电磁矢量阵中基于PARALIND分解的相干DOA估计算法

dependencies, PARALIND)相结合，利用PARALIND分解，提出了一种线性电磁矢量阵中相干信号波 达方向(Direction of arrival, DOA)估计算法。该算法能够实现对电磁矢量阵中相干信源的角度估计，

同时能得到相应的相干系数矩阵，其估计过程无需谱峰搜索，对均匀线阵以及非均匀线阵都适用。该

算法角度估计性能优于传统的前后向平滑借助旋转不变性进行信号参数估计(Forward backward spatial smoothing-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, FBSS-ESPRIT)算 法和前后向平滑传播算子(F orward backward spatial smoothing-propagator method, FBSS~PM)算法，且

对于角度相隔较近的相干信源，该算法也能进行有效的辨识与估计。关键词：PARALIND分解；波达方向；电磁矢量传感器；相干信源 中图分类号：TN9U.7

文献标志码：APARALIND Decomposition - Based Coherent Direction of Arrival Estimation Algo­rithm for Electro - magnetic Vector ArrayXu Le, Zhang Xiaofei, Lin Xinping, Zhou Mengjie(College of Electronic and Information Engineering, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, Nanjing, 211106, China)Abstract： The paper combines the parameter estimation problem of electromagnetic vector array with the

parallel profiles with linear dependencies (PARALIND) model, and proposes a PARALIND

decomposition - based coherent direction of arrival (DOA) estimation algorithm for electromagnetic vector array. The proposed algorithm is effective for coherent sources angle estimations without the need for peak searching. In addition, the corresponding correlated matrix also can be obtained and it is effective for both

uniform and non - uniform linear array. Compared with traditional forward backward spatial smoothing - estimation of signal parameters via rotational invariance techniques (FBSS - ESPRIT) algorithm and forward backward spatial smoothing -propagator method (FBSS-PM) algorithm, the proposed approach

has better angle estimation performance and moreover it can distinguish closely-spaced coherent sources and achieve their angle estimations effectively.Key words: PARALIND decomposition； direction of arrival； electromagnetic vector sensor； coherent sources基金项目：国家自然科学基金(61371169)资助项目；南京航空航天大学研究生创新基地(实验室)开放基金(kfjj20170412)资助 项目。收稿日期：2017-11-18；修订日期:2018-4-19698数据采集与处理 Journal ofData Acquisition and Processing Vol. 34, No. 4, 2019引 言对于空间中所传播的电磁信号，除了接收方向外，信号极化参数也是一类经常需要考虑的信息。 普通的天线所组成的信号接收阵列通常只能从中得到信号的角度信息，无法从中提取出信号的极化状 态。而由电磁矢量传感器所组成的电磁矢量阵，在监测入射信号强度的同时，还能够有效地感应其中

所包含的磁场分量和电场分量信息。与普通天线阵列相比，电磁矢量传感器能够有效地分辨信号的极 化信息，在系统检测能力、极化多址能力和抗干扰能力等方面，都有较大的优势Z〕。在传统的波达方向(Direction of arrival, DOA)估计算法的研究基础上，国内外学者们已经提出了众 多关于电磁矢量阵多参数估计的算法。其中，文献［3］将借助旋转不变性进行信号参数估计(Estimation

of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法运用到了 电磁矢量传感器中，实现

了接收信号角度与极化参数的估计。文献［4］将多重信号分类(Multiple signal classification, MUSIC)算 法进行推广，实现了角度和极化参数的联合估计。文献［5］对传统MUSIC算法进行了改进，提出了一种

电磁矢量阵中低复杂度的降维MUSIC算法。另外，电磁矢量传感器也被运用到了多输入多输出(Mul­tiple-input multiple-output, MIMO)雷达的信号参数估计算法研究中时】。然而，在实际应用中由于传播环境的复杂性，接收阵列包括电磁矢量传感器所接收的信号中有相 干信号的存在。信号之间的相干性会造成阵列所接收信号协方差矩阵的亏秩叫由此，上述的许多算

法便不再适用于对这种相干信源进行多参数估计。关于相干信源多参数估计，学者们已经提出了许 多有效算法\"回,例如Toeplitz矩阵重构算法回、最大似然算法问以及基于前后向平滑(Forward back­ward spatial smoothing, FBSS)的 FBSS-ESPRIT 算法和 FBSS-传播算子(Propagator method, PM)

算法M。三线性分解，又称为平行因子(Parallel factor, PARAFAC)模型，最早于生理学中提出，用于对 数据的分析网。近年来，该技术被成功地运用到信号处理领域。基于PARAFAC模型框架，文献［15］提 出一种在电磁矢量阵中，基于PARAFAC分解的角度和极化参数联合估计算法。该算法利用PARA­FAC 模型分解的唯一性，能够得到配对的角度和极化参数估计，拥有较好的参数估计性能。然而如同

上述算法一样，该算法同样无法对相干信源参数作出有效估计。平行线性相关剖面模型(Parallel profiles with linear dependencies , PARALIND)可以看作是平行因

子模型的扩展EM,该方法能够有效解决相干信源的多参数估计问题。文献［17］将声矢量传感器与

PARALIND模型相结合，解决了声矢量传感器阵列中相干信号DOA估计问题。文献［18］则将 PARALIND模型应用到了 MIMO雷达中，解决了 MIMO雷达中的相干信号角度估计问题。本文将PARALIND模型与电磁矢量阵列相结合，提出了一种线性电磁矢量阵中基于PARALIND

分解的相干DOA估计算法。相比于文献［15］,本文所做的工作主要有以下贡献：(1)对电磁矢量传感器

阵列所接收的相干信号进行建模，将电磁矢量阵中的PARAFAC模型扩展到PARALIND模型；(2)由 PARALIND模型的分解得到信号的角度估计，解决了电磁矢量阵中相干信号的参数估计问题，并详细

描述了算法的完整过程。本文算法在进行接收信号DOA估计的同时，还能够得到信号的相干关系矩阵。另外，该算法对均 匀线阵和非均匀线阵都适用，其角度估计性能优于传统的FBSS-ESPRIT算法和FBSS-PM算法。对

于角度相隔很小的相干信源，该算法也能够进行有效估计。1数据模型考虑一个由M个电磁矢量传感器组成的线性阵列，第巾个接收天线与参考阵元伽=1)之间的距离

徐乐等：电磁矢量阵中基于PARALIND分解的相干DOA估计算法699为d”(勿=1,2,…,M)。假设有K个远场信号入射到该阵列，对于第怡个目标，代,*和％分别是其到达

角、极化角和极化相位。对于电磁矢量传感器，假设入射信源6(/),其仰角和方位角分别为0和。，极化参数分别为y和\"，则 对于阵列中的第勿个传感器\"时刻的输出为[闵式中$为极化矢量，包含有信号极化参数和角度信息，其表达式为—sin^cospCOS0COS®cosOsin。—sin00—COS0COS卩cosysinyej9— sin。⑵—cos^sin卩sin0cos卩0由于本文研究的阵列为线性阵列，因此接收信号方位角^ = 90-,^=1,2,-,Ko对于入射的K个信源,定义极化矩阵S=[si, S2,…，Sk]GC°xk,其中St=[ — cosy*, cos/sin*exp( j%), —sin^sin/iexpCji;*),—sinyiexp(j74),—cos(?*cos/*,sin^*cos/1]T€Csxlo根据文献[19],整个电磁矢量传感器阵列r时刻的接收信号可以表示为z(d)=(4 oS)6o(t)+“(t)

(3)式中：\"。\"表示 Khatri-Rao 积，仇(/)=[乞(t),%⑴，…，比⑴]丁 G C\"打A =[ a(&i),a(&2),…4(纵)]为

整 个阵列 的方向 矩阵，a( n(z)6C6Mxl代表、零均值高斯白噪声。对于•/个快拍，整个阵列接收数据x ec6MXJ可以表示为X —.^(6)] —[A °S]B0 + N ⑷式中：戈表示含噪接收信号,3。=[仇(心),仇仏),“・，仇(\")]€宀1,\"=[”(心),”亿),...，\"(力]€(7血*/ 为•/个快拍接收信号的噪声。式(4)中的接收数据，便是传统的PARAFAC模型，然而当接收信号中存

在相干信源时，该模型的分解不唯一，无法得到有效的DOA估计。假设入射到阵列中的K个信源中，最多可以找到&个互不相干的信源，则式(4)中的接收信号可以 表示为X = [AoS]rB + N (5)式中:secK'X7是&个互不相干信源的信源矢量,recKXK,为相干系数矩阵，且满足fb=b。。根 据文献[16],式⑸中的相干信号接收数据可以转化为PARALIND模型，该模型可以看作为三线性模型

的推广，可以有效地用于相干信号的参数估计。2相干DOA估计算法2.1 PARALIND 分解定义Y=x\\则根据式(5)中的接收信号可以表示为¥ =(_TB)T(4 oS)T + NT = Y + jyT

(6)式中：y = (FB)T(A °S)T为无噪接收信号。式⑹中的接收信号模型即为PARALIND模型问,其最小

二乘目标函数为700数据采集与处理 Journal of Data Acquisition and Processing Vol. 34, No. 4, 2019⑺式中：|卜|「表示Forbenius范数。在无噪声环境下有y=[y1,y2,-,yM]=[(rB)TD1(A)sT,(rB)Tz>2(A)sT,-)(rB)Tz)Af(>i)sT]

(8)式中：D”(A)表示取矩阵4第“行元素组成的对角矩阵，匕=(FB)TQ”(4)ST X6,\"=1,2,...,M。向量化匕得到〔切vec(y.)= vec(( TB )TO, (A )ST)=( SZ>. (A) <8)BT)vec( TT)(9)式中：“g”表示Kronecker积，将这M个向量堆叠起来为\\ec(Yi)S£)i(A)® BTvec(y2)S0⑷0刃 vec(rT)(10)_vec(yM)式(10)也可以表示为vec(y )=[(A。S)g BT] vec(FT) (11)在噪声存在情况下，由式(11)可得vec(rT)=[(A oS)0BT]+vec(y)(12)计算出vec(rT)后，将其转换为原来的矩阵形式即可得到矩阵F。

根据式(7),BT的最小二乘更新为BT=¥(((4°S)F)T) +(13)根据式(8)有匕=£ 匕H(fB)T£>”⑷ ST =n =1

\\”=1 /(14)式中：S为满秩矩阵，通过下式即可获得矩阵S•的值-1(TBYDAA)(15)门㊉(丹)式中3”为含噪信号，“㊉”表示Hadamard积。由式(15)得到S•后，取其共觇矩阵即可得到S的值。根据式(8)中的子阵，也可以得到(FB)Y”S = (_TB)・(jTB)t£)”(A)STS

(16)取式(16)两边对角元素有diagT ((FB YY„S )=(( rB)'(rB )丁)㊉(STS) diagT (D”( A))

(17)式中：diag^C)表示取矩阵的对角元素组成的列向量。根据式(17),在噪声环境中diagT (Q”( 4 ))=((( FB )•( FB 门 ©(S^))-1 diag'1 ((FB)•込S)

(18)通过diagT (£>”(▲)), ”=1,2,…,M的值即可求得矩阵A。上面的推导已经给出了完整的PARALIND分解推导过程。定义E= Y-(fB)T(A °S)T,其中，

r,B,A和g分别表示r,B,A和S的估计值。PARALIND模型中的最小二乘冗余和(Sum of squared re-徐 乐 等：电磁矢量阵中基于PARALIND分解的相干DOA估计算法701J bM 2siduals, SSR)可以定义为SSR=£》|e”|，其中e”表示矩阵E的第(j,i)元素。根据式(12,13,15,

y=lt = l18),重复地迭代更新S,B,r和A的估计值，直到SSR小于某个设定的门限值即可认为该迭代收敛，此 时得到的s,B,r和久即为s,B,r和a的最终估计值。2.2 PARALIND分解的唯一性根据文献[16]推导PARALIND分解的唯一性。对式(8)中的接收信号模型进行初等行列变换，可以

得到另外一个矩阵重排形式z=[z“z”...,乙]=[A0((FB)T)ST,也((fb)t)st,...,40((fb)t)st]式(19)中的任意两个切片Z,和ZjQ工j)可以表示为(19)(20)(21)Zi = ADi((rB)r')Sr = ABEZj = AD；((rB )T)ST = aabe式中：B£ = D((FB)T)ST,A=p((FB)T)Qj(rB)T)是一个对角矩阵。将这两个切片堆叠有z式中：矩阵Be是列满秩的，令U为矩阵span( U )= spanZ,~ [aa_BeA乙一_ A(22)最大的K个左奇异向量构成的矩阵，则根据式(22)有2，其中，span(t7)为矩阵U的子空间，由U的特征向量构成。由于U和A张成AA的子空间是相等的，因此存在一个非奇异矩阵丁使得'u；u2_计算“自相关矩阵以及U,,U2互相关矩阵，有A __AA_(23)Ri = UiHUy = THA''AT= GT(24)R2 = U1HU2 = THAl1AAT=GAT式中：G=THAHAa根据式(24,25)有(25)(26)=

R2R；'G=GA

唯一确定的，进而G是可辨识的。最后通过式(22—24)可得丁

由式(26)可知,A和G分别由R2R^的特征值和对应的特征向量构成。忽略特征值的顺序时，人是

= A +乙』丁 =\"((MF)%利用上述PARALIND分解，最终可以得到矩阵4的估计为A=AnA+ W(27)式中：\"表示列置换矩阵;d为对角矩阵，由尺度模糊系数构成；妙为估计误差。其中尺度模糊可以利用

归一化方法消除。2.3相干DOA估计通过2.2节中的PARALIND分解，得到了方向矩阵4的估计值力，假设力第人列为&(/),先对其归 一化，使其首项为1,然后定义rt = — angle(&(&*))=[ 0,2xd2sinN/2,…,2ndMs'mdt/A ]T

利用最小二乘法则估计目标角度闷，假设C为最小二乘解，则“满足(28)min || Bq — r* || ^ (29)

702数据采集与处理 Journal of Data Acquisition and Processing Vol. 34, No. 4, 2019式中_ 1 0

B =_ ：1

2nd2:/k(30)_1 2ndM/X_

由式(29)可以得到“的估计为cc k___= .k\\ _=B r>+ r八k(31)-Ck2-式中心为常数耳为sin乞的估计值，则代的估计值为0t = arcsin(c*2) k= 1,2, ••• ,K

(32)式中arcsin(•)表示反正弦函数。2.4算法流程及优点、复杂度分析上述推导已经给出了线性电磁矢量阵中基于PARALIND分解的相干DOA估计算法的完整过程。

该算法主要有以下3个步骤：⑴根据式(6),将接收信号文转化为PARALIND模型〒并初始化矩阵S,B,T和A的值；(2) 根据式(12,13,15,18),重复迭代更新矩阵S,B,r和2的值，直到SSR小于设定的门限值；(3) 根据式(29-32),利用最小二乘算法，由A的估计值2 ,计算接收信号的DOA估计。根据上述步骤分析该算法复杂度。M,J,K和Ki分别为阵列中的阵元数、快拍数、信源数和非相干 信源数。本文中的PARALIND算法每次迭代的复杂度为O (6M7(2K2K/+2KKi + 2K+KJ+

6M(2K/ + K2 + KKi + 2K )+K2(JM + J+M2 + M+8)+K3K13 + 2K3 + K}3+KK1J(M+1)Ps]o

本文算法中PARALIND分解的迭代次数约为几十次\")，与FBSS-ESPRIT算法和FBSS-PM算法相 比，本文中的算法复杂度高。本文PARALIND算法的优点有：(1) 本文算法能够对电磁矢量阵中的相干信号DOA进行估计，并且可以同时得到相应的相干关系

矩阵。(2) 本文算法角度估计性能优于传统的用于解相干的FBSS-ESPRIT算法及FBSS-PM算法。(3) 本文算法适用于均匀线阵和非均匀线阵，而FBSS-ESPRIT算法和FBSS-PM算法只能用于均

匀线阵。3仿真结果在仿真中，假设远场空间有3个信源，第1个和第3个信源相干，而第2个与另外两个不相干，相干 r

--T关系矩阵为? 1 。

Lo 1 oj假设3个信源的到达角分别为久=5°,%=15°,列=25°。M,J,K分别表示阵元数、快拍数和信源

数。在下面的仿真中，利用高斯随机矩阵对PARALIND迭代分解中的参数矩阵进行初始化，设定

SSR= ICT®,并利用1 000次蒙特卡洛仿真中的角度估计均方根误差(Root mean squares error, RMSE) 去评估算法的性能。其中，角度估计的RMSE定义为RMSE =斤若占而幼几一对1 K I i 1000

(33)

徐乐等：电磁矢量阵中基于PARALIND分解的相干DOA估计算法703式中：代表示第人个目标的准确到达角；％'是第/次蒙特卡洛仿真中乞的估计值。图1,图2为本文所提岀的算法在信噪比(Signal noise ratio, SNR)为15 dB下，仿真100次的角度估

计结果分布图。两次仿真中阵元数M=15、快拍数丿=200。其中仿真1采用均匀线阵，相邻阵元间距为 A/2,仿真2采用非均匀线阵，各阵元与参考阵元间的间距为

d = [0, 0.25, 0.7, 1.15, 1.65, 2, 2.4, 2.85, 3.35, 3.75, 4, 4.4, 4.75, 4.9, 5.1\"。从图 1、图 2可以看出 本文算法对均匀线阵和非均匀线阵都能得到较准确的角度估计结果。图3为本文算法与FBSS-ESPRIT算法以及FBSS-PM算法的对比仿真结果，仿真中接收阵列采用 均匀线阵，相邻阵元间距为A/2,M=10,J=100o从图3可以看出，对于相干信号的角度估计，

PARALIND算法性能优于两个传统的前后向平滑算法。C'VOG

0 20

40 60 仿真次数80 100SNR/dB图1 均匀线阵下PARALIND算法 图2 非均匀线阵下PARALIND算 图3 3种相干信号算法角度估计性角度估计结果法角度估计结果能对比Fig. 1 Angle estimation of PARAL­Fig.2 Angle estimation of PARAL­Fig.3 Angle estimation performance

IND algorithm for uniform IND algorithm for non-uni­comparison of three algo­linear arrayform linear arrayrithms for coherent signals图4为本文算法在接收信号全部为非相干信号时，与ESPRIT算法、PM算法以及PARAFAC算法

的对比仿真结果，仿真中接收阵列为间距2/2的均匀线阵,M=12,J=100o从图4中可以看出，对于非

相干信号，本文中的PARALIND算法估计性能优于其他3种算法。图5给出了本文算法角度估计性能在不同阵元数下的仿真结果，仿真中快拍数丿=100,接收阵列为 阵元间距2/2的均匀线阵。从图5可以看出，该算法性能随着阵元数M的增大而提高，其原因是阵元的 增多提高了空间分集增益。图6为本文算法在不同快拍数下的仿真结果，仿真6中阵元数M=8,阵元间距 d = [0, 0.25, 0.7, 1.15, 1.65, 2, 2.4, 2.85\"。从图6中可知，该算法角度估计误差随着快拍数的增大 而减小，其原因为快拍数增大提高了时间分集增益。假设有两个角度相近的相干信号源入射到该阵列，信号到达角分别为E = 5°,% = 7°,MJ及SNR 设置同图1,本文所提算法仿真100次的角度估计结果分布图如图7所示。从图7中可以看岀，两组角度

估计结果区分度较高，说明该算法对角度相隔较近的相干信号也能进行有效的辨识与估计。假设有多个相干信号入射到间距为人/2的均匀电磁矢量阵列，信源数K=6,信号到达角为0 = [5°, 10°, 15°, 20°, 25°, 30。],其中信号1,5,6为第1组相干信号，信号2,4为第2组相干信号。设置阵元

数M=8,快拍数J=400,SNR=20。图8为本文所提算法仿真100次的角度估计结果分布图，从图8

可以看出，对于多个相干信源，本文算法也能进行有效区分，并得到较准确的角度估计。同时，由于相 干信源增多，信号间的相互干扰增强，该算法对信号的角度估计性能略有下降。70410:110^

数据采集与处理 Journal ofData Acquisition and Processing Vol. 34, No. 4, 2019102102c

'

^

1lo:

tqSWH

5

10 15 SNR/dB20lo'lo1lo-

10'205

10 15

SNR/dB2010'205

10 15 SNR/dB20图4 4种非相干信号算法角度估计 图5不同阵元数下的算法估计性 图6不同快拍数下的算法估计性

性能对比能能Fig. 4 Angle estimation performance Fig.5 Angle estimation performance Fig.6 Angle estimation performance

comparison of four algorithmsunder different snapshotsunder different number of sen~for incoherent signalssors10(

。二

98 7 6 5 4335 30 25 20 15 10

图7角度相近的相干信源估计结果Fig. 7 Angle estimation for closely Fig. 8 Angle estimation for multiplespaced coherent sourcescoherent sourcesVOG0020

40

6080 1000 20 40 60 80 100仿真次数仿真次数图8多组相干信源角度估计结果4结束语本文将PARALIND模型与电磁矢量传感器阵列相结合，解决了线性电磁矢量阵中相干信号DOA 估计问题。仿真表明，该算法对于均匀线阵或非均匀线阵都适用，同时能得到信号的相干关系矩阵。 从仿真结果可以看出，对于相干信号该算法角度估计性能优于传统的FBSS-ESPRIT算法以及FBSS-

PM算法，而对于非相干信号，该算法角度性能也好于常用的ESPRIT算法、PM算法以及PARAFAC 算法。同时，该算法能有效区分角度相隔较近的相干信源，并得到较准确的DOA估计结果。参考文献：[1]

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Zhang Xiaofei, Li Shu, Zheng Wang. Angle estimation for electromagnetic vector Sensor array via compressed sensing-parallel

factor[J]. Journal of Data Acquisition and Processing, 2016,31(2)： 268-275.作者简介:徐乐(1993-),男，硕士研究 生，研究方向：阵列信号处

张小飞(1977-),男，教授， 林新平(1994-),男，硕士研 究生，研究方向：阵列信号

博士生导师，研究方向：阵 列信号处理、移动通信技

理，E-mail：xule@nuaa. edu.

处理。cn0周梦婕(1995-),女，硕士研 究生，研究方向：阵列信号 处理。术。(编辑：陈培)