2021-2022学年湖南省邵东市邵东县两市某校初三（上）期中考
试数学试卷
一、选择题
1. 若反比例函数𝑦=的图象经过点(2, −1)，则该函数的图象位于( )
𝑥𝑘
A.第一、三象限
B.第三、四象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限
2. 某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元．设平均每次降价的百分率为𝑥，可列方程为（ ） A.100𝑥(1−2𝑥)=90 C.100(1−𝑥)2=90
3. 如图，身高1.6𝑚的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影𝐵𝐴由𝐵向𝐴走去，当走到𝐶点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得𝐵𝐶=3.2𝑚，𝐶𝐴=0.8𝑚，则树的高度为（ ）
B.100(1+2𝑥)=90 D.100(1+𝑥)2=90
A.4.8𝑚
4. 如图，若𝐷𝐶 // 𝐹𝐸 // 𝐴𝐵，则有（ ）
B.6.4𝑚
C.8𝑚
D.10𝑚
A.𝑂𝐹=𝑂𝐸 C.
5. 下列判断正确的是（ ） A.方程𝑥2=9𝑥的解是𝑥=0
B.方程(𝑥+1)(𝑥−1)=1的解是𝑥=±1 C.2𝑥2−3𝑥是一元二次方程 D.6𝑥2−1=3𝑥的一次项是−3𝑥
试卷第1页，总25页
𝑂𝐴𝑂𝐶𝑂𝐷
𝑂𝐶
B.𝑂𝐸=𝑂𝐴 D.
𝐶𝐷𝐸𝐹
𝑂𝐹𝑂𝐵
=
𝑂𝐷𝑂𝐵
=
𝑂𝐷𝑂𝐸
6. 如图，以点𝑂为位似中心，把△𝐴𝐵𝐶放大为原图形的2倍得到△𝐴′𝐵′𝐶′，以下说法中错误的是( )
A.△𝐴𝐵𝐶∼△𝐴′𝐵′𝐶′
B.点𝐶，点𝑂，点𝐶′三点在同一直线上 C.𝐴𝑂:𝐴𝐴′=1:2 D.𝐴𝐵 // 𝐴′𝐵′
7. 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，若cos𝐴=3，则tan𝐵的值是（ ） A.
8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数𝑦1=𝑘𝑥+𝑏(𝑘，𝑏是常数，且𝑘≠0)与反比例函数𝑦2=𝑥(𝑐是常数，且𝑐≠0)的图象相交于𝐴(−3, −2)，𝐵(2, 3)两点，则不等式𝑦1>𝑦2的解集是（ ）
𝑐
2√5 5
2
B.
√55
C.
3√5 5
D. √53
A.−3<𝑥<2
C.−3<𝑥<0或𝑥>2
9. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=4，𝐷为𝐵𝐶边上的一点，且∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵．若△𝐴𝐷𝐶的面积为𝑎，则△𝐴𝐵𝐷的面积为( )
B.𝑥<−3或𝑥>2 D.0<𝑥<2
A.2𝑎
B.2𝑎
5
C.3𝑎
D.2𝑎
7
试卷第2页，总25页
10. 函数𝑦=和𝑦=在第一象限内的图象如图所示，点𝑃是𝑦=的一个动点，𝑃𝐶⊥𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
1
4
4
轴于点𝐶，𝑃𝐷⊥𝑦轴于点𝐷，𝑃𝐷，𝑃𝐶交𝑦=𝑥图象于点𝐵，𝐴． 下列结论：
①△𝑂𝐷𝐵与△𝑂𝐴𝐶面积相等； ②𝑃𝐴与𝑃𝐵始终相等；
③四边形𝑃𝐴𝑂𝐵的面积大小不会发生变化； ④𝐶𝐴=3𝑃𝐴．
其中正确的结论是( )
1
1
A.①②③ 二、填空题
已知△𝐴𝐵𝐶的内角满足|√3tan𝐴−3|+√√2cos𝐵−1=0，则∠𝐶=________度.
已知函数𝑦=(𝑚−2)𝑥𝑚的值是________.
若𝑚，𝑛是方程𝑥2+𝑥−1=0的两个不同实数根，则𝑚2+2𝑚+𝑛的值为_________.
如图，某单位院内有一块长92𝑚，宽60𝑚的长方形花园，计划在花园内修两条纵向平行和—条横向弯折的道路（所有道路的进出口宽度都相等，且每段道路的对边互相平行），其余的地方种植花草．已知种植花草的面积为600𝑚2，设道路进出口的宽度为𝑥𝑚，根据条件，可列出方程________.
2−10
B.②③④ C.①③④ D.①②④
是反比例函数，且当𝑥<0时，𝑦随𝑥的增大而减小，则𝑚
试卷第3页，总25页
如图，点𝐶在线段𝐴𝐵上，且𝐴𝐶=2𝐵𝐶，分别以𝐴𝐶，𝐵𝐶为边在线段𝐴𝐵的同侧作正方形𝐴𝐶𝐷𝐸，𝐵𝐶𝐹𝐺，连接𝐸𝐶，𝐸𝐺，则tan∠𝐶𝐸𝐺=________．
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=9，𝐴𝐶=6．点𝑀在边𝐴𝐵上，且𝐴𝑀=3，点𝑁在𝐴𝐶边上．当𝐴𝑁=________时，△𝐴𝑀𝑁与原三角形相似．
如图，在平面直角坐标系中，点𝐴在第二象限内，点𝐵在𝑥轴上，∠𝐴𝑂𝐵=30∘，𝐴𝐵=𝐵𝑂，反比例函数𝑦=(𝑥<0)的图象经过点𝐴，若𝑆△𝐴𝐵𝑂=√3，则𝑘的值为________．
𝑥𝑘
如图所示，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=√5，𝐸为𝐶𝐷边上一点，将△𝐵𝐶𝐸沿𝐵𝐸折叠，使得𝐶落到矩形内点𝐹的位置，连接𝐴𝐹，若tan∠𝐵𝐴𝐹=2，则𝐶𝐸=________．
1
三、解答题
计算：sin245∘−√27+2(√3−2020)+3cos30∘.
用适当的方法解下列方程： (1)3𝑥(2𝑥+1)=2𝑥+1；
试卷第4页，总25页
0
(2)2𝑥2+7𝑥−4=0.
某兴趣小组为了测量大楼𝐶𝐷的高度，先沿着斜坡𝐴𝐵走了52米到达坡顶点𝐵处，然后在点𝐵处测得大楼顶点𝐶的仰角为53∘，已知斜坡𝐴𝐵的坡度为𝑖=1:2.4，点𝐴到大楼的距离𝐴𝐷为72米，求大楼的高度𝐶𝐷．
（参考数据：sin53∘≈5，cos53∘≈5，tan53∘≈3）
4
3
4
关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2−(2𝑚−3)𝑥+(𝑚−1)=0有两个实数根． (1)求𝑚的取值范围；
(2)若𝑚为正整数，求此时方程的根．
商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“春节”，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出4件．
(1)如果平均每天销售这种童装上的盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
(2)当盈利最多时，每件童装应降价多少元？
如图，在直角坐标系中，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于𝐴(−2,1),𝐵(1,𝑛)两点．
𝑚
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
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(2)求△𝐴𝑂𝐵的面积；
如图，等边△𝐴𝐵𝐶的边长为3，𝑃为𝐵𝐶上一点，且𝐵𝑃=1，𝐷为𝐴𝐶上一点，∠𝐴𝑃𝐷=60∘.
(1)求𝐶𝐷的长；
(2)𝑃𝐷可以垂直𝐴𝐶吗？如果不可以，请说明理由，如果可以，请求出𝐵𝑃的长.
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4，点𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐵，𝐴𝐷上，且∠𝐸𝐶𝐹=45∘，𝐶𝐹的延长线交𝐵𝐴的延长线于点𝐺，𝐶𝐸的延长线交𝐷𝐴的延长线于点𝐻，连接𝐴𝐶，𝐸𝐹，𝐺𝐻.
备用图 (1)填空：∠𝐴𝐻𝐶________∠𝐴𝐶𝐺；(填“>”或“<”或“=”)
(2)线段𝐴𝐶，𝐴𝐺，𝐴𝐻之间有什么关系？请说明理由；
(3)设𝐴𝐸=𝑚，
①△𝐴𝐺𝐻的面积𝑆有变化吗？如果变化，请求出𝑆与𝑚的函数关系式；如果不变化，请求出定值；
②请直接写出使△𝐶𝐺𝐻是等腰三角形的𝑚值．
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参与试题解析
2021-2022学年湖南省邵东市邵东县两市某校初三（上）期中考
试数学试卷
一、选择题 1. 【答案】 D
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数的性质 【解析】
先根据点的坐标求出𝑘值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【解答】
解：∵ 图象过(2, −1)， ∴ 𝑘=𝑥𝑦=−2<0，
∴ 函数图象位于第二，四象限． 故选𝐷． 2. 【答案】 C
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】
设该商品平均每次降价的百分率为𝑥，根据降价后的价格=降价前的价格（1−降价的百分率），则第一次降价后的价格是100(1−𝑥)，第二次后的价格是100(1−𝑥)2，据此即可列方程求解． 【解答】
解：根据题意得：100(1−𝑥)2=90． 故选𝐶． 3. 【答案】 C
【考点】
相似三角形的应用 【解析】
根据题意得出△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐸，再利用相似三角形的性质得出答案． 【解答】
试卷第7页，总25页
解：如图所示：由题意可得，𝐶𝐷 // 𝐵𝐸，
则△𝐴𝐶𝐷∼△𝐴𝐵𝐸， 故𝐴𝐵=𝐵𝐸， 即3.2+0.8=𝐵𝐸， 解得：𝐵𝐸=8𝑚． 故选𝐶． 4. 【答案】 D
【考点】
平行线分线段成比例 【解析】
根据平行线分线段成比例定理，根据题意直接列出比例等式，对比选项即可得出答案． 【解答】
解：∵ 𝐷𝐶 // 𝐹𝐸 // 𝐴𝐵，
∴ 𝑂𝐷:𝑂𝐸=𝑂𝐶:𝑂𝐹（𝐴错误）； 𝑂𝐹:𝑂𝐸=𝑂𝐶:𝑂𝐷（𝐵错误）； 𝑂𝐴:𝑂𝐶=𝑂𝐵:𝑂𝐷（𝐶错误）； 𝐶𝐷:𝐸𝐹=𝑂𝐷:𝑂𝐸（𝐷正确）． 故选𝐷. 5. 【答案】 D
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法 一元二次方程的一般形式 【解析】
根据解一元二次方程的方法、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式对各选项依次进行判断即可解答． 【解答】
解：𝐴，方程𝑥2=9𝑥的解是𝑥1=9，𝑥2=0，故本选项错误；
𝐵，方程(𝑥+1)(𝑥−1)=1的解是𝑥=±√2，故本选项错误； 𝐶，2𝑥2−3𝑥不是等式，所以不是方程，故本选项错误；
𝐷，6𝑥2−1=3𝑥移项得6𝑥2−3𝑥−1=0，一次项是−3𝑥，故本选项正确． 故选𝐷． 6. 【答案】
试卷第8页，总25页
0.8
1.6
𝐴𝐶
𝐶𝐷
C
【考点】
作图-位似变换 位似的性质 相似三角形的判定 【解析】
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案． 【解答】
解：∵ 以点𝑂为位似中心，把△𝐴𝐵𝐶放大为原图形的2倍得到△𝐴′𝐵′𝐶′， ∴ △𝐴𝐵𝐶∼△𝐴′𝐵′𝐶′，𝐴正确；
∴ 点𝐶，点𝑂，点𝐶′三点在同一直线上，𝐵正确； ∴ 𝐴𝑂:𝑂𝐴′=1:2，𝐶错误; ∴ 𝐴𝐵 // 𝐴′𝐵′，𝐷正确. 故选𝐶． 7. 【答案】 A
【考点】
锐角三角函数的定义 【解析】
利用锐角三角函数的定义求解． 【解答】
解：∵ 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘， ∴ cos𝐴=𝑐，tan𝐵=𝑎，𝑎2+𝑏2=𝑐2. ∵ cos𝐴=3，设𝑏=2𝑥， 则𝑐=3𝑥，𝑎=√5𝑥， ∴ tan𝐵=故选𝐴. 8. 【答案】 C
【考点】
一次函数与一元一次不等式（组） 反比例函数与一次函数的综合 【解析】
一次函数𝑦1=𝑘𝑥+𝑏落在与反比例函数𝑦2=𝑥图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【解答】
𝑐
2𝑥√2𝑏
𝑏
=5𝑥2√5． 5
试卷第9页，总25页
解：∵ 一次函数𝑦1=𝑘𝑥+𝑏与反比例函数𝑦2=的图象
𝑥𝑐
相交于𝐴(−3, −2)，𝐵(2, 3)两点， ∴ 由图象可得，不等式𝑦1>𝑦2，
即𝑦1图象在𝑦2上方的解集是−3<𝑥<0或𝑥>2． 故选𝐶. 9. 【答案】 C
【考点】
相似三角形的性质与判定 【解析】
证明△𝐴𝐶𝐷∽△𝐵𝐶𝐴，根据相似三角形的性质求出△𝐵𝐶𝐴的面积为4𝑎，计算即可． 【解答】
解：∵ ∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐴， ∴ △𝐴𝐶𝐷∼△𝐵𝐶𝐴， ∴ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=(𝐵𝐶)2，即𝑆
△𝐵𝐶𝐴
𝑆𝐴𝐶𝑎
△𝐵𝐶𝐴
=4，
1
解得，△𝐵𝐶𝐴的面积为4𝑎，
∴ △𝐴𝐵𝐷的面积为：4𝑎−𝑎=3𝑎. 故选𝐶. 10. 【答案】 C
【考点】
反比例函数系数k的几何意义 三角形的面积 【解析】
由于点𝑃在𝑦=𝑥上，点𝐴、𝐵在𝑦=𝑥上，根据反比例函数系数𝑘的几何意义，对各结论进行判断． 【解答】
解：①由于点𝐴，点𝐵在同一反比例函数图象上，则△𝑂𝐷𝐵与△𝑂𝐶𝐴的面积相等，都为2，故①正确；
②只有当四边形𝑂𝐶𝑃𝐷为正方形时，满足𝑃𝐴=𝑃𝐵，故②错误；
③由于矩形𝑂𝐶𝑃𝐷，三角形𝑂𝐷𝐵，三角形𝑂𝐶𝐴的面积均为定值，则四边形𝑃𝐴𝑂𝐵的面积不会发生变化，故③正确； ④∵ 𝑆△𝑂𝑃𝐴:𝑆△𝑂𝐴𝐶=2:2=3:1， ∴ (2𝑃𝐴⋅𝑂𝐶)：(2𝐴𝐶⋅𝑂𝐶)=3:1， ∴ 𝑃𝐴:𝐴𝐶=3， ∴ 𝐶𝐴=3𝑃𝐴，故④正确.
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11
1
31
1
4
1
综上，一定正确的是①③④． 故选𝐶. 二、填空题 【答案】 75
【考点】
三角形内角和定理 非负数的性质：绝对值 特殊角的三角函数值 非负数的性质：算术平方根 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：∵ 在△𝐴𝐵𝐶中，|√3tan𝐴−3|+√√2cos𝐵−1=0， ∴ √3tan𝐴=3，√2cos𝐵=1， 即tan𝐴=√3，cos𝐵=
√2， 2
∴ ∠𝐴=60∘，∠𝐵=45∘. ∵ ∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180∘， ∴ ∠𝐶=75∘. 故答案为：75. 【答案】 3
【考点】
反比例函数的性质 反比例函数的定义 【解析】
根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍． 【解答】
𝑚2−10=−1,
解：根据题意得：{
𝑚−2>0,𝑚=±3,
解得：{
𝑚>2,∴ 𝑚=3． 故答案为：3． 【答案】 0
【考点】 列代数式求值 根与系数的关系 【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系可得出答案 【解答】
试卷第11页，总25页
解：∵ 𝑚，𝑛是方程𝑥2+𝑥−1=0的两个不同实数根， ∴ 𝑚+𝑛=−1.
将𝑚代入方程可得，𝑚2+𝑚=1，
∴ 𝑚2+2𝑚+𝑛=(𝑚2+𝑚)+(𝑚+𝑛)=1−1=0. 故答案为：0. 【答案】
(92−2𝑥)(60−𝑥)=600 【考点】
一元二次方程的应用 【解析】
设小道的进出口宽度为𝑥米，然后利用其种植花草的面积为600平方米列出方程求解即可． 【解答】
解：设道路进出口的宽度为𝑥𝑚，依题意得： (92−2𝑥)(60−𝑥)=600.
故答案为：(92−2𝑥)(60−𝑥)=600. 【答案】 1 2【考点】 正方形的性质
锐角三角函数的定义 【解析】
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解答】
解：连接𝐶𝐺，如图，
在正方形𝐴𝐶𝐷𝐸，𝐵𝐶𝐹𝐺中， ∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐺𝐶𝐵=45∘， ∴ ∠𝐸𝐶𝐺=90∘. 设𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=1， ∴ 𝐶𝐸=2√2，𝐶𝐺=√2， ∴ tan∠𝐺𝐸𝐶=𝐸𝐶=2. 故答案为：2. 【答案】 2或4.5 【考点】
试卷第12页，总25页
1
𝐶𝐺
1
相似三角形的判定 【解析】
分别从△𝐴𝑀𝑁∽△𝐴𝐵𝐶或△𝐴𝑀𝑁∽△𝐴𝐶𝐵去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【解答】
解：由题意可知，𝐴𝐵=9，𝐴𝐶=6，𝐴𝑀=3， ①若△𝐴𝑀𝑁∼△𝐴𝐵𝐶， 则𝐴𝐵=即9=
3𝐴𝑀
𝐴𝑁𝐴𝐶
，
𝐴𝑁6
，
解得：𝐴𝑁=2；
②若△𝐴𝑀𝑁∼△𝐴𝐶𝐵， 则𝐴𝐶=𝐴𝐵， 即=
63
𝐴𝑁9𝐴𝑀
𝐴𝑁
，
解得：𝐴𝑁=4.5. 故答案为：2或4.5． 【答案】 −3√3
【考点】 三角形的面积
解一元二次方程-因式分解法 勾股定理
待定系数法求反比例函数解析式 含30度角的直角三角形 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，如图所示．
∵ ∠𝐴𝑂𝐵=30∘，𝐴𝐵=𝐵𝑂， ∴ 设𝐴𝐵=𝐵𝑂=2𝑎.
∴ ∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝑂𝐵+∠𝑂𝐴𝐵=60∘. ∵ 𝐴𝐷⊥𝑥轴，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵=90∘，∠𝐵𝐴𝐷=90∘−60∘=30∘. ∴ 𝐵𝐷=𝑎，勾股定理得𝐴𝐷=√3𝑎.
试卷第13页，总25页
∴ 点𝐴(−3𝑎,√3𝑎).
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝑂=𝑂𝐵⋅𝐴𝐷=√3，
21
∴ 2×2𝑎×√3𝑎=√3， 解得𝑎=1或𝑎=−1(舍去). ∴ 点𝐴的坐标为(−3,√3)， ∴ 𝑘=−3√3. 故答案为：−3√3． 【答案】 5−√5 2【考点】
相似三角形的性质 解直角三角形 矩形的性质
翻折变换（折叠问题） 【解析】
已知tan∠𝐵𝐴𝐹=2，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出𝐹𝑀、𝐵𝑀，进而求出𝐹𝑁，再利用三角形相似和折叠的性质求出𝐸𝐶． 【解答】
解：过点𝐹作𝑀𝑁 // 𝐴𝐷，交𝐴𝐵，𝐶𝐷分别于点𝑀，𝑁，如图所示，
1
1
则𝑀𝑁⊥𝐴𝐵，𝑀𝑁⊥𝐶𝐷，
由折叠得：𝐸𝐶=𝐸𝐹，𝐵𝐶=𝐵𝐹=√5，∠𝐶=∠𝐵𝐹𝐸=90∘， ∵ tan∠𝐵𝐴𝐹=2=𝐴𝑀，
设𝐹𝑀=𝑥，则𝐴𝑀=2𝑥，𝐵𝑀=4−2𝑥， 在𝑅𝑡△𝐵𝐹𝑀中，由勾股定理得： 𝑥2+(4−2𝑥)2=(√5)2， 解得：𝑥1=1，𝑥2=
115
1
𝐹𝑀
>2舍去，
∴ 𝐹𝑀=1，𝐴𝑀=𝐵𝑀=2， ∴ 𝐹𝑁=√5−1， 易证△𝐵𝑀𝐹∼△𝐹𝑁𝐸， ∴ 𝐸𝐹=
𝐵𝐹
𝐵𝑀
，即：𝐸𝐹=𝐹𝑁
√52√5−1，
试卷第14页，总25页
解得：𝐶𝐸=𝐸𝐹=故答案为：
三、解答题 【答案】
解：sin245∘−√27+2(√3−2020)+3cos30∘ √2√3=()−3√3+2×1+3×
22=
13√3−3√3+2+ 225
3√3. 22
0
5−√52
5−√52
．
.
=2−
【考点】
特殊角的三角函数值 二次根式的混合运算 零指数幂、负整数指数幂 【解析】
(1)利用特殊角的三角函数值，根式的运算和零指数幂的运算求解即可； 【解答】
解：sin245∘−√27+2(√3−2020)+3cos30∘ √2√3=()−3√3+2×1+3×
22=
13√3−3√3+2+ 225
3√3. 22
0
=2−
【答案】
解：(1)原方程变形为6𝑥2+𝑥−1=0，
(3𝑥−1)(2𝑥+1)=0， 解得：𝑥1=，𝑥2=−. 3
2
1
1
(2)原方程变形为(2𝑥−1)(𝑥+4)=0， 解得𝑥1=2，𝑥2=−4. 【考点】
解一元二次方程-因式分解法 【解析】
将原方程变形，在因式分解为(3𝑥−1)(2𝑥+1)=0，可得解. 将原方程因式分解为(2𝑥−1)(𝑥+4)=0，可得解.
试卷第15页，总25页
1
【解答】
解：(1)原方程变形为6𝑥2+𝑥−1=0， (3𝑥−1)(2𝑥+1)=0， 解得：𝑥1=，𝑥2=−. 3
2
1
1
(2)原方程变形为(2𝑥−1)(𝑥+4)=0， 解得𝑥1=2，𝑥2=−4. 【答案】
解：如图，过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐸，𝐵𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，
1
∵ 𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，
∴ 四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是矩形， ∴ 𝐹𝐷=𝐵𝐸，𝐹𝐵=𝐷𝐸，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，𝐵𝐸:𝐴𝐸=1:2.4=5:12， 设𝐵𝐸=5𝑥，𝐴𝐸=12𝑥， 根据勾股定理，得 𝐴𝐵=13𝑥， ∴ 13𝑥=52， 解得𝑥=4，
∴ 𝐵𝐸=𝐹𝐷=5𝑥=20， 𝐴𝐸=12𝑥=48，
∴ 𝐷𝐸=𝐹𝐵=𝐴𝐷−𝐴𝐸=72−48=24，
∴ 在𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐹中，𝐶𝐹=𝐹𝐵×tan∠𝐶𝐵𝐹≈24×3≈32， ∴ 𝐶𝐷=𝐹𝐷+𝐶𝐹=20+32=52（米）． 【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【解析】
如图，过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐷，𝐵𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，可得四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是矩形，根据斜坡𝐴𝐵的坡度为𝑖＝1:2.4，利用勾股定理可得𝑥的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度𝐶𝐷． 【解答】
4
试卷第16页，总25页
解：如图，过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐸，𝐵𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，
∵ 𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，
∴ 四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是矩形， ∴ 𝐹𝐷=𝐵𝐸，𝐹𝐵=𝐷𝐸，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，𝐵𝐸:𝐴𝐸=1:2.4=5:12， 设𝐵𝐸=5𝑥，𝐴𝐸=12𝑥， 根据勾股定理，得 𝐴𝐵=13𝑥， ∴ 13𝑥=52， 解得𝑥=4，
∴ 𝐵𝐸=𝐹𝐷=5𝑥=20， 𝐴𝐸=12𝑥=48，
∴ 𝐷𝐸=𝐹𝐵=𝐴𝐷−𝐴𝐸=72−48=24，
∴ 在𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐹中，𝐶𝐹=𝐹𝐵×tan∠𝐶𝐵𝐹≈24×3≈32， ∴ 𝐶𝐷=𝐹𝐷+𝐶𝐹=20+32=52（米）． 【答案】
解：(1)根据题意得𝑚≠0且𝛥=(2𝑚−3)2−4𝑚(𝑚−1)≥0， 解得𝑚≤且𝑚≠0；
4
(2)∵ 𝑚为正整数， ∴ 𝑚=1，
∴ 原方程变形为𝑥2+𝑥=0， 解得𝑥1=0，𝑥2=−1． 【考点】 根的判别式
解一元二次方程-因式分解法 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)根据题意得𝑚≠0且𝛥=(2𝑚−3)2−4𝑚(𝑚−1)≥0， 解得𝑚≤8且𝑚≠0；
(2)∵ 𝑚为正整数， ∴ 𝑚=1，
∴ 原方程变形为𝑥2+𝑥=0， 解得𝑥1=0，𝑥2=−1． 【答案】
9
试卷第17页，总25页
解：(1)设每件童装应降价𝑥元， 根据题意，列方程得： (20+2𝑥)(40−𝑥)=1200， 解得：𝑥1=10，𝑥2=20． 因为要减少库存，故𝑥=20. 答：每件童装应降价20元．
(2)设盈利为𝑦元，每件童装应降价𝑡元， 根据题意，得：
𝑦=(20+2𝑡)(40−𝑡)=−2(𝑡−15)2+1250． ∵ (𝑡−15)2≥0， ∴ −2(𝑡−15)2≤0，
∴ −2(𝑡−15)2+1250≤1250， ∴ 当𝑡=15时，𝑦有最大值是1250．
答：要想盈利最多，每件童装应降价15元． 【考点】
一元二次方程的应用——利润问题 由实际问题抽象出一元二次方程 非负数的性质：偶次方 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)设每件童装应降价𝑥元， 根据题意，列方程得： (20+2𝑥)(40−𝑥)=1200， 解得：𝑥1=10，𝑥2=20． 因为要减少库存，故𝑥=20. 答：每件童装应降价20元．
(2)设盈利为𝑦元，每件童装应降价𝑡元， 根据题意，得：
𝑦=(20+2𝑡)(40−𝑡)=−2(𝑡−15)2+1250． ∵ (𝑡−15)2≥0， ∴ −2(𝑡−15)2≤0，
∴ −2(𝑡−15)2+1250≤1250， ∴ 当𝑡=15时，𝑦有最大值是1250．
答：要想盈利最多，每件童装应降价15元． 【答案】
解：(1)∵ 点𝐴(−2,1)，
∴ 𝑚=𝑥𝑦=−2×1=−2， ∴ 𝑦=−𝑥．
在𝑦=−𝑥中，当𝑥=1时，𝑦=−2， ∴ 点𝐵(1,−2)，
2244
试卷第18页，总25页
1=−2𝑘+𝑏，𝑘=−1，∴ {解得：{
−2=𝑘+𝑏，𝑏=−1，∴ 𝑦=−𝑥−1．
(2)如图，分别过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝑦轴，点𝐵作𝐵𝑁⊥𝑦轴，
∵ 点𝐴(−2,1)，∴ 𝐴𝑀=2， ∵ 点𝐵(1,−2)，∴ 𝐵𝑁=1， 设一次函数与𝑦轴交点为点𝐺， 在𝑦=−𝑥−1中，
当𝑥=0时，𝑦=−1，∴ 𝑂𝐺=1， ∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐺+𝑆△𝐵𝑂𝐺 =
11
×𝑂𝐺×𝐴𝑀+×𝑂𝐺×𝐵𝑁 2212
12
32
=×1×2+×1×1=． 【考点】
待定系数法求反比例函数解析式 待定系数法求一次函数解析式 三角形的面积
反比例函数与一次函数的综合 【解析】
左侧图片未给出解析 左侧图片未给出解析 【解答】
解：(1)∵ 点𝐴(−2,1)，
∴ 𝑚=𝑥𝑦=−2×1=−2， ∴ 𝑦=−𝑥．
在𝑦=−𝑥中，当𝑥=1时，𝑦=−2，
试卷第19页，总25页
22
∴ 点𝐵(1,−2)，
1=−2𝑘+𝑏，𝑘=−1，∴ {解得：{
−2=𝑘+𝑏，𝑏=−1，∴ 𝑦=−𝑥−1．
(2)如图，分别过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝑦轴，点𝐵作𝐵𝑁⊥𝑦轴，
∵ 点𝐴(−2,1)，∴ 𝐴𝑀=2， ∵ 点𝐵(1,−2)，∴ 𝐵𝑁=1， 设一次函数与𝑦轴交点为点𝐺， 在𝑦=−𝑥−1中，
当𝑥=0时，𝑦=−1，∴ 𝑂𝐺=1， ∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐺+𝑆△𝐵𝑂𝐺 =
11
×𝑂𝐺×𝐴𝑀+×𝑂𝐺×𝐵𝑁 221
1
3
=2×1×2+2×1×1=2． 【答案】
解：(1)∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ ∠𝐵=∠𝐶=60∘.
∵ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐴𝐶+∠𝐶，
∠𝑃𝐷𝐶=∠𝑃𝐴𝐶+∠𝐴𝑃𝐷，∠𝐴𝑃𝐷=60∘，
∴ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐴𝐶+60∘, ∠𝑃𝐷𝐶=∠𝑃𝐴𝐶+60∘， ∴ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐷𝐶， 又∵ ∠𝐵=∠𝐶=60∘， ∴ △𝐴𝐵𝑃∼△𝑃𝐶𝐷， ∴ 𝑃𝐶=𝐶𝐷， 即2=𝐶𝐷， ∴ 𝐶𝐷=3.
试卷第20页，总25页
2
3
1𝐴𝐵
𝐵𝑃
(2)可以.
当𝑃𝐷⊥𝐴𝐶时，∠𝑃𝐷𝐶=90∘, ∵ △𝐴𝐵𝑃∼△𝑃𝐶𝐷，
∴ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐷𝐶=90∘， ∴ 𝐴𝑃⊥𝐵𝐶.
∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴ 𝐵𝑃=2𝐵𝐶=2. 【考点】
等边三角形的性质
相似三角形的性质与判定 相似三角形的性质 【解析】
根据相似三角形的判定定理求出△𝐴𝐵𝑃∼𝑃𝐶𝐷，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答．
根据相似三角形的性质得出∠𝐴𝑃𝐵=90∘,根据等边三角形的性质得出𝐵𝑃=𝐵𝐶,即可解
21
1
3
答. 【解答】
解：(1)∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ ∠𝐵=∠𝐶=60∘.
∵ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐴𝐶+∠𝐶，
∠𝑃𝐷𝐶=∠𝑃𝐴𝐶+∠𝐴𝑃𝐷，∠𝐴𝑃𝐷=60∘，
∴ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐴𝐶+60∘, ∠𝑃𝐷𝐶=∠𝑃𝐴𝐶+60∘， ∴ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐷𝐶， 又∵ ∠𝐵=∠𝐶=60∘， ∴ △𝐴𝐵𝑃∼△𝑃𝐶𝐷， ∴
3𝐴𝐵𝑃𝐶
=
1
𝐵𝑃𝐶𝐷
，
即2=𝐶𝐷， ∴ 𝐶𝐷=.
32
(2)可以.
当𝑃𝐷⊥𝐴𝐶时，∠𝑃𝐷𝐶=90∘, ∵ △𝐴𝐵𝑃∼△𝑃𝐶𝐷，
∴ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐷𝐶=90∘， ∴ 𝐴𝑃⊥𝐵𝐶.
∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴ 𝐵𝑃=2𝐵𝐶=2. 【答案】 =
(2)𝐴𝐶2=𝐴𝐺⋅𝐴𝐻．
理由：∵ ∠𝐴𝐻𝐶=∠𝐴𝐶𝐺，∠𝐶𝐴𝐻=∠𝐶𝐴𝐺=135∘， ∴ △𝐴𝐻𝐶∼△𝐴𝐶𝐺，
试卷第21页，总25页
1
3
∴
𝐴𝐻𝐴𝐶
=
𝐴𝐶𝐴𝐺
，
∴ 𝐴𝐶2=𝐴𝐺⋅𝐴𝐻.
(3)①△𝐴𝐺𝐻的面积不变．
理由：∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴ 𝐴𝐵=𝐶𝐵=𝐶𝐷=𝐷𝐴=4，∠𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=90∘， ∴ 𝐴𝐶=√42+42=4√2. ∵ 𝑆△𝐴𝐺𝐻=2⋅𝐴𝐻⋅𝐴𝐺=2𝐴𝐶2 =2×(4√2)2=16，
∴ △𝐴𝐺𝐻的面积为16．
②如图1中，当𝐺𝐶=𝐺𝐻时，易证△𝐴𝐻𝐺≅△𝐵𝐺𝐶，
1
1
1
可得𝐴𝐺=𝐵𝐶=4，𝐴𝐻=𝐵𝐺=8. ∵ 𝐵𝐶 // 𝐴𝐻， ∴ 𝐴𝐻=𝐴𝐸=2， ∴ 𝐴𝐸=3𝐴𝐵=3． 如图2中，当𝐶𝐻=𝐻𝐺时，
2
8
𝐵𝐶
𝐵𝐸
1
易证𝐴𝐻=𝐵𝐶=4， ∵ 𝐵𝐶 // 𝐴𝐻， ∴ 𝐴𝐸=𝐴𝐻=1，
∴ 𝐴𝐸=𝐵𝐸=2．
如图3中，当𝐶𝐺=𝐶𝐻时，易证∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐹=22.5∘．
𝐵𝐸
𝐵𝐶
试卷第22页，总25页
在𝐵𝐶上取一点𝑀，使得𝐵𝑀=𝐵𝐸， ∴ ∠𝐵𝑀𝐸=∠𝐵𝐸𝑀=45∘. ∵ ∠𝐵𝑀𝐸=∠𝑀𝐶𝐸+∠𝑀𝐸𝐶， ∴ ∠𝑀𝐶𝐸=∠𝑀𝐸𝐶=22.5∘，
∴ 𝐶𝑀=𝐸𝑀，设𝐵𝑀=𝐵𝐸=𝑥，则𝐶𝑀=𝐸𝑀=√2𝑥， ∴ 𝑥+√2𝑥=4， ∴ 𝑥=4(√2−1)，
∴ 𝐴𝐸=4−4(√2−1)=8−4√2.
综上所述，满足条件的𝑚的值为3或2或8−4√2． 【考点】
相似三角形的性质与判定 三角形的外角性质 平行线分线段成比例 正方形的性质
等腰三角形的判定与性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形， ∴ 𝐴𝐵=𝐶𝐵=𝐶𝐷=𝐷𝐴=4，
∠𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=90∘，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=45∘， ∵ ∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐻𝐶+∠𝐴𝐶𝐻=45∘， ∠𝐴𝐶𝐻+∠𝐴𝐶𝐺=∠𝐸𝐶𝐹=45∘， ∴ ∠𝐴𝐻𝐶=∠𝐴𝐶𝐺. 故答案为：=.
(2)𝐴𝐶2=𝐴𝐺⋅𝐴𝐻．
理由：∵ ∠𝐴𝐻𝐶=∠𝐴𝐶𝐺，∠𝐶𝐴𝐻=∠𝐶𝐴𝐺=135∘， ∴ △𝐴𝐻𝐶∼△𝐴𝐶𝐺， ∴ 𝐴𝐶=𝐴𝐺， ∴ 𝐴𝐶2=𝐴𝐺⋅𝐴𝐻.
(3)①△𝐴𝐺𝐻的面积不变．
理由：∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴ 𝐴𝐵=𝐶𝐵=𝐶𝐷=𝐷𝐴=4，∠𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=90∘，
试卷第23页，总25页
𝐴𝐻
𝐴𝐶
8
∴ 𝐴𝐶=√42+42=4√2. ∵ 𝑆△𝐴𝐺𝐻=⋅𝐴𝐻⋅𝐴𝐺=𝐴𝐶2
2
2
1
1
=2×(4√2)2=16，
∴ △𝐴𝐺𝐻的面积为16．
②如图1中，当𝐺𝐶=𝐺𝐻时，易证△𝐴𝐻𝐺≅△𝐵𝐺𝐶，
1
可得𝐴𝐺=𝐵𝐶=4，𝐴𝐻=𝐵𝐺=8. ∵ 𝐵𝐶 // 𝐴𝐻， ∴ 𝐴𝐻=𝐴𝐸=2， ∴ 𝐴𝐸=3𝐴𝐵=3． 如图2中，当𝐶𝐻=𝐻𝐺时，
2
8
𝐵𝐶
𝐵𝐸
1
易证𝐴𝐻=𝐵𝐶=4， ∵ 𝐵𝐶 // 𝐴𝐻， ∴ 𝐴𝐸=𝐴𝐻=1，
∴ 𝐴𝐸=𝐵𝐸=2．
如图3中，当𝐶𝐺=𝐶𝐻时，易证∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐹=22.5∘．
𝐵𝐸
𝐵𝐶
试卷第24页，总25页
在𝐵𝐶上取一点𝑀，使得𝐵𝑀=𝐵𝐸， ∴ ∠𝐵𝑀𝐸=∠𝐵𝐸𝑀=45∘. ∵ ∠𝐵𝑀𝐸=∠𝑀𝐶𝐸+∠𝑀𝐸𝐶， ∴ ∠𝑀𝐶𝐸=∠𝑀𝐸𝐶=22.5∘，
∴ 𝐶𝑀=𝐸𝑀，设𝐵𝑀=𝐵𝐸=𝑥，则𝐶𝑀=𝐸𝑀=√2𝑥， ∴ 𝑥+√2𝑥=4， ∴ 𝑥=4(√2−1)，
∴ 𝐴𝐸=4−4(√2−1)=8−4√2.
综上所述，满足条件的𝑚的值为3或2或8−4√2．
8
试卷第25页，总25页
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