科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷
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一、填空题（每小题5分，共25分）
1、在99763c09b5e03d626f99a9da8629788e.png中，向量292bc8d4a1af94e491d45dd93e760e98.png关于基f02971e31bffc61ac43d1fecb5039ad8.png的坐标为 。
2、向量组ab5eada59f77af97719de276a9f942b3.png的秩
为 ，一个最大无关组为 .。
3、（维数公式）如果58d84fd2c79c1aee338cf0601b998557.png是线性空间5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png的两个子空间，那么 。
4、假设17a5bf8c0b9bffb8a30e84fd0eec0e.png的特征根是 ，特征向量分别为 。
5、实二次型7482283e847ca105ab8615e9be5755d9.png 的秩为
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、如果d379a35dd865348fcbd2761f4f1e1055.png线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ）
2、在07694b76dbf2265eab21186c8a92b20a.png中，定义变换8ca4f92d5e6c7e12c58be018feed2159.png,其中4a3032c8d2b2abf0e375dec73669b4.png，是一固定的数，那么变换7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是线性变换。（ ）
3、设31d7a8a1fd92ec09197de350474ab6.png是向量空间5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png的两个子空间，那么它们的并f1e6acc8c2c34f9f6aea8a5e330fada6.png也是5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png的一个子空间。（ ）
4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令1eb17cc9077518babcecde704698631a.png是de2c632ca62317de52282ec8d83efb67.png的任意向量，那么1834dcb80855b2c985cbd1b4409b26.png是de2c632ca62317de52282ec8d83efb67.png到自身的线性变换。其中371da5e3e9c9ca238e85c52a07f0a248.png。（ ）
6、矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的特征向量的线性组合仍是7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的特征向量。（ ）
7、若矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png相似，那么7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png等价。（ ）
8、7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶实对称矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png有7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个线性无关的特征向量。（ ）
9、在5388aa35746f6d4981e002eb9190d8.png中，若61e9c06ea9a85a5088a499df58d276.png由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么61e9c06ea9a85a5088a499df58d276.png是5388aa35746f6d4981e002eb9190d8.png的
子空间。（ ）
10、齐次线性方程组d65a1daa916c20bc27cbf056880ce2ca.png的非零解向量是7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的属于6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png的特征向量。（ ）
三、明证题（每小题××分，共31分）
1、设485385fef6b001a3617ec9d1c3be85c0.png是线性空间5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png的一组基，7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png上的线性变换，证明：7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png可逆当且仅当5918700d31701d07c3fef054865c54.png线性无关。（10）
2、设1834dcb80855b2c985cbd1b4409b26.png是7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png维欧氏空间5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png的一个线性变幻，证明：如果1834dcb80855b2c985cbd1b4409b26.png是对称变幻，cd8d3ec50a2eba5e708aaa6e77c3dca6.png=2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png是单位变幻，那么1834dcb80855b2c985cbd1b4409b26.png是正交变换。（11）
3、设5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png是一个7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png维欧氏空间，证明：如果31d7a8a1fd92ec09197de350474ab6.png都是5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png得子空间，那么b55058203f30af711c06581461dff1.png。（10）
四、计算题（每小题8分，共24分）
1、求矩阵6c5090d925ced8fca08c8d0f2daf3d.png的特征根与特征向量，并求满秩矩阵44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png使得f6c66b5a8e1ec14fd9bfb9350cb240e4.png为对角形矩阵。
2、求一个正交矩阵4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png，使得8af228c906e57096845c3c5e00ec75e4.png使对角形式，其中bd00610199bcc16674e25f8b0c5b0639.png。
3、化二次型 7482283e847ca105ab8615e9be5755d9.png为平方和，并求所用的满秩线性变换。
科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷
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一、填空题（每小题5分，共25分）
10、（3,4,1）
11、秩为2，一个最大无关组为d1e8bf80daa2f4d979b9decbcb08e155.png
12、维（15df402d99d5ae494c0eec6b149b3dd9.png）+维（4925ee5356b4ace0e28f0324cf3a81de.png）=维（7394ed36a630843e34b8a4bfbde5b2b9.png）+维（730e99928d58134dbffd1f07d8c87d06.png）
13、特征根是1，1，2，特征向量分别为4e29a34174fd47d7e316be283ac63a44.png
5、秩为 3
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、（是 ）
2、（是 ）
3、（是 ）
4、（否 ）
14、（否 ）
15、（否 ）
16、（是 ）
17、（是 ）
18、（是 ）
10、（是 ）
三、明证题（每小题××分，共31分）
1、证明 设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png可逆，则a6c66973aa7a0dbc1d8763108663bfa8.png存在，且a6c66973aa7a0dbc1d8763108663bfa8.png也是5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png的线性变换，（1）
若5918700d31701d07c3fef054865c54.png线性相关，则97cca847e6d5ad334c284a2681f7507e.png，(2)
即485385fef6b001a3617ec9d1c3be85c0.png也线性相关，这与假设485385fef6b001a3617ec9d1c3be85c0.png是基矛盾，故5918700d31701d07c3fef054865c54.png线性无关。(5)反之，若5918700d31701d07c3fef054865c54.png线性无关，因5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png是7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png维线性空间，故它也是5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png的一组基，(7)
故对5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png中任意向量09c60c94effc3ef291c6c58f24c1efae.png有83af42053bc1db1e5e20aa11514271d2.png，即存在6b79daa01c5b46cf6054d91c940f.png，使7d0335adb2f37cf7f87470775886d272.png，故7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png到5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png上的变换。(8)
若又有fdfd19941791e462bade0bf1dac76180.png，使0bc18b3b0c468dadea94c955ed0c2dcb.png，即1d905d809f40831e83eb201eb2a9cdb0.png，因为5918700d31701d07c3fef054865c54.png是基，9454470c8d5d47a6b87e8711c33c3824.png，即63b4fb31540570a52853acc28db966e1.png，从而7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png又是一一的变换，故7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为可逆变换。（10）
2、证：7e75f7938b001331d4d7c80e453d92b8.png,(4)
=c0574130e27b01a912b72c0767bc300f.png ,(8)
=bade9be35b3c49508b450306f8ece4e6.png, (10)
=0 ,（11）
3、证：（1）844215a011dbcdd6237e6eade5e3974d.png,(5)
同理3e3affaa4bf51e5f60ba7f5b34d26737.png， (8)
则b55058203f30af711c06581461dff1.png。 （10）
四、计算题（每小题8分，共24分）
1、解：201f242693183525cd1fdf0ee7d2ffbf.png=d0fe356817cbf102f07b535d1c0bc7e6.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的特征根为0999d7ec46a0b8a486fa0d528026ab81.png，09203044bcb3b111fa196a74112f.png, (3)
73e7ee179499d04463bfae107069849e.png52f9bc45d1b730dbe8cd782592e4b636.png，它们对应的特征向量分别为bfc386cda6e256398453ba51678242a7.png， (6)
易知391ba748878db1fd12717e244469d4.png线性无关，取dba6b1165863c582a66dccd1ffc066dc.png，那么就得35dc2a584734e7d485f7d1dda2599e15.png。(8)
2、解：0c0c15b093b52b3a85ed6ff100c42ad0.png，则特征根为0282f686b7ee706d5a94d5d353f2f698.png， (3)
对应它们的线性无关的特征向量分别为2995d5b3a4252cd5bb407bcadf6e24.png， (6)
他们单位化后分别为
d3e28025ea2fa0bd675191f84c0299.png，取正交矩阵ae878e4884dfa8a94677e0a35507d3fe.png， (7)
则,623901d207b97ab3716c680f080104.png。 (8)
3、解 e75da0ce65f9552112639da7fb30ab56.png ，aa13c8661dbe503205c8fea536b693ad.png ，得 (2)
整理得dbbf548be8263d7a703eba8c1b7d79a2.png (4)
在令ced74d3cc8ac5cffec92341ddf527976.png，8bd72fde55c7d620ad6def2211a0912f.png， (6)
a0ff84458e85ca71eebb76a0a6aee8ca.png，a58b1ee541261f2d91559812c1561ac5.png, (8)