1. 设的值. 【答案】
的内角
，
所对边的长分别是
或
.
，利用
可以解出
，
，且
，
的面积为
，求
与
【解析】根据三角形面积公式可以求出对
进行分类讨论，通过余弦定理即可求出的值.
，故
. .
，所以，所以
； .
由三角形面积公式，得∵当当
，∴
时，由余弦定理得，时，由余弦定理得，
【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理.
2. [2012·湖南高考]在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( ) A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】cos60°＝
＝，∴AB＝3，高为AB·sin60°＝
，选B项．
3. △ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ） A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac， 又∵△ABC的面积为，∠B=30°， 故由
得ac=6．
∴a2+c2=4b2﹣12． 由余弦定理，得
，
，
解得． 又b为边长，∴． 故选B
4. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东 ，与观测站A距离 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北 且
，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时
海里的B的C处，
___________．
【答案】
，
【解析】由已知，所以， 由余弦定理得，
,故（海里）， 该货船的船速为海里/小时．
【考点】三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，（1）求的值； （2）求函数的值域． 【答案】（1）
,（2）
．
．
【解析】（1）向量数量积就是边与角的关系，这也是向量与三角形的结合点. 因为以．由余弦定理得，因为，所以研究三角函数性质，先将其化为基本三角函数，即
，所．（2）
，然后求其定义域，这是本题关
键，因为
，所以
，所以
．因为，所以
，所以
，所以
．最后根据的值域为
基本三角函数性质，求其值域. 由于
．
【解】（1）因为由余弦定理得因为，所以（2）因为所以因为因为由于所以
的值域为
，所以
，
． ，所以
． 3分 ，
． 6分 ，所以， 8分
，所以
． 10分
， 12分
． 14分
【考点】两角和与差的三角函数、解三角形、向量的数量积
6. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】A
，则△ABC是( )
【解析】由所以
得，
，所以
，
,
即三角形为钝角三角形，故选A.
7. 已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，若A=＝4，则△ABC的面积为( ) A．2 B． C．3 D．
，a＝2
，b＋c
【答案】D
【解析】由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝又a＝2
，则a2＝(b＋c)2－bc，
，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，
．
故S△ABC＝bcsin A＝
8. 在中，角，，所对的边分别为为，，，且（1）求角； （2）若，，求，的值. 【答案】（1）
；（2）
，约去
【解析】（1）将已知利用正弦二倍角公式展开，因为
；（2）已知三角形理得
，联立求
的面积和即可．
，∴
，又
，不难想到
，得，得
的值，进而求，又根据余弦定
试题解析：（1）由已知（2）由余弦定理，由
10分
解得
，∵
，∴，∴．
13分
【考点】1、正弦二倍角公式；2、三角形面积公式；3、余弦定理. 9. 若A．
是
的重心，
分别是角B．
的对边，若
C．
，则角
（ ）
D．
【答案】D 【解析】因为
是
的重心，所以
,所以
整理得：
故选A.
,，
【考点】1.向量的运算；2.余弦定理.
10. 在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值． 【答案】（1）A＝60°（2）
【解析】(1)由已知条件得：cos2A＋3cosA＝1，∴2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝，∴∠A＝60°. (2)S＝bcsinA＝5
.
11. 要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并且测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离． 【答案】km
【解析】△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(
)2＋
＝
.在△ABC中，由余弦定
cos75°＝5，
c＝4，由余弦定理，得a2＝21，(2R)2＝
＝28，∴sinBsinC＝
－2··
∴AB＝km.故A、B之间的距离为km.
12. 在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A＝________． 【答案】60° 【解析】由余弦定理，得cosA＝
，
∵0＜A＜π，∴A＝60°
13. 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是________三角形． 【答案】等腰
【解析】因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得a＝2b·
，整理得b2＝c2，故此三角形一
定是等腰三角形．
14. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为( ) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
【答案】D
【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数,且A>B>C, 可得a=c+2,b=c+1;① 又因为3b=20acosA, 由余弦定理可知cosA=则3b=20a·
,②
,
联立①②,化简可得7c2-13c-60=0, 解得c=4或c=-(舍去),则a=6,b=5.
又由正弦定理可得,
sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4. 故应选D.
15. 在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,cosB),n=(sinB,-),且m⊥n. (1)求角B的大小.
(2)若△ABC的面积为,a=2,求b的值. 【答案】(1) B= (2) b=.
【解析】(1)m·n=1×sinB+cosB×(-)=sinB-cosB. 因为m⊥n,所以m·n=0,所以sinB-cosB=0. 因为△ABC为锐角三角形,所以cosB≠0, 所以tanB=.
因为0 ,所以c=3. 由b2=a2+c2-2accosB, 得b2=22+32-2×2×3cos=7, 所以b=. 16. 已知函数（1）求的值； （2）在中， ．求 【答案】(1)【解析】 （1）f(x)的图像经过点 ,带入函数得到关于的三角等式,再利用常见三角函数值与的范围 结合即可得出C角的余弦值, 带入函数解析式即可得 、． 、 的图像经过点 ． ，且 所对的边分别为、、，若 （2）sinB= 即可求出的值. （2）利用三角形关于C角的余弦定理与题目已知式子进而得到C角的正弦值(三角形内角的正弦值都为正数),再把 到A角的余弦,利用余弦与正弦的关系得到A角的正弦值,而三角形三个角和为180度,则B角的正弦利用和差角公式即可用A,C两个角的正余弦值来表示,进而得到B角的余弦值. 试题解析： （1）由题意可得， ， ，即 ， ． 2分 ． 5分 （2） ， 7分． 8分 由（1）知．， ， 10分 ， ， 又， ． 12分 【考点】三角函数的图象与性质，三角恒等变换 余弦定理 17. 已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 【答案】－ 的等比数列， 【解析】设△ABC的三边a，b，c成公比为∴b＝a，c＝2a. 则cos C＝ ＝ ＝－ 18. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为( )． A．－ B．－ C． D． 【答案】A 【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝ 19. 在【答案】 中， 等号当且仅当 取得. ， ，则 的最小值为 . ＝－. 【解析】由余弦定理得所以 【考点】余弦定理,基本不等式，向量数量积. 20. 在【答案】 中， 等号当且仅当 取得. ， ，则 的最小值为 . 【解析】由余弦定理得所以 【考点】余弦定理,基本不等式，向量数量积. 21. 在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________. 【答案】 【解析】已知三角形的两条边长，要求第三边，一般可用余弦定理，则必须求得已知两边的夹角，那么三角形的面积我们选用公式 ，可得 ，从而得 ，再由余弦定理可 得结论． 【考点】三角形的面积公式与余弦定理． 22. 在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________. 【答案】 【解析】已知三角形的两条边长，要求第三边，一般可用余弦定理，则必须求得已知两边的夹角，那么三角形的面积我们选用公式 ，可得 ，从而得 ，再由余弦定理可 得结论． 【考点】三角形的面积公式与余弦定理． 23. 在 中， 分别是内角 的对边，已知 ，则 . 【答案】6． 【解析】由余弦定理 代入数据解得 . 【考点】余弦定理． 24. 已知函数f(x)＝cos 2x＋2sin x·sin. (1)求f(x)的最小正周期，最大值以及取得最大值时x的集合； (2)若A是锐角三角形△ABC的内角，f(A)＝0，b＝5，a＝7，求△ABC的面积． 【答案】（1）π，2，；（2）10. 【解析】（1）将函数f(x)展开，由倍角公式及诱导公式化简为f(x)＝2sin，即可得f(x)的最小正周期，最大值.令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，可得取得最大值时x的集合为； （2）先由f(A)＝sin＝0及锐角A的范围得A＝，再由b＝5，a＝7根据余弦定理得c＝8，最后由三角形面积公式S△ABC＝bc·sin A得到△ABC的面积为10. 试题解析：(1)f(x)＝cos 2x＋2sin x·sin＝cos 2x＋2sin x·cos x ＝cos 2x＋sin 2x＝2sin， 3分 ∴f(x)的最小正周期是π. 4分 令2x＋＝＋2kπ，k∈Z.解得：x＝＋kπ，k∈Z. ∴f(x)的最大值是2，取得最大值时x的集合是. 6分 (2)∵f(A)＝sin＝0,0＜A＜，∴A＝， 8分 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A，c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍)， 10分 ∴S△ABC＝bc·sin A＝10. 12分 【考点】1.三角恒等变换；2.余弦定理；3.三角形面积公式 25. 在中，若，，，则 . 【答案】 【解析】设 ，由余弦定理得 ，即 ， 整理得，由于，解得，即. 【考点】余弦定理 26. 若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足________________． 【答案】 【解析】由余弦定理得【考点】余弦定理． 27. 已知 ，函数 . ，，又 ，且C＝60°，则ab的值为 ． （1）求的最值和单调递减区间； （2）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为大值. 【答案】（1）（2） 的最大值为，最小值为. ，求△ABC的面积的最 ； ，单调递减区间为 【解析】（1）先由向量数量积得表达式，经过三角恒等变换将其化为一个角的三角函数，最终可得的最大最小值和单调递减区间；（2）在（1）的基础上先求出的值，利用余弦 定理可得 面积的最大值. 试题解析： （1） ，再利用重要不等式得的范围，最后利用求得 2分 . 4分 令解得 单调递减区间为（2） 由余弦定理得，又 ． 8分 ． . 10分 ， . 6分 . 12分 【考点】1、向量数量积运算；2、三角恒等变换及三角函数性质；3、解三角形；4、重要不等式． 28. 在△中，角所对的边分别为，已知，，．则= . 【答案】. 【解析】根据题意在中，由余弦定理得，即. 【考点】余弦定理. 29. 在中，若则角 ． 【答案】 【解析】根据正弦定理，可将条件化为 . 【考点】解三角形. 30. 13．若的边【答案】 【解析】由余弦定理得【考点】余弦定理. 31. 已知、、分别为△边 ； 【答案】【解析】因为， ， ， ，所以，由余弦定理得，。 即， ,又 ,根据余弦定理得 , 满足 ，即 且C=60°，则的值为 . ，解得 . 的三个内角、、所对的边，若，，，则 ，解得， 【考点】余弦定理的应用。 点评：中档题，利用余弦定理，建立边c的方程，进一步求解，注意避免失解。 32. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以由余弦定理可知， ,所以 . 【考点】余弦定理 点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力． 33. 在锐角 中， 分别是内角 所对边长，且 ． （1）求角的大小； （2）若【答案】（1） （2） ，求 ． 【解析】（1）由已知得， ， 5分 ， 7分 又因为A是锐角， （2）， ， 9分 又，， ， 12分 又， . 14分 【考点】本小题主要考查三角函数的化简、向量的数量积运算和正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用. 点评：三角函数是每年高考必考的题目，经常与向量结合命题，难度一般不大，解题过程中，因为三角函数中公式比较多，所以要灵活选择公式，准确应用，应用正弦定理时还要注意解的个数问题. 34. 在【答案】【解析】 中，角 代入 【考点】解三角形 点评：解三角形通常用正余弦定理实现边与角的互相转化。正弦定理：余弦定理： 35. (本题满分12分) 在（1）求（2）若 中，角 ， ， 得 ，三角形中由余弦定理得 的对边分别是 ，若 ， ，则 ． 所对的边分别为，且满足，． 的面积； ，求的值． .（2） . 【答案】（1） 【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。 （1）因为 所以 （2）由 ，且 ，所以，又,所以.，然后结合，得 .得到面积的值。 ，解得，所以所以 . 或，又 ，从而结合余弦定理得到a的值。 ,所以 .……………3分 解：（1）因为由故（2）由 ，且，得 . …………………………………………………………………6分 ，解得 或，故 ………………………………………………9分 . ……………… ………………12分 由余弦定理得 36. 在△ABC中，AB=3，BC=【答案】 【解析】解：由余弦定理cosA=∴ 37. 在△ABC中，A． ，AC=4，则△ABC的面积等于 = ，则A的取值范围是（ ） =，∴sinA= . B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 38. 在△ABC中，【答案】 【解析】 . ， ，则此球的 可知余弦定理中角A表示的为大于零小于等于，选C ，则 . 39. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若表面积等于 ； 【答案】 【解析】如图底面三角形ABC的外心是在中,AB=AC=2, ,由正弦定理, ,可得 ,, 外接圆半径 . ,设此圆圆心为,球心为O,在中,易得球半径,故此球的表面积为 40. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。 (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求【答案】（1）【解析】（1）由已知（2）解法一：由已知所以 解法二：由已知所以 ，及 ，及 （2） 的值。 ,解得 ，所以 ， ，根据正弦定理得 ，根据余弦定理得，解得 考点定位：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力 41. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【考点定位】本题主要考察用余弦定理解三角形和利用基本不等式求最值 【解析】由余弦定理结合基本不等式可得 42. 给出问题：已知 满足 ，试判定 的形状.某学生的解答如下： 解：（i）由余弦定理可得，， ， , 故是直角三角形. （ii）设外接圆半径为.由正弦定理可得，原式等价于 ， 故是等腰三角形. 综上可知，是等腰直角三角形. 请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. . 【答案】等腰或直角三角形 【解析】解：第一种解法中，两边同时约分，造成了方程丢解，那就是等腰三角形 第二种解法中，由于正弦值相等，可能A=B，也可能A+B= 43. 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往 救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） 【答案】（1）arctan弧度；（2）救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 【解析】（1） 时，P的横坐标xP= ，代入抛物线方程海里/时. 4分 中，得P的纵坐标yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为由tan∠OAP= ，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向 . 为北偏东arctan弧度. 6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为由，整理得. 10分 因为 ，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分 44. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点.现测得 ，并在点测得塔顶的仰角为， 求塔高（精确到， ） 【答案】 【解析】本试题主要考查了解三角形的运用，利用正弦定理在 ，然后在 解：在 中， ，所以 由正弦定理得： 中，得到 中，利用正切值可知 在中， 45. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若的面积等于 . 【答案】 【解析】因为 ，所以 46. 在△ABC中，a=15，b=\"10,\" ∠A=A． ，则 ，所以 ，则，所以 （ ） C． ，且，则 ，故。因为 B． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理：所以 47. 在A． 故选A 中,若b2 + c2 = a2 + bc , 则 B． ( ) C． 又 D． 【答案】C 【解析】由余弦定理得： 48. （本小题满分8分）在中，分别为内角 （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，试求内角B、C的大小. 【答案】解：（Ⅰ）∵ 由余弦定理得 故（Ⅱ）∵∴∴∴∴ ， ----------------6分 -----------------4分 ， ， ----------------5分 ， 故选C 的对边，且 又∵为三角形内角， ----------------7分 故. -----------------8分 【解析】略 49. （本小题满分13分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， ． （I） 求（II） 若的面积； ，求的值． ，所以 所以 . ，又 ,所以 . 【答案】解：（I）因为由故（II）由 ，且，得 . ………6分 ，解得 或 由余弦定理得，故. ………………13分 【解析】略 50. 如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=，△BCD是正三角形。 （I）将四边形ABCD的面积S表示为的函数； （II）求四边形ABCD的面积S的最大值及此时的值。 【答案】解：（I）在△ABD中，∴∴（II）∵ ∴当 时， ，此时 。 ， ，且，且 ； ， ， 【解析】略 51. ．△ABC满足最小值为( ) A．9 ，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义 的 f(M)=(x,y,z)，其中x,y,z分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若f(M)=(x,y,)，则 B．8 C．18 D．16 【答案】C 【解析】略 52. （本小题满分12分）在量 （1）求角的大小； （2）设，求的面积【答案】（1）（2） ． ，∴由余弦定理， 时等号成立）． （当且仅当 面积的最大值为 ． 中， ， ， . 以点为圆心，线段 于点，求弧 的长.（精确到 时等号成立）． 得 中，已知内角 ，且 所对的边分别为，向 //，为锐角． 的最大值． 【解析】（1）由//得即 即锐角（2）∵． 又∵ 代入上式得当且仅当∴∴ 53. （本题满分14分）如图，在的长为半径的半圆分别交 所在直线于点、，交线段 ） 【答案】3.13 【解析】解法一：联结BD，在 所以 中，由余弦定理得 . . ，故 ， 再由正弦定理得在 中，因为 所以. 解法二：如图，以点B为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 由条件可得点的坐标为和圆方程可解得于是，得 和 联立得 ，点的坐标为 . 和 的夹角 的余弦值为 ，故直线 的方程为 ， ，即得点的坐标为， ，故向量 ，即所以， 54. 已知向量（1）求函数 . . ，函数 的单调增区间； 所对的角分别为 ；（2） ，且满足 的最小正周期为. （2）如果△ABC的三边【答案】（1） 的值. 【解析】（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到 计算周期；（2）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的形式，利用公式 形式，再 相应的单调区间，注意先把 化为正数,这是容易出错的地方；（3）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的范围. 试题解析：（1） 3分 ∵的最小正周期为，且＞0 ∴∴由得 ≤的增区间为 ∴ ∴ 4分 ≤ 5分 6分 8分 中， 9分 12分 （2）由又由∴在∴ 【考点】1、求正弦型函数的单调区间；2、三角形中余弦定理的应用. 55. 设△的内角,,所对的边分别为,,. 若,则角【答案】【解析】由则 【考点】余弦定理. 56. 已知的三个内角为 ； 【答案】 【解析】由 解得: ，所以. 【考点】1.等差数列;2.三角形余弦定理. 57. 在中，若【答案】 ，所以 ，所以 ，得，又 , ，即. ， _________. 成等差数列，且则边上的中线 的长 ,因为为的中点，所以在中，由余弦定理，可得： ，则角B= 。 【解析】由余弦定理得所以B= ， 【考点】本题考查余弦定理，同角三角函数之间的基本关系 点评：解决本题的关键是掌握余弦定理，灵活应用 58. 在直角梯形ABCD中，，，A． ，则 D． （ ） B． C． 【答案】B 【解析】由已知条件可得图象如下， 在中，∴ ， ，∴ . 【考点】余弦定理. 59. 在直角梯形ABCD中，A． ，，C． ，则（ ） D． B． 【答案】B 【解析】由已知条件可得图象如下， 在中，∴ ， ，∴ . 【考点】余弦定理. 60. （本小题满分12分）如图，在凸四边形 中，为定点，,为动点，满足 ． （1）写出（2）设 与和的关系式； 的面积分别为和，求 ；（2） 的最大值． 的最大值. 【答案】（1） 【解析】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（4）转化为二次函数求最值，注意角的取值范围. 试题解析：（1）由余弦定理，在中， 在中， 所以，即 4分 （2）所以 , 6分 10分 由题意易知，当 时， ,所以 有最大值． 12分 【考点】1、余弦定理的应用；2、三角函数求最大值.
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