维普资讯 http://www.cqvip.com 第２１卷第６期 甘肃联合大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．２１ Ｎｏ．６ ２００７年ｌ１月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇａｎｓｕ Ｌｉａｎｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ＮＯＶ．２００７ 文章编号：１６７２￣６９１Ｘ【２００７）０６—０００１—０６ 负多项分布 刘昌红，刘瑞元，黄 伟 （青海师范大学数学与信息科学系，青海西宁８１０００８） 摘 要：在负二项分布的基础上给出了负多项分布的概念并求出了它的概率分布、数学期望、方差． 关键词：负多项分布；数学期望；方差 中图分类号：Ｏ１５９ 文献标识码：Ａ Ｏ 引言 文［１］介绍了二项分布和负二项分布，文Ｅ２－］介绍了多项分布．本文按照文Ｅｌｉ的思路提出了负多项 分布的概念，并求出了它的概率分布、数学期望和方差． １ 预备知识 １．１多项分布 多项分布产生于以下的 次重复实验模型． （１）每次实验可能有ｒ种结果：Ａ ，Ａｚ，…，Ａ，，并且ｐ（Ａ ）一Ｐ ， ＝１，…，ｒ，Ｐ，＋Ｐｚ＋…＋ 一１． （２）上述实验地重复 次，所得结果可用某些Ａ组成的长为 的序列表示． （３）在上述 次重复实验中，以Ｘ 表示Ａ （ｉ一１，…，ｒ）出现的次数，则（ｚ－，…，Ｘ，）是ｒ维随机 变量，在 次实验中Ａ 出现 （ｚ一１，…，ｒ）次的概率为 Ｐ（ｚ 一 一 一 ）＝ …ｐ７ｒ＇ （１） 其中ｎ，＋…＋ ，一ｎ，ｎ ≥Ｏ，这就是多项分布，记为Ｍ（ｎ，ｐ ，…，Ｐ，）． 当ｒ一２时，多项分布就退化为二项分布，即Ｍ（ｎ，Ｐ ，Ｐ。）一ｂ（ｎ，户，）． １．２负二项分布 在伯努里试验序列中，记每次试验中事件Ａ发生的概率为Ｐ，如果Ｘ为事件Ａ第ｒ次出现时的试 验次数，则Ｘ的可能取值为ｒ，ｒ＋１，…，ｒ＋ ，…，称Ｘ服从负二项分布，其分布列为 Ｐ（Ｘ 一是）一 一是）一ｋ一 １．１ ｒ Ｐ （（１一户：１一ｐ：｝ ｋ－ｒｋ：ｒ＝ｒ，ｒ＋１，…，，ｒ＋１，…， （（２）２） ＼，．——上／ 记为Ｘ～Ｎ６（ｒ， ）． 负二项分布的数学期望为ｒ／ｐ，方差为ｒ（１一户）／户． ２负多项分布 定义１ 设在重复试验中，每次试验可能有ｎ种结果： Ａ１，Ａ２，…，Ａ ，且ｐ（Ａ ）一Ｐ ， 一１，…， ，Ｐ１＋…＋Ｐ 一１． 以ｚ （ ＝１，…， ）表示Ａ在重复试验中出现的次数，以Ｘ表示重复试验中Ａ 出现ｒ。（ｉ一１， …， ）次时的试验次数，则称Ｘ服从负多项分布，记为 Ｘ～ＮＭ（ｒ１，…，ｒ １，Ｐ１，…，Ｐ 一１）． 设Ｘ￣ＮＭ（ｒ 一，ｒｆ２一 ，Ｐ “，Ｐ ），即Ｘ服从负多项分布，则Ｘ的可能取值为 收稿日期：２００７—０４—２４． 作者简介：刘昌红（１９６５一），女，辽宁盖洲人．青海师范大学副教授，主要从事概率与数理统计的研究． 维普资讯 http://www.cqvip.com
２ 甘肃联合大学学报（自然科学版） ＋…＋ 一１， １＋…＋ｒ，ｒ１＋１，…， １＋…＋ｒ，ｒ１＋ｍ，…． 第２１卷 １其分布列为 Ｐ（Ｘ一是）一 ［ ］ 悄ｃ …一 叶… ． ㈤ 这是因为在忌次重复实验中，最后一次可能是Ａ ，也可能是Ａ。，还可能是Ａ ，当最后一次是Ａ 时，而前忌一１次中Ａ 应出现ｒ 一１次，Ａ：应出现ｒ。次，…，Ａ 应出现 一 次，Ａ 应出现忌一ｒ ＿．．・一 ～ 次，由多项分布知其概率为 （ １—１）！ Ｉ．・・ｒ一１ １（忌一 １一…一ｒｎ－１）！ ｐｉｌ～ ｐ …ｐ 叫ｐ ｒ】…一 ， 再乘以最后一次出现Ａ 的概率，即得 （ １—１）！ｒ２ Ｉ．・・ｒ，（忌一１）！ｒ１ １（忌一 １一…一ｒ， ｒ１）！ ｐ ｐ …ｐ： ｐ …一。ｒ ． （４） 同理，当最后一次是Ａ 时，其概率为 ，．１ １ ｒ２ １…（，．一ｌ一 ）（忌一，１ ．１一…一，＝ ．，ｒ１）！， ， ∞ 一ｐ ，一 ， （５） 把式（４），…，式（５）相加，即得Ａ 出现ｒ１次，…，Ａ 一 应出现 一 次，ＡＪ 应出现忌一ｒ ＿．．・一 ～ 次，试验 次数ｘ一是的概率为 一是 一［ ］ 悄ｃ 一Ｐ …一 一 ， 其中忌一ｒ１＋…＋ 一１，ｒ１＋…＋ｒ 一１＋１，ｒ１＋…＋ 一１＋ ，…． 引理１ 设Ｘ服从负多项分布，即Ｘ￣ＮＭ（ｒ 一，ｒ ，Ｐ ”，Ｐ ），则 ＋ｒ２＿１）１［ 篑 …ｐ ＿（ｐ 十ｐｚ＋．．．＋ ＋ｒ２＋．Ｉ．＋ ． （６） 证明 设ｘ服从负多项分布，即Ｘ￣ＮＭ（ｒ ，…，ｒｎ一 ，Ｐ －－，Ｐ ）．其含义是在重复试验中， 每次试验可能结果为Ａ ，Ａ。，…，Ａ ，且 ｐ（Ａ１）一Ｐｌ，ｐ（Ａ２）一Ｐ２，…，ｐ（Ａ，ｒ１）一ｐ，ｒｌ，ｐ（Ａ ）一１一Ｐ１一…一ｐ，ｒ１． Ｘ为重复试验中即得Ａ 出现ｒ 次，…，Ａ 一 应出现 ～ 次条件下试验次数． Ｐ（Ｘ—ｒ１＋…＋ｒ，ｒ１）一Ｐ（Ｘ—ｒ１＋…＋ｒ，ｒ１，Ａ１发生ｒ１次，…，Ａ一 发生 １次）一 Ｐ（Ｘ—ｒ ＋…＋ ，Ａ 发生ｒ 次，…，Ａ，ｒ 发生ｒ 次，第ｒ ＋ｒ。＋…＋ｒ一 次试验发生Ａ ） Ｊ一・・・—Ｊ— Ｐ（Ｘ—ｒ，＋ｒ。＋…＋ｒ一 ，Ａ 发生ｒ，次。…，Ａ一 发生 次，第ｒ ＋ｒ：＋…＋ｒ一 次试验发生Ａ，ｒ ）． 由于前ｒ 十ｒｚ＋…＋ 一 一１次试验服从ｎ项分布，故上式概率为 Ｐ（ｘ—ｒｌ＋ ＋．．．＋ ）一 警 杀 ｐ￣１－１ ～ｐ￣ｐｏｐ ＋－．．＋ ，．１ 圭 Ｉ．・・，．一２ １（，．一ｌ一 ）！１ ０ ！ Ｐ ‘， ｐｒ －１１ｐ，叶”：ｐ一 一（ｎ＋…＋ 一１） Ｌ广－ ＝ 『二１ 而１ ＋…＋ １…， ～２ １（ｒ， 户ｒ】…户 ｒ一．１一 １ １ ＋．．‘ 一 ［Ｌ ｒ ｌ ｉ １！ｒ２ １…ｒ，ｒ ！ Ｊ ～艄， （７） 在负多项分布的重复试验中．若把Ａ ＋Ａ：＋…＋Ａ 看成一个结果，Ａ 看成一个结果，则负 多项分布退化为Ａ 十Ａ：＋…＋ＡＪ 出现ｒ ＋ｒ２＋…＋ 一 次时的试验次数Ｘ服从负二项分布，即ｘ～ ＮＭ（ｒ１＋…＋ 一１，Ｐ１＋…＋ｐ 一１），于是由式（２）得 Ｐ（Ｘ＝ｒｌ ｑ－＇＂ｑ－ｒ￣１）：（ ・ 维普资讯 http://www.cqvip.com
第６期 刘昌红等：负多项分布 ３ （户１＋…＋户，广１） 】叶。… 一１（１一户１一…一户，ｒ．１） ｉ－ｒ１．．．．．ｒ 一（户１十…十 ，广１） ， （８） 由式（７）、式（８）可得式（６）成立． 现在验证负多项分布的概率分布列（３）满足分布列的性质． （１）Ｐ（Ｘ一是）≥０（显然）． ＾＝ｒ Ｉ薹 ＋…＋ｒ；，ｒ１ 一 一 ，［ 一ｒｌ＋…＋ｒ １ Ｌ ∑～ Ｉ ’ｒＩ ］ 一… ｌ ”一Ｉ 悄．［工） ．（１一 一 一 ．… 一［ 普ｒｎ ＿ …户 ・ 一 一 ． ’ Ｘ ： ，（忌一ｒ１一…一（ １）！ …一 ＝ 令 一是一ｒｌ一…一 １．则是一 ＋ｒｌ＋…＋ｒ 一１． Ｐ（ｘ一是）一［ 鲁ｍ：Ｏ ］户 一 ｒ… １（ｒ ＋…＋ｒ 一１）！・ ∑一 Ｐ ！（ｒ尝 ｃ … ＋…＋ｒ １—１）！ １Ｘ 一 由式（６）和（１一ｑ） ）一∑（ 十 １ｑ 可得 ｍ＝ｏ＼ ／ 一 １＋…＋ｒｒ１ ∑Ｐ（Ｘ一是）一（户 ＋…＋户，广 ） ＋’ 。一 （户 ＋…＋户一 ） 一一 广 ３负多项分布的数学期望 定理１设随机变量ｘ服从负多项分布，即ｘ～ＮＭ（ｒ ，…， １，ｉ一１，…，，ｚ一１，则Ｘ的数学期望为 Ｅｃｘ 一 户１—卜…十户．，一１ 户 ”，户 一 ），其中ｒ ≥１，Ｏ＜ｐ ＜ ． ㈤ 证明 由式（３） ∑（七十ｒ ＋…＋ｒ￣ｒ－１）Ｐ（ｘ—ｋ＋ｒ ＋…＋Ｆ＇ｔｒ １）一 ＝０ ∑忌Ｐ（ｘ—ｋ＋ｒ ＋…＋ｒ 一 ）＋∑（ｒ ＋…＋ｒ 一 ）Ｐ（ｘ＝＝＝ｋ＋／＇１＋…＋／＇ｗ－１）， ＝Ｏ ＝０ （１０） 其中 ∑ｋＰ（ｘ—ｋ十ｒ 十…＋／＇ｎ １）一 ｋ一０ 萎是［Ｌ ｒ１ Ｉ．・ ｌ！ ］ （忌＋ｒ１＋…＋ｒ 一ｒ等等 ｌ一…一ｒ ）！ ‘ 悯ｃ“ … 厂Ｌ ｒ １…ｒ，广１ １ ］１ 去 ［ …户 （１一户 …．一 ） ＝一ｋ－ （忌一１）！ 一 （‘ｒ ＋…＋ｒ，十…十ｒ ，，，广 ）户ｉ，，， ｌ…户…，， （，广＇ｊ～Ｉ一，１一户， 一…一户，，…・一，， １，广 ） ＝ 一 。 。一 ：：： ，ｌ ， 一±之＿＿二 １ｍ！（ｒ１＋…＋ｒ，＿二± 二 ｒ１ １…ｒ １广１）！ ！±：：：± ！！！ ：：：：± ！ ｔ．．１…ｒ二 ！二：：：二 ： ：！ ． ．一 ＿１）ｍ一 一 ，”！ 二 ＋…＋ （１－一户 …】）！一 维普资讯 http://www.cqvip.com
４ 甘肃联合大学学报（自然科学版） 第２１卷 一 Ｌ±．二二 号 二二二 ｐｒ】 ．．．ｐ （１一ｐ。一…一ｐ，广。）（∑一ｐ。＋…＋ｐ， 广。）＿ｃ ｒ１＋－．．＋ｒ厂 ． ７＂１ １…Ｔｗ－１ １ 应用公式（１－－ｑ） ｃ 一 ， ｍ！ｒ！ ’一 ，上式一 （ｒｌ＋…＋Ｔｗ－１）（１一Ｐｌ一…一ｐ，广１）（ｐｌ＋…＋ｐ，广１） ｒ】＋。‘‘＋ 】州 ［ ＋．．．＋ ＿１）ｆ（筹 。ｐ ］一 （ ｌ＋…＋ｒ 一１）（１一Ｐ１一…一ｐ，广１）（ｐｌ＋…＋ｐ，广１）一‘ｒ１ … 】 （ｐｌ＋…＋Ｐ ）ｒｌ … １ （ｎ＋…＋ｒ，广１）（１一Ｐｌ一…一ｐ，ｒ１） ———— ： 一——一’ 式（１０）中的 ∑（ｒｌ＋…＋Ｔｗ－１）Ｐ（ｘ—ｋ＋ｒｌ＋…＋ｒ，广１）一 薹 ＋．．巾ｒｒ１）［ 丽 ＋．．．＋ ］ 等 ｐｉ …ｐ： （１一ｐｌ一…一ｐ １） 令ｍ一是＋二＋…－￣－Ｔｎ＿１ （ｒｌ＋…＋ｒ， １）・ （ｍ一１）！ ．（ｍ一１）！ （ｒ１—１）！ｒ！！…ｒ 一ｌ！（ 一ｎ一…一ｒ，广１）！。 ｌ！…ｒ，广２ １（ｒ，广ｌ一１）！（ｍ一 ｌ一…一 １）！ ｐ ｒ１…ｐ，ｒ广 Ｉ１（１一Ｐｌ一…一ｐ，广１）一 】…一 ｌ一（ｒ１＋…＋７＂ｗ－１）・ 鲁 ，，『Ｌ ＿ ｎ ＿Ｉ． “Ｔｗ－Ｉ！＿］Ｊ — 二 （ｍ—ｒ１一…一Ｔｗ－１） ｐ …ｐ （一 １一Ｐ。‘ 一…一ｐ 。）一ｒ１…… 一 一 ｒ１＋…＋ｒ，广１． （１２） 最后一个等式是根据负多项分布的概率分布列的和为１而得，把式（１１）、（１２）代入式（１０），可得 Ｅ（ｘ）一 Ｌ± ± ≠望 暑三＿＿ ＋（ｒ・＋…＋ｒ ・）一 （ ｌ＋…＋ｒ ）（１一Ｐｌ一…一ｐ，广ｌ＋Ｐ１＋…＋Ｐ ｒｒ１）一 ｌ＋…＋ｒｗ－ｉ Ｐｌ＋…＋Ｐ 一ｌ Ｐｌ＋…＋ｐ，广ｌ。 证毕． ４负多项分布的方差 定理２设随机变量ｘ服从负多项分布，即Ｘ￣ＮＭ（ｒ ”， 一 ，Ｐ “，Ｐ 一１），其中 ≥１，Ｏ＜ｐ ＜ １， 一１，…， 一１，则Ｘ的方差为 Ｖ ｘ 一 （ Ｐｌ 十…十ｐ，广１）‘ ． 证明先计算Ｅ（Ｘ ）， Ｅ（Ｘ ）一 ∑ Ｐ（Ｘ—ｆ） 一 ｉ ｒ１＋…＋‘ ｌ （忌＋ｒ ＋…＋ｒｗ－ｉ）。Ｐ（Ｘ—ｋ＋Ｔ＂１＋…＋Ｔ＇ｒｒ－１）一 ∑ｋ。Ｐ（Ｘ—ｋ＋７＂１＋…＋Ｔ＇，ｒＩ）＋∑２（ｒ ＋…＋Ｔ＇ｎ－！）ｋＰ（ｘ—ｋ＋ｒｌ＋…＋Ｔｎ－１）＋ （ｒ ＋…＋ｒ—１） ∑Ｐ（Ｘ—ｋ＋ｒ ＋…＋ｉｔ，ｒ－１）， （１３） ＾－＿０ 由式（１１）、式（１３）中的第二项得 维普资讯 http://www.cqvip.com
第６期 刘昌红等：负多项分布 ５ ２ ＋．．．＋ｒ，ｒ ）ｋＰ（Ｘ ＋．．・－Ｊ－７．ｒｒ－１）＝２ ＋．．．＋ ．．－［－７．ｉｔ－１）一 （ １＋…＋ｒ，ｒ１）（１一Ｐ１一…一ｐ，ｒ１） ｐ１＋…＋ｐ，ｒ１ ｒ ２（ １＋…＋ｒ，ｒ１） （１一Ｐ１一…一ｐ，ｒ１） 一—————————————————— ————— ——————————————————一’ｐ１十…十ｐ，ｒ１ （１４） ＋ 式（１３）中的第三项为 由于负多项分布列（３）的和为１，＋ ｒ ｌ＝ 现求式（１３）中的第一项 ∑ Ｐ ∑ｋ Ｐ（Ｘ—ｋ＋ｒ１＋…＋ｒ，ｒ１）一 忌 ［蒲Ｘ 忌 一 ］ 悄悄 １－Ｐ１．．．．．Ｐ￣Ｉ （卜 一 ＋ ｎ 忌 ＋ 焉导薹（ｍ＋１） ＋ ｒ ｌ＝ 立 悄（卜ｐ …一 一 （１一ｐ 一…一ｐ ）ｍ， 一 ’ （１６） … ｒ二二卑ｐ …ｐ，ｒ．Ｉ（１一Ｐ１一…一Ｐ，ｒ１）（ｒｌ＋…＋ｒ，ｒ１）！ １ １…７．ｎ－１ １ — 妻 ｍ！（７＂圭｛ ＋…＋ １）！ ｎ 先计算式（１６）中的和式，令ｑ一１一Ｐ１一…一Ｐ 一１，ｒ—ｒ１＋…＋７＂ｎ－１， ．＋ ＋ ｒ ｌ＝ １ｍ＝Ｏ 等 １－Ｐ１．．．．．Ｐ，－１ ｍ＝Ｏ －ｆ薹 ± 署 ｑ 曲一薹 ± 署 在式（１８）的最后一步计算中用到泰勒展式 ｍ＝０、，，‘ 一ｑｍ妻＝Ｏ ｑ 一 （ｌ ８ ） （１一 ”一∑ｆ卅 ， 式（１８）对ｑ求导，得式（１７）的结果为 ［ｑ（１一ｑ） 一”］一（１一ｑ） （１＋ｑｒ）一（ｐ１＋…＋ｐ，ｒ１） ［１＋（１一Ｐ 一…一Ｐ，ｒ１）（ｒ１＋…＋ｒ，ｒ１）］． 将上述结果代人式（１６），并用式（６）得 二±二 二二＿ ｐ …ｐ （１一Ｐ１一…一Ｐ，ｒ１）（ｒ】＋…＋ｒ，ｒ１）！（ｐｌ＋…＋Ｐ，ｒ１）一‘ｒ１＋‘‘＋ ｔ＋ ・ ［１＋（１一Ｐ 一…一Ｐ，ｒ１）（ｒ ＋…＋ｒ，ｒ１）］＝ （ｒ】＋…＋ｒ，ｒ１）（ｐ１＋…＋ｐ，ｒ１） ｌ … １’（１一Ｐｌ一…一ｐ，ｒ１）・ （ｐ１＋…＋Ｐ １）一‘ｒ１＋‘。‘＋ ｌ ［１＋（１一Ｐｌ一…一Ｐ—１）（ｒ１＋…＋ １）］一 二 （ 十…十ｐ警ｌ 砉≯ ｌ厂 Ｐ， （１９） 把式（１９）、式（１４）、式（１５）代人式（１３）得 维普资讯 http://www.cqvip.com
６ 甘肃联合大学学报（自然科学版） Ｅ（Ｘ。）一 （ｒ１＋…＋ｒ １）（１一Ｐ１～…一ｐ １）＋（ｒ１＋…＋ｒ １）。（１一Ｐ１ （ｐ１＋…＋ｐ １）。 一＿二 二二二 二 二－ ＋（ｒ ＋…＋ｒ）。一 ｒ￣－ｉ‘ 第２１卷 ＋ ｐ１十…十Ｐ，￣－ｘ （ｒｌ＋…＋ｒ １）（１一Ｐ１一…一ｐ １）＋（ｒ１＋…＋ｒ １）： （２０） （ｐ１＋…＋ｐ １）。 。 由式（２Ｏ）、式（９）可得Ｘ的方差 Ｖａｒ（ｘ）一Ｅ（ｘ。）一［Ｅ（ｘ）］。一 ±：：：± ！ 二 二：：：二 ： ± ±：：：± 一 ±：：：± ！：一 （ｐ１＋…＋Ｐ ）。 （ｐ１＋…＋ｐ １）。 （ｒ１＋…＋ｒ １）（１一Ｐ１一…一ｐ １） （ｐｌ＋…＋ｐ １）。 ‘ 证毕． 参考文献： ［１］周概容．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８４：１０２—２４９． ［２］茆诗松，王静龙，濮小龙．高等数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９８：１６． ［３］吴雪芹．负二项分布的数字特征及条件概率的封闭性的研究［ｊ］．鄂州大学学报，２００６，１３（３）：５６—５７ ［４］王立洪，李．多元Ｐｒｏｓｈａｎ—Ｓｕｌｌｏ型指数分布的特征［ｊ］．宁波大学学报，２００６，１９（３）：１６—１８． Ｎｅｇａｔｉｖｅ Ｍｕｌｔｉｎｏｍｉａｌ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ＬＩＵ Ｃｈａｎｇ—ｈｏｎｇ，ＬＩＵＲｕｉ—ｙｕａｎ，ＨＵＡＮＧ Ｗｅｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｉｎｇｈａｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｉｎｇ ８１０００８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｎ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｂｉｎｏｍｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｂａｓｅ，ｎｅｇａｔｉｖｅ ｍｕｈｉｎｏｍｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｃｏｎｃｅｐｔ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｏｕｔ ａｎｄ ｉｔｓ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｏｎ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ｖａｒｉａｎｃｅ ａｒｅ ｐｕｓｈｅｄ ｏｕｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｅｇａｔｉｖｅ ｍｕｌｔｉｎｏｍｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｏｎ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ；ｖａｒｉａｎｃｅ