【中考冲刺】弦切角定理
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【中考冲刺】弦切角定理
一、选择题（共5小题） 1．（2004•威海）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 2．（2010•）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，∠B=60°，则
的度数为何（ ）
50° 60° 100° 120° A． B． C． D． 3．（2005•天津）如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B=60°，则∠CAD等于（ ）
30° 60° 90° 120° A． B． C． D． 4．（2004•丽水）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的切线，点A为切点，∠ACB=60°，则∠DAB的度数是（ ）
30° 45° 60° 120° A． B． C． D． 5．（2002•佛山）如图，直线AB切⊙O于点A，割线BDC交⊙O于点D、C．若∠C=30°，∠B=20°，则∠ADC=（ ）
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70° 50° 30° 20° A． B． C． D．
二、填空题（共9小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2001•无锡）如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠B= _________ 度，∠ADC= _________ 度．
7．（2003•内蒙古）如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是度．
上一点，∠PDA=20°，则∠C的度数是 _________
8．（2002•无锡）如图，四边形ABED内接于⊙O，E是AD延长线上的一点，若∠AOC=122°，则∠B= _________ 度，∠EDC= _________ 度．
9．（2002•太原）如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为 _________ 度．
10．（2002•常州）如图，AB为⊙O直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB=12cm，∠B=30°，则∠ECB= _________ 度；CD= _________ cm．
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11．（1998•台州）如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB=58°，则∠C的度数是 _________ 度．
12．（1998•金华）如图，EF切△ABC的外接圆于C，∠BAC=80°，那么∠BCE= _________ 度．
13．（2010•茂名）如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB=2，弦AC=1，则∠CAD= _________ 度．
14．（2003•青岛）如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC=100°，∠BCT=40°，则∠AOB= _________ 度．
三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷） 15．（2004•宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R． （Ⅰ）求证：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长．
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【中考冲刺】弦切角定理
参与试题解析
一、选择题（共5小题） 1．（2004•威海）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 弦切角定理；圆周角定理． 专题： 计算题．
分析： 由弦切角定理圆周角定理得∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B，再由AB为直径，得∠ACB=90°，则∠B、
∠D、∠ACM，都是∠BCN的余角．
解答： 解：∵直线MN切⊙O于C点，
∴∠BCN=∠BAC，∠ACM=∠D=∠B， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，∠B+∠BCN=90°，∠D+∠BCN=90°． 故选C．
点评： 本题考查了弦切角定理圆周角定理，是基础知识要熟练掌握． 2．（2010•）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，
∠B=60°，则的度数为何（ ）
50° 60° 100° 120° A． B． C． D．
考点： 弦切角定理；圆周角定理．
分析： 本题首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进
行求解．
解答： 解：∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴
的度数=2∠C=100°．
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故选C．
点评： 此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理． 3．（2005•天津）如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B=60°，则∠CAD等于（ ）
30° 60° 90° 120° A． B． C． D．
考点： 弦切角定理．
分析： 由于弦切角∠DAC所夹弧的圆周角正好是∠B，因此可直接利用弦切角定理求解． 解答： 解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，
∴∠CAD=∠B=60°．（弦切角定理） 故选B．
点评： 本题主要考查弦切角定理的应用． 4．（2004•丽水）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的切线，点A为切点，∠ACB=60°，则∠DAB的度数是（ ）
A． 3 0° B．4 5° C．6 0° D．1 20°
考点： 弦切角定理．
分析： 此题直接利用弦切角定理即可得到∠DAB的度数． 解答： 解：∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAB=∠ACB=60°． 故选C．
点评： 本题考查了弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，此题比较简单． 5．（2002•佛山）如图，直线AB切⊙O于点A，割线BDC交⊙O于点D、C．若∠C=30°，∠B=20°，则∠ADC=（ ）
70° A．
考点： 弦切角定理．
50° B． 30° C． 20° D．
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分析： 根据弦切角定理求得∠BAD的度数，再根据三角形的外角的性质再进一步求解． 解答： 解：∵直线AB切⊙O于点A，
∴∠BAD=∠C=30°， ∴∠ADC=50°． 故选B．
点评： 此题综合运用了弦切角定理和三角形的外角的性质．
二、填空题（共9小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2001•无锡）如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠B= 40 度，∠ADC= 80 度．
考点： 弦切角定理．
分析： 根据弦切角定理得出∠B=∠DAC，再利用三角形的外角求出∠ADC=∠B+∠BAD即可得出答案． 解答： 解：∵AC是圆O的切线，∠DAC=40°，
∴∠B=40°，
∵∠BAC的平分线交圆O于D， ∴∠BAD=∠DAC=40°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80°， 故答案为：40，80．
点评： 此题主要考查了弦切角定理以及角平分线的性质和三角形的外角，熟练应用弦切角定理是解决问题的关键．
7．（2003•内蒙古）如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是度．
上一点，∠PDA=20°，则∠C的度数是 110
考点： 弦切角定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
分析： 根据圆内接四边形的性质可知，欲求∠C的度数，需求出∠BAD的度数；连接BD，在构建的直角三角形
中，根据弦切角定理可求出∠DBA的度数，由于∠DBA和∠BAD互余，即可求出∠BAD的度数，由此得解．
解答： 解：连接BD，则∠BDA=90°，
∵PD切⊙O于点D， ∴∠ADB=∠PDA=20°，
∴∠BAD=90°﹣∠ADB=90°﹣20°=70°； 又∵四边形ADCB是圆内接四边形， ∴∠C=180°﹣∠BAD=180°﹣70°=110°．
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点评： 解答此题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质及圆内接四边形的性质解答． 8．（2002•无锡）如图，四边形ABED内接于⊙O，E是AD延长线上的一点，若∠AOC=122°，则∠B= 61 度，∠EDC= 61 度．
考点： 弦切角定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
分析： 由于∠B、∠AOC是同弧所对的圆周角和圆心角，因此可根据圆周角定理求出∠B的度数，进而可利用圆
内接四边形的性质求出∠CDE的度数．
解答：
解：由圆周角定理得，∠B=∠AOC=61°，
∵四边形ADCB内接于⊙O， ∴∠EDC=∠B=61°．
点评： 本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． 9．（2002•太原）如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为 120 度．
考点： 弦切角定理；三角形内角和定理．
分析： 由弦切角定理可得∠DAC=∠B，因此∠B和∠BAD的和正好是∠BAC，即60°；因此△BAD中，由三角形
内角和定理，得：∠ADB=180°﹣（∠B+∠BAD）=180°﹣∠BAC=120°．
解答： 解：∵AC切⊙O于点A，
∴∠DAC=∠ABD； 又∠BAC=60°，
∴∠ABD+∠BAD=∠BAC=60°， ∴∠ADB=180°﹣60°=120°．
点评： 此题主要考查的是三角形的内角和定理及弦切角定理． 10．（2002•常州）如图，AB为⊙O直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB=12cm，∠B=30°，则∠ECB= 60 度；CD= cm．
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考点： 弦切角定理；圆周角定理．
分析： 由圆周角定理可知：∠ACB=90°，因此∠B和∠A互余，由此可求出∠A的度数；进而可根据弦切角定理求
得∠ECB的度数．
在Rt△ACB中，已知了∠B=30°，可根据AB的长求出BC的值，进而可在Rt△BCD中求出CD的长．
解答： 解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，∠A=60°；
由弦切角定理知，∠ECB=∠A=60°； 在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=12cm；
BC=AB•cos∠B=6cm；
在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=6cm； CD=BC•sin∠B=3cm． 故∠ECB=60°，CD=3cm．
点评： 本题考查了弦切角定理、圆周角定理、直角三角形的性质、解直角三角形的应用等知识． 11．（1998•台州）如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB=58°，则∠C的度数是 122 度．
考点： 弦切角定理；圆内接四边形的性质．
分析： 若要利用弦切角的度数，需构造圆周角．在优弧AB上任取一点D，连接AD、BD；根据弦切角定理，易
得∠D=∠PAC=58°；而四边形ACBD正好是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可求出∠C的度数．
解答： 解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD、BD；
∵PA与⊙O相切，切点为A， ∴∠D=∠PAB=58°，
∵四边形ACBD内接于⊙O， ∴∠C+∠D=180°，即∠C=122°．
点评： 此题综合考查了弦切角定理和圆内接四边形的性质．
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考点： 弦切角定理．
分析： 由于弦切角∠BCE所夹弧所对的圆周角正好是∠BAC，因此可直接利用弦切角定理求解． 解答： 解：∵EF切⊙O于点C，
∴∠BCE=∠BAC=80°．（弦切角定理）
点评： 本题主要考查弦切角定理的推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角． 13．（2010•茂名）如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB=2，弦AC=1，则∠CAD= 30 度．
考点： 弦切角定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
分析： 根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形ABC，从而根据锐角三角函数求得∠B的值，再根据弦切角
定理进行求解．
解答： 解：∵AB是圆的直径，
∴∠C=90°；
又AB=2，AC=1， ∴∠B=30°，
∵AD为⊙O的切线， ∴∠CAD=∠B=30°．
点评： 此题综合运用了圆周角定理的推论、锐角三角函数的知识和弦切角定理． 14．（2003•青岛）如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC=100°，∠BCT=40°，则∠AOB= 80 度．
考点： 弦切角定理；圆周角定理．
分析： 由圆周角定理知，欲求∠AOB，需求出∠ACB的度数；在△ABC中，已知∠ABC的度数，而根据弦切角
定理，可得出∠CAB的度数；再，由三角形内角和定理，可求出∠ACB的度数，由此得解．
解答： 解：∵CT切⊙O于C
∴∠BAC=∠BCT=40°；
在△ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=100°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣40°﹣100°=40°， ∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°．
点评： 此题考查的是三角形的内角和定理、圆周角及弦切角定理，是中学阶段的基本题目．
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三、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷） 15．（2004•宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R． （Ⅰ）求证：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长．
考点： 弦切角定理；相交弦定理． 专题： 计算题；证明题．
分析： （I）要证明RP=RQ，需要证明∠PQR=∠RPQ，连接OQ，则∠OQR=90°；根据OB=OQ，得∠B=∠OQB，
再根据等角的余角相等即可证明；
（II）延长AO交圆于点C，首先根据勾股定理求得BP的长，再根据相交弦定理求得QP的长即可．
解答： （Ⅰ）证法一：
连接OQ；
∵RQ是⊙O的切线， ∴∠OQB+∠BQR=90°． ∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°． 又∵OB=OQ， ∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ． ∴RP=RQ． 证法二：
作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径， ∴∠B+∠C=90°． ∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°． ∴∠C=∠BPO． 又∠BPO=∠RPQ， ∴∠C=∠RPQ．
又∵RQ为⊙O的切线， ∴∠PQR=∠C． ∴∠PQR=∠RPQ． ∴RP=RQ．
（Ⅱ）解法一： 作直径AC， ∵OP=PA=1， ∴PC=3．
由勾股定理，得BP==
由相交弦定理，得PQ•PB=PA•PC．
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即PQ×
∴PQ=
=1×3， ．
解法二：
作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F， 设RQ=RP=x；
由切割线定理，得：x2=（x﹣1），（x+3） 解得：x=，
又由△BPO∽△RPF得：
，
∴PF=，
．
由等腰三角形性质得：PQ=2PF=
点评： 本题考查了切线的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相交弦定理等知识的综合应用，考点较多，难度适中．
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