南昌航空大学《高等数学》(下)期终考试题及评分标准(B卷)

一、求下列偏导数

1.(4分)设Zeucosv,其中ux2y2,vxy,求ZZx,y.

解zzxuuxzvvxeucosv2xeu(sinv)y

2xex2y2cos(xy)yex2y2sin(xy)(2分)

zzu yuyzvvyeucosv2yeu(sinv)x

2yex2y2cos(xy)xex2y2sin(xy).(4分)

2.(5分)设函数Zx2f(2x,y2x),f具有二阶连续偏导数,求Z2Zx和xy.

y2

解令u2x,vx，则zx2f(u,v) 记ff(u,v)f(u,v)2f(u,v)2f(u,v)1u,f2v,f12uv,f222v

zy2x2xfx2[2fxf122](2分) 2zxy2xfv2vv2y2xf12yy2f22y2yf2

 2yf2y324xyf12xf22.(5分)

二、(6分)求曲面zez2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程和法线方程.

解令F(x,y,z)zez2xy3

则n{Fx,1ez} nx,Fy,Fz}{2y,2(1,2,0){4,2,0}(2分) 故所求切平面方程:4(x1)2(y2)0(z0)0(3分) x法线方程:x11y2.(6分)4y2z0即4220z0

三、(6分)某人欲花费完人民币90元,用于买6元一本的参考书、3元一瓶的汽水和5元一支的笔本书、y瓶汽水和z支笔,若要求乘积xyz最大,那么每种东西各应买多少?

解由题意该问题转化为求xyz在条件6x3y5z90下的极大值,令

F(x,y,z)xyz(6x3y5z90)(2分)

由Fxyz60(1)Fyxz30(2)Fxy50(3)(4分)z6x3y5z900(4) 得6x3y5z代入(4)中得x5,y10,z6 由实际问题的最大值存在,故要使xyz最大,须使x5,y10,z6.(6分

,) 设他

四、计算下列各题

1.(6分)计算二重积分Idxeydy.1x1322

解交换积分次序,得Idy02y11eydx2(3分)

(4分)

ye02y212y2dyed(y2)20

1(e41).(6分)2

2.(7分)计算(x2y2)dv,其中由平面z2与曲面x2y22z所组成. D:x2y24(1分) 解在xoy平面上的投影区域

(xy)dvdxdyxD2222y22(xy)dzdrdrr2r2dz00222222(5分)

五、计算下列各题

L16.3(7分)

1.(6分)计算xds,其中L为由直线yx有及抛物线yx2所围成区域的整个边界.2(0,0),(1,1)(1分) 解yx与yx的交点为xdsxdsxds(3分)OAAO L

x14xdxx112dx00121(5分)(6分)

12(551).122L

2.(7分)计算(x2y)dx(xsin2y)dy,其中L是在圆周y2xx2由点(0,0)到点(1,1)的一段解P(x,y)x2y,Q(x,y)(xsin2y)PQ1yx

121曲线积分与路径无关.2(2分)

200

取特殊路径得:(xy)dx(xsiny)dyxdx(1sin2y)dyL(4分)

六、(7分)计算曲面积分I2xzdydzyzdzdxz2dxdy,其中是由曲面z71sin2(6分)x2y2与z2x所围立体表面外侧.

解记为所围立体,在xoy平面上的投影为D:x2y21(1分)

由Gauss公式Izdv(3分)2r2

drdr0021rzdz(7分)(5分)

2.

七、求解下列微分方程

1.(5分)求微分方程(yx3)dx2xdy0的通解.

dy1x2

解方程化简为:dx2xy2(1分) 

原方程通解为:ye(12x)dx[(x2)(12x)dx2eC](3分) 1 5x3Cx(其中C为任意常数)(5分) 2.(5分)求微分方程(x21)dy(2xycosx)dx0满足初始条件y(0)1的特解

解P(x,y)2xycosx,Q(x,y)x21PQy2xx 方程为全微分方程(1分)

重新组合x2dy2xydxdycosxdx0

得通解为x2yysinxC(3分) 代入初始条件y(0)1得C1(4分) 故所求特解为x2yysinx1.(5分) 3.(7分)求微分方程y3y2yxex的通解.

解对应齐次方程y3y2y0的特征方程r23r20, 特征根r11,r22, 故齐次方程的通解Y(x)Cxx1eC2e2(3分)

1为特征单根,Pm(x)x,m1 故设原方程的特解形式为:y*x(axb)ex(4分) 代入原方程,得a12,b1(6分) 所以原方程通解为:yCC11ex2e2xx(

2x1)ex其中C1,C2为任意常数

八、判别下列级数的敛散性

(4分)判别级数2n1.n!n1nn的敛散性.

解limun122nulimn1(3分)n

(11en)n

原级数收敛.(4分)

.

.(7) 分 2.(5分)判别级数(1)nln(1n11n)的敛散性;若收敛,指出是绝对收敛,还是条件收敛.满足unun1,limun0

解unln(11)n n原级数收敛.(2分)

ln(11又limn)n11,n11n发散,n(1)n1n1ln(1n)发散.(4分)

故原级数条件收敛.(5分)

九、(6分)求幂级数(x3)n的收敛半径与收敛区间.n1n3n

 解令tx3，

原级数化:为tnn1n3n(1分)

liman1na1R3(3分)n3

t3时,级数收敛; t3时,级数发散. 3t3(5分即3x33故原级数收敛半径为3,收敛区间为:[0,6).(6分) 十、(电子系、计算机系、测控系的学生做1,3小题,其它系的学生做2,4小题)1.(5分)已知y1ex是微分方程xy(2x1)y(x1)y0的一个解,求该微分方程的通解 解该yuyx1ue为微分方程的.解(1分)

将yuexuex,yuex2uexuex代入微分方程xu得u0(3分)

化为uu1x 两边积分得lnulnxlnC1

即uC1x 两边积分得uC1lnxC2(4分) 故所求通解为:y(Cx1lnxC2)e.(5分) 2.(5分)设tex是微分方x程yq(x)y2xex的一个解,求该微分方 解由已知,将yex代入微分方,得程q(x)x(1分) 对应的齐次方程为:xyxy0,即yy0

其特征方程:为r2r0, 特征根r10,r21 齐次方程的通解:Y为(x)C1C2ex(4分) 故所求微分方程通:解y为Cx1C2eex.(5分)

)

.的.通 解

程 3.(5分)设f(x)是周期为2的周期函数,它在[,)上的表达式为f(x)x,将f(x)展开成傅立2级数. 解所给函数f(x)满足收敛定理的条

在x(2k1)处不连续,f(x)的Fourier级数在x(2k1)处, ()收敛于f(0)f(0)22220 在连续点x(x(2k1))处,收敛于f(x).(1分) 又f(x)是以为2周期的奇函 数an0(n1,2,)

b2)sinnxdx1xsinnxdx1n1n0f(x0n(1)(n1,2,)

故f(x)的Fouri级er数展开式:为

11(1)n1f(x)sinx2sin2x3sin3xnsinnx

(x,x,3,).

4.(5分)将f(x)1x23x2展开成x3的幂级数,并指出其收敛区间. 解f(x)111(x1)(x2)x1x2(1分)

1(x3)21(x3)1(2分) 1nx 2(1)(3)n(1)n(x3)nn02n0

 n(1)n[1102n1](x3)n(4分) 其中x3212x4(5分)

x31

(5分)设an4tan0nxdx,试证:对任意的常数0,级数an收敛.n1n

1tn 证:令ttanx,则0an01t2dt(1分) 1110tndtn1n(3分)

故0an1nn1(4分)

(4分)(5分)

十一、 1n1

n1a(0)收敛,n收敛. n1n(5分)