(t)-y(t)|是度量空间

tA4、连续函数C[a,b]，d(x,y)max|x(t)-y(t)|是度量空间

atb5、空间l，d(x,y)[2(y-x)]kki=1122是度量空间

§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果

xn是(X,d)中点列，如果

xX，使limd(xn,x)=0，则称点列xn是(X,d)中的收敛点列，x

n是点列xn的极限。

同样的类似于R，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。

n§1.3.2稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令

M表示M的闭包，如果EM,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称

M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。 即

：

M在E中稠密对xE,xnM,s.t xnx(n)

§1.3.3 例子

1、 n维欧氏空间R是可分空间；

2、 坐标为有理数的全体是R的可数稠密子集； 3、

nnl是不可分空间。

§1.4 连续映射 §1.4.1定义：设

X(X,d), Y(Y,d)是两个度量空间，T是X到Y中映射，xoX,如果对于任意给定的正数，存在正数 > 0,使对%X中一切满足 d(x,x) < 的 x，有 d(Tx,Tx) < ,oo则称T在xo连续。§1.4.2 证明映射连续性的方法 1、定义法

2、邻域法：对Txo的每一个—邻域U,必有xo的某个—邻域V使TV其中TV表示V在映射T作用下的像。

3、极限观点（定理一）：T连续 xnxo, 则 TxnTxo (n)

U,

4、定理二:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射  Y中任意开集M 的原像T1M是X中的开集。

5、定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。 §1.4.3 例题

例1、 设X,Y,Z为三个度量空间，

f是X到Y中的连续映射，

g是Y到Z

的连续映射，证明复合映射(gf)(x)=g(f(x))是X到Z的连续映射。 证明：设G是Z中开集，因g是Y到Z的连续映射,

又因

g1G是Y中开集，

f是X到Y中的连续映射，

-1f-1(g1G)是X中的开集，

即(gof)G是X中的开集，即(gof)连续。

【分析】此题就是利用定理二来证明的。 §1.5 柯西点列和完备度量空间 §1.5.1 定义：设X如果对0，是X中点列，

(X,d)是度量空间，xn正整数NN(),使当n,mN时，必有d(xn,xm)，则称

xn是X中的柯西点列，如果度量空间(X,d)中每个点列都在(X,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间。

§1.5.2 相关结论

1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列 3、柯西点列一定是有界点列

4、定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性） 【注意】开子空间不完备。 例：1、C[a,b]是完备度量空间； 2、l是完备度量空间； 3、R是完备的度量空间；

n2

4、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备度量空间；

§1.6 度量空间的完备化

定理1 （度量空间的完备化定理）：设X(X,d)是度量空间，那么一定存在一

完备度量空间X(X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一万倍度量空间，且X与

:::::X的某个稠密空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。

（其中：若d( Tx, Ty) = d( x, y)，称X(X,d)与(X,d)等距同构。） 定理1可以通过图形象表达 ':::::X(xo) W稠密 %%(x,d) V稠(x,d) (X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间X(X,d)，

:::定理1 ：设X:使X为X的稠密子空间。

§1.7压缩映射原理及其应用

§1.7.1定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果,01，

s.tx,yX，d(Tx,Ty)d(x,y)，则称T是压缩映射。

§1.7.2定理1（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，

那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx定理2（隐函数存在定理）设函数

。 x，有且只有一个解）

f(x,y)在带状域axb,y

y的偏导数fy'(x,y)。如果常数m和

中处处连续，且处处有关于

M，满足0mfy'(x,y)M,mM，则方程f(x,y)0在

区间

[a,b]上必有唯一的连续函数

y(x)作为解：

f(x,(x))0,x[a,b]

§1.8 线性空间

§1.8.1定义：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或

复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）xX，均有1x线性空间。

例：1、R按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、C[a,b]按自身定义的加法和数乘成线性空间 3、空间l

px，满足这样性质的集合X称为

n(p0)按自身定义的加法和数乘成线性空间

§2 赋范线性空间

§2.1赋范线性空间和巴拿赫空间

§2.1.1定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对xX，都有确定的一个实数，记为

x与之对应，并且满足：

（非负性） 1ox0，且x0等价于x0；

2x||xo其中为任意实（复）数；

（三角不等式） 3oxyxy,x,yX，则称

x为向量x的范数，称X按范数x成为赋范线性空间。

注意：1、2、||x是x的连续函数

xnx|| 0  d(xn,x)0 （诱导距离）§2.2重要结论：

1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 X是赋范线性空间，且

xn是柯西点列。

2、要判断一个空间是否为巴拿赫空间，有三点：

（1）是否为线性空间 （2）是否为赋范线性空间 （3）是否完备 3、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范数等价） 4、定理1： Lp[a,b](p1)按范数

fp(|f(t)|pdt)ab1p成赋范线性空间。

定理2：Lp[a,b](p1)是巴拿赫空间。 例题： 1、R按范数

nx|1|2...|n|2成巴拿赫空间

xmax|x(t)|成巴拿赫空间

atb2、空间C[a,b]按范数

p3、空间l是巴拿赫空间 区别与联系：

1、任意赋范线性空间都是度量空间

2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。

第八章 有界线性算子和连续线性泛函 §1 有界线性算子和线性泛函的定义

§1.1定义：设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，

T为

D

到

Y中的映射，如果对

x,yD及数

，有

T(xy)TxTy，T(x)Tx，则称T为D到Y中的线性算子，

其D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，就称T为实（或复）线性泛函。

例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子

【值得一提】1、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的；

2、n维线性空间上线性泛函与数组(1,2,L ,n)（向量）相对应。

定义：T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，

称

TxTsupxx0xD(T)为算子T在D(T)上的范数。

定理1： 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界

算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。

这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。 定理2 ：设X是赋范线性空间，

的充要条件为

相关结论： 1、若T有界 2、

f是X上线性泛函，那么

f是X上连续泛函

f的零空间N(f)是X中的闭子空间。

T

TTxTx

x

3、若T有界 TxT§2 有界线性算子空间和共轭空间

定义：1、有界算子全体：设X和Y是两个赋范线性空间，我们以B(XY)表

示由X到Y中有界线性算子。

2、共轭空间：设X是赋范线性空间，令X'表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为X的共轭空间。

定理1 当Y是巴拿赫空间时，B(XY)也是巴拿赫空间 定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间 相关结论：

1、l的共轭空间为l有界序列全体，即(l1)'2、xnX,xX,且xn1l，但(l)'l1

连续

x,fX',则f(xn)f(x),其中f3、设AB(ZY),BB(XZ)，令(AB)xA(Bx)，xX，则AB

为线性算子 4、lp(1p)的共轭空间为l2'q，其中1p1，(lq)'lp，当p2 1q时，(l)l2

11+=1)pq

5、同样，Lp也类似，（p1,（）1 (L1)L, (L)L1（2） (Lp)Lq, (Lq)Lp（3） (L2)L26、X是赋范线性空间， 则dim（有限维）X<X上的任意线性泛函均连续

总结：

在第七章中，我们只研究一个赋范线性空间X，而在第八章中，就开始研究从一个赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射——算子，并对两个赋范线性空间构成的有界线性算子全体进行线性运算（加法运算及数乘运算），同样构成赋范线性空间，并使得巴拿赫空间的知识进一步拓展到了有界线性算子全体。总而言之，第七章和第八章的完成了“两大空间“的学习——度量空间和赋范线性空间的学习。

应用篇

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究发展起来的。它综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数算子和极限理论。泛函分析在数学物理方程等分科中都有应用。

线性空间X 上的全体有界线性泛函X称为X 的共轭空间. 现以函数为例,说明共轭空间的重要性. 设想在无限长的细棒上有一质量分布，只集中在一点x0处，总质量为1个，也就是说，有一假象密度函数(x) ，当x00处，密度为无限大，而密度函数的积分为总质量1：

时，(x)0,，在x

(x)dx1，这种函数已超出通常函数概念的框架。

函数是由物理学家狄拉克(Dirac)最先引进的,其表示式是

0, x0,(x) (x)dx=1

, x0，-这样表示的函数与数学命题

f=0 a.e , 则f=0矛盾,因此函数的

上述表示一直不能被数学家接受.数学家经过长期的努力,在共轭空间中找到了

函数的位置和理论依据.我们来看数学家是怎样定义 函数的.

对C[ - 1, 1]中任意一个连续函数

1f(t),对应一个C[ - 1, 1] 的泛函

f(x)=f(t)x(t)dt 线性性是显然的,现证其连续性.对任意的 C[ - 1, 1] ,

-1有

f(x)-f(x0)| = | f(t)[x(t)x0(t)]dt|-11

max |x(t)x0(t)| |f(t)|dt-1t1-11

=||x-x0|| |f(t)|dt-11当xx0,即||x-x0||0时，f(x)f(x0)，故

的任意性知,

f在x0 点连续.由x0

f在C[ - 1, 1]上连续.

考察C[ - 1, 1]中的如下函数列fn :

12n-|t|n, |t|n

fn(t)=0, |t|>1n-当 t0 时， lim fn(t) = 0, 且 fn (t) dt = 1，设想

nfn (t) 的

极限函数应当就是有广泛应用的 函数, 所以称fn (t) 为的函数序列。

但由于在t= 0时, 数的数学定义.

lim fn(t) 不收敛,故不能采用 lim fn(t) 来作为函

nn

在C[ - 1, 1]的共轭空间来考察. 函数序列fn (t) 对应于

fn(t)= fn(t)x(t)dt= 1fn (t)x(t)dt-1-n11n

1 =x() 1 (n-|t|n) dt= x(), ||<-nn1n2当n时，lim fn(x)=limx()=x(0), 即在C[ - 1, 1]的共轭空间

nn中, fn的极限函数(记为 ( t ) )应是C[ - 1, 1]上的如下泛函:

(x) = x(0) , x C[1,1]

因此在泛函分析的共轭空间的帮助下, 函数有了严格的数学定义，这一点在原空间是不可能做到. 在定义了 函数后，我们就可以用 函数来描述很多物理现象,例如力学中瞬时发生作用力的冲击力;数字信号处理中的抽样脉冲;直线上质量集中在一点附近时的密度;电学中点电荷的密度等.

[参 考 文 献]

[ 1] 程其襄,张奠宙, 闫革兴, 等. 实变函数与泛函分析基础[M] .北京:高等

教育出版社, 1983.

[ 2] Daube Chies I.小波十讲[M] .李建平,杨万年译. 北京: 国防工业出版

社, 2004.

[ 3] 石智,王军秋.泛函分析初步[M] .西安:陕西科学技术出版社, 2005. [ 4] 龚怀云,寿纪麟, 王绵森, 等. 应用泛函分析[ M] .西安:西安交通大学

出版社, 1985.

[5] 石智,王军秋.结合小波理论讲授泛函分析课程[J] .大学数学，2009.