2014级高等数学（AⅡ）期末考试试题一、单项选择题（每小题4分，共20分）。
1．设a=(1,1,-1),b=(-1,-1,1)，则有（ ）。
（A）a//b （B）a⊥b （C）两向量夹角为角为2π 3π （D）两向量夹3
2．函数z=xy在适合条件x+y=1下的极大值为（ ）。 （A）1111 （B） （C） （D） 28
3．设u=2xy-z2，则u在点(2,-1,1)处方向导数的最大值为（ ）。 （A）6 （B）26 （C）4 （D）{-2,4,-2}
4．函数z=f(x,y)在p0(x0,y0)处的两个偏导数
可微的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）无关条件
35．若幂级数∑anxn在x=-处收敛，则它在x=1处（ ）。 2n=0∞∂z∂z和存在是它在p0(x0,y0)处∂x∂y
（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性不确定
二、填空题（每小题4分，共20分）。
2⎧⎛12⎫⎪y=2x ⎪处的切线方程为_ ____。1．空间曲线L:⎨2在点 ,1,2⎪⎪⎝2⎭⎩z=1-x
2．函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=。
3．交换积分次序：⎰dx⎰f(x,y)dy+⎰dx⎰001
L1x22-x0f(x,y)dy=。 4．如果L为圆周x2+y2=1，则(x2+y2)ds=_ ____。
⎧-1,-π≤x<05．设f(x)=⎨，则它的Fourier级数当x=0时收敛于。 1,0≤x<π⎩
三、完成下列各题（每小题7分，共28分）。
∂z∂2z1．设z=xln(xy)，求。 ,∂y∂y∂x
y2．计算⎰⎰，其中D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=0,y=xxD
所围成的第一象限内的公共部分。
3．计算⎰⎰⎰xdxdydz，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域。
Ω
4．将函数f(x)=1展开成（x-3）的幂级数，并指出收敛域。 x
四、（10分）利用格林公式计算⎰exsiny-ydx+excosy-mdy，其中L为从(1,0)
L()()
到(0,0)的上半圆x2+y2=x(y≥0)。
五、（10分）利用高斯公式计算⎰⎰(x2+y2+2z)dxdy，其中∑是上半球面
∑
x2+y2+z2=1(z≥0)，正侧向上。
∞xn(-1)n
六、（12分）求幂级数∑n的收敛域及和函数，并求常数项级数∑的nn2n2n=1n=1∞和。
2014级高等数学（AⅡ）期末考试试题
参及评分标准（2015年7月14日）
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1.A 2.C 3.B 4.B 5.A
二、填空题（每小题4分，共20分）
x-
1.12z-12-y2x2y=y-1= 2.3 .dx-dydy⎰f(x,y)dx 2222⎰0y1111+x-y1+x-y-2
4. 2π 5. 0
三、完成下列各题（每小题7分，共28分）.
1. 解：∂z1x=x⋅⋅x=…………………………………………………………………..4分 ∂yxyy
∂2z∂⎛x⎫1 ⎪= =……………..…………………..……………………………….7分 ⎪∂y∂x∂x⎝y⎭y
0≤θ≤2. 解：由题意知D：π
4
π,1≤ρ≤2………………………………..………………….2分 2yρsinθ4dθdxdy=ρdρ…………………………………4分 ⎰⎰⎰⎰01xρcosθD
(tanθ)ρdρ=⎰4θdθ⎰ρdρ =⎰4dθ⎰arctan0101π2π2
1=θ2
2π40123π2⋅ρ=…………………………………………………...…….7分 21
1-x,0≤z≤1-x-2y……………………..….…2分 220≤x≤1,0≤y≤3. 解：由题意知Ω：
⎰⎰⎰xdxdydz=⎰dx⎰Ω011-x20dy⎰1-x-2y0xdz…………………………………...…...……5分
=⎰xdx⎰011-x20(1-x-2y)dy=1123x-2x+xdx ⎰04()
=1……………………………………………………………………………..….7分 48
4. 解：f(x)=11=………………………..………………………………………2分 x3+x-3