2016年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
学校 姓名 准考证号 考生须知 1. 本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3. 试题答案一律填涂在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为 （A） 45° （B） 55° （C） 125° （D） 135° 科学计数法表示应为 （A） 2.8×103 （B） 28×103 （C） 2.8×104 （D） 0.28×105
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （A） a>− 2 （B） 𝑎<− 3 （C） 𝑎>− 𝑏 （D） 𝑎<− 𝑏 4. 内角和为540°的多边形是
O
A
B
2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。将28 000用
5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是 （A） 圆锥 （B） 三棱锥 （C） 圆柱 （D） 三棱柱 6. 如果𝑎+𝑏=2,那么代数（𝑎−
𝑏2
)∙𝑎−𝑏的值是 𝑎
1
1
𝑎
（A） 2 （B）-2 （C） 2 （D）− 2 7. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是
A
最大的月份是
B
C
D
8. 在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润 （A） 3月份 （B） 4月份 （C） 5月份 （D） 6月份
第8题图 第9题图
9. 如图，直线𝑚⊥𝑛,在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为
（A） 𝑂1 （B） 𝑂2 （C） 𝑂3 （D） 𝑂4 10. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增。计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%。为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：𝑚3），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：
① 年用水量不超过180𝑚3的该市居民家庭按第一档水价交费
② 年用水量超过240𝑚3的该市居民家庭按第三
档水价交费
③ 该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间 ④ 该市居民家庭年用水量的平均数不超过180
（A） ①③ （B） ①④ （C）②③ （D）②④ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 如果分式𝑥−1有意义，那么x的取值范围是 。 12.右图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式： 。
13. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据： 移植的棵数n 成活的棵数m 成活的频率𝑛 𝑚2
1 000 865 0.865 1 500 1 356 0.904 2 500 2 220 0.888 4 000 3 500 0.875 8 000 15 000 20 000 30 000 7 056 13 170 17 580 26 430 0.882 0.878 0.879 0.881 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 。 14. 如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m，则路灯的高为 m。
15. 百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最
后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为 。
16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程。
请回答：该作图的依据是 。 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17. 计算：（3−𝜋）°+4𝑠𝑖𝑛45°−√8+|1−√3 |.
2𝑥+5>3(𝑥−1)18. 解不等式组：{ 𝑥+7
4𝑥>2
19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠𝐵𝐴𝐷,交DC的延长线于点E. 求证：DA=DE
20. 关于x的一元二次方程𝑥2+(2m+1)𝑥+𝑚2−1=0有两个不想等的实数根。 （1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根。
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（－6，0）的直线𝑙1与直线𝑙2；y=2x相交于点B（m，4）。
（1）求直线𝑙1的表达式；
（2）过动点P(n,0)且垂于x轴的直线与𝑙1,𝑙2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时，写出n的取值范围。
22. 调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况。
小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2-5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4.
小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.
表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 （单位：𝒎𝟑） 家庭人数 用气量
表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：𝒎𝟑） 家庭人数 用气量
表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位：𝒎𝟑） 家庭人数 用气量
根据以上材料回答问题：
小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处。
23. 如图，在四边形ABCD中，∠𝐴𝐵𝐶=90°,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点，连接BM,MN,BN. (1)求证：BM=MN;
(2)∠𝐵𝐴𝐷=60°,AC平分∠𝐵𝐴𝐷,AC=2,求BN的长。
24. 阅读下列材料：
北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位，深入实施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略。“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业。
2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.1%。2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值21.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业。2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%。文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位。2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高。2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%。
（以上数据来源于北京市统计局）
2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 2 14 3 19 4 21 5 26 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料解答下列问题：
（1）用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；
（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2016年北京市文化创意产业实现增加值约 亿元，你的预估理由 。
̂于点D，过点D作⨀𝑂的25. 如图，AB为⨀𝑂的直径，𝐹为弦𝐴𝐶的中点，连接𝑂𝐹并延长交 𝐴𝐶切线，交BA的延长线于点E. (1) 求证：AC∥DE:
(2) 连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路。
26. 已知y是x的函数，自变量x的取值范围𝑥>0,下表是y与x的几组对应值
x y … … 1 1.98 2 3.95 3 2.63 5 1.58 7 1.13 9 0.88 … … 小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究。
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x＝4对应的函数值y约为 ；
②该函数的一条性质： 。
27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线𝑦=𝑚𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚−1(𝑚>0)与x轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数； ②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。
28. 在等边∆𝐴𝐵𝐶中，
（1）如图1， P,Q是BC边上两点，AP=AQ,∠𝐵𝐴𝑃=20°,求∠𝐴𝑄𝐵的度数；
（2）点P,Q是BC边上的两个动点（不与点B,C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的的对称点为M，连接AM,PM. ①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P、Q运动的过程中，始终有PA=PM。小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1:要证明PA=PM，只需证∆𝐴𝑃𝑀是等边三角形。
想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP,要证PA=PM，只需证∆𝐴𝑁𝑃≅∆𝑃𝐶𝑀
想法3: 将线段BP绕点 B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK,PM=CK……. 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）
29. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（𝑥1,𝑦1)，点Q的坐标为（𝑥2，𝑦2），且𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2，若𝑃,𝑄为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与 某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”。下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图。
（1）已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； （2）⨀𝑂的半径为√2，点M的坐标为（m,3）。若在⨀𝑂上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。
2016年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷参
一、单项选择题（每题3分，共30分）
题号 答案 题号 答案
二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 𝑥≠1
12. 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐𝑚=𝑚(𝑎+𝑏+𝑐)
13. 0.880（使用平均数和中位数附近的数都可以） 14. 3 15. 505
16. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在PQ的垂直平分线上）；两点确定一条直线（AB垂直PQ）（其他正确依据也可以）
三、解答题（第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）
17. 解：原式=1+4×
√2−2
1 B 6 A 2 C 7 D 3 D 8 B 4 C 9 A 5 D 10 B 2√2+√3−1=√3。
𝑥<82𝑥−3𝑥>−5−3
18. 解：{=>{=>1<𝑥<8。
𝑥>18𝑥>𝑥+7
19. 证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形 ∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ∴∠𝐸=∠𝐵𝐴𝐸 ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷 ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸 ∴∠𝐸=∠𝐷𝐴𝐸 ∴𝐷𝐴=𝐷𝐸.
20. 解：（1）∵原方程有两个不相等实数根 ∴∆=(2𝑚+1)2−4(𝑚2−1)=4𝑚+5>0
解得𝑚>−。
45
（2）𝑚=1，原方程为𝑥2+3𝑥=0，即𝑥(𝑥+3)=0 ∴𝑥1=0, 𝑥2=−3。（m取其
他值也可以）
21. 解：（1）∵点B在直线l2上 ∴4=2𝑚 ∴𝑚=2 ，
4=2𝑘+𝑏
设l1的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，由A、B两点均在直线l1上得到，{，
0=−6𝑘+𝑏𝑏=3
（2）𝑛<2。
解得{
𝑘=
1
2，则l1的表达式为=
12
𝑥+3。
22. 解：小芸，小天调查的人数太少；小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为(2×3+3×11+4)÷15=2.87，远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显问题；小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为(2×2+3×7+4×4+5×2)÷15=3.4，说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反映出该小区家庭5月
份用气量情况。
23. （1）证明：在∆𝐶𝐴𝐷中，∵M、N分别是AC、CD的中点 ∴𝑀𝑁∥𝐴𝐷 且 𝑀𝑁=2𝐴𝐷 在𝑅𝑡∆𝐴𝐵𝐶中，∵M是AC的中点 ∴𝐵𝑀=2𝐴𝐶 又∵𝐴𝐶=𝐴𝐷 ∴𝑀𝑁=𝐵𝑀。
（2）解：∵∠𝐵𝐴𝐷=60°且AC平分∠𝐵𝐴𝐷 ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶=30°
由（1）知，𝐵𝑀=𝐴𝐶=𝐴𝑀=𝑀𝐶 ∴∠𝐵𝑀𝐶=∠𝐵𝐴𝑀+∠𝐴𝐵𝑀=2∠𝐵𝐴𝑀=60°
21
1
1
∵𝑀𝑁∥𝐴𝐷 ∴∠𝑁𝑀𝐶=∠𝐷𝐴𝐶=30° ∴∠𝐵𝑀𝑁=∠𝐵𝑀𝐶+∠𝑁𝑀𝐶=90°
∴𝐵𝑁2=𝐵𝑀2+𝑀𝑁2 而由（1）知，𝑀𝑁=𝐵𝑀=2𝐴𝐶=2×2=1 ∴𝐵𝑁=√2。 24. （1）略；（2）3440（预估值在3376~3563之间都可以），近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据（只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可）
25. （1）证明：∵ED与⨀𝑂相切于D ∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐸 ∵F为弦AC的中点 ∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐶 ∴𝐴𝐶∥𝐷𝐸
（2）解：①四边形DFAE为直角梯形，上底为AF，下底为DE，高为DF，有条件比较容易在直角三角形DOE中计算出DE长为√3𝑎，DF=a/2，AF=的面积为
3√32
𝑎；②在三角形8
√3√3𝑎，所以可以求出四边形2
√31
1
DFAE
CDF中，𝐷𝐹⊥𝐹𝐶，且DF=a/2, FC=AF=2𝑎，进而可以求解在
三角形CDF的面积为8𝑎2；③四边形ACDE就是由四边形DFAE和三角形CDF组成的，进而可以得到四边形ACDE的面积就等于他们的面积和，为
√32
𝑎（本题也可以通过证明四边形2
ACDE为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求解，主要思路合理即可）。
26. （1）略；（2）2（2.1到1.8之间都正确）、该函数有最大值（其他正确性质都可以）。 27. （1）解：将抛物线表达式变为顶点式𝑦=𝑚(𝑥−1)2−1，则抛物线顶点坐标为(1,-1)。
（2）解：①𝑚=1时，抛物线表达式为𝑦=𝑥2−2𝑥，因此A、B的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；②抛物线顶点为(1,-1)，则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令𝑦=0 𝑚𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚−1=0，得到A、B两点坐标分别为(1−散，进而得到2≤
1√𝑚19
1√,0),(1+𝑚14
1√𝑚,0)，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分
<3，∴<𝑚≤。
28. （1）解：∵𝐴𝑃=𝐴𝑄 ∴∠𝐴𝑃𝑄=∠𝐴𝑄𝑃 ∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝑄𝐶 又 ∵∠𝐵=∠𝐶=60° ∴∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑄=20° ∴∠𝑃𝐴𝑄=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝑃−∠𝐶𝐴𝑄=60°−20°−20°=20°
∴∠𝐵𝐴𝑄=∠𝐵𝐴𝑃+∠𝑃𝐴𝑄=40°
又∵∠𝐵=60° ∴∠𝐴𝑄𝐵=180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝑄=80°。
（2）①略；②利用想法1证明：连接AQ，首先应该证明∆𝐴𝑃𝐵≅∆𝐴𝑄𝐶，
得到∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑄，然后由∠𝐶𝐴𝑄=∠𝐶𝐴𝑀得到∠𝐶𝐴𝑀=∠𝐵𝐴𝑃，进而得到∠𝑃𝐴𝑀=60°; 接着利用∠𝑀𝐶𝐴=∠𝑄𝐶𝐴=∠𝑃𝐵𝐴=60° AB=AC ∠𝐶𝐴𝑀=∠𝐵𝐴𝑃，得到∆𝐴𝑃𝐵≅∆𝐴𝑀𝐶， 从而得到AP=AM，进而得到PA=PM。（利用其他想法的线索证明也可以）
29. （1）解：①𝑆=2×1=2；②C的坐标可以为 (3,2)或者(3,-2)，设AC的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏,
将A、C分别代入AC的表达式得到
0=𝑘+𝑏0=𝑘+𝑏𝑘=1𝑘=−1 { 或 {，解得{ 或 {，
2=3𝑘+𝑏−2=3𝑘+𝑏𝑏=−1𝑏=1
则直线AC的表达式为𝑦=𝑥−1 或 𝑦=−𝑥+1。
（2）解：易得随着m的变化，所有可能的点M都在直线y=3上；
对于圆上任何一点N，符合条件的M和N必须在k=1或者-1的直线上， 因此可以得到m的范围为1≤𝑚≤5 或者 −5≤𝑚≤−1。