小学数学典型应用题
小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。
亲爱的同学们，你们很快就要成为中学生了，下面的这些问题是对你进入中学前的一次实 战检验，相信每位同学都能顺利通过这次检验.提醒你做题中一定要细心哦！
任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称 问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。
应用题可分为一般应用题与典型应用题。 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资
料主要研究以下 30 类典型应用题：
1、归一问题 2、归总问题 3、和差问题 4、和倍问题 5、差倍问题 6、倍比问题 7、相遇问题 8、追及问题 9、植树问题 10、年龄问题 11、行船问题 12、列车问题 13、时钟问题 14、盈亏问题 15、工程问题 16、正反比例问题 17、按比例分配 18、百分数问题 21、方阵问题 22、商品利润问题 23、存款利率问题 24、溶液浓度问题 25、构图布数问题 26、幻方问题 27、抽屉原则问题 28、公约公倍问题 19、“牛吃草”问题 29、最值问题 20、鸡兔同笼问题 30、列方程问题
1 归一问题
【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这
类应用题叫做归一问题。 【数量关系】
总量÷份数＝1 份数量
1 份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？
解（1）买 1 支铅笔多少钱？ 0.6÷5＝0.12（元） （2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元） 列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要 1.92 元。
例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 解（1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷） （2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷） 列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷） 答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。
例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运几次？
解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨） （2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 5×7＝35（吨）
（3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次） 列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次） 答：需要运 3 次。 2 归总问题
【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问
题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总 路程等。
【数量关系】 1 份数量×份数＝总量
总量÷1 份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例 1
服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791
套衣服的布，现在可以做多少套？
解 （1）这批布总共有多少米？
3.2×791＝2531.2（米） 2531.2÷2.8＝904（套）
（2）现在可以做多少套？
列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）
答：现在可以做 904 套。
例 2
小华每天读 24 页书，12 天读完了《红岩》一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完《红
岩》？
解 （1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）
（2）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷36＝8（天）
列成综合算式 24×12÷36＝8（天） 答：小明 8 天可以读完《红岩》。
例 3
食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的
意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？
解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克）
（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天） 列成综合算式
50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天） 答：这批蔬菜可以吃 25 天。
3 和差问题
【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数＝（和＋差）÷ 2 小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例 1
甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？ 解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。
例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。
解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）
宽＝（18－2）÷2＝8（厘米） 长方形的面积 ＝10×8＝80（平方厘米） 答：长方形的面积为 80 平方厘米。
例 3
有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千
克，求三袋化肥各重多少千克。
解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2 千克，且甲是大数，
丙是小数。由此可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克） 乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。
例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，
两车原来各装苹果多少筐？
解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是
小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是 97，因此
甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝（筐）
乙车筐数＝97－＝33（筐）
答：甲车原来装苹果 筐，乙车原来装苹果 33 筐。
4 和倍问题
【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各
是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数
总和 － 较小的数 ＝ 较大的数 较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。
例 2
东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨？
解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）
（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨） 答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。
例 3
甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24
辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？
解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）
辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（52＋32）就 相当于（2＋1）倍，
那么，几天以后甲站的车辆数减少为
（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆） 所求
天数为
（52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。
例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？
解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍；
这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，
甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 乙数＝28×2－4＝52 丙数＝28×3＋6＝90
答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。
5 差倍问题 【含义】
已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各
是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】 两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？
124÷（3－1）＝62（棵） 62×3＝186（棵）
解 （1）杏树有多少棵？
（2）桃树有多少棵？
答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 例 2
爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少
岁？
解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）
答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。 例 3
商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上
月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？
解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元） 本月盈利＝18＋30＝48（万元）
答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。
例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉
米是小麦的 3 倍？
解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－
94）。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（138－94）就相当于
（3－1）倍，因此
剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨） 运出的小麦数量＝94－22＝72（吨） 运粮的天数＝72÷9＝8（天）
答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。
6 倍比问题
【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再
用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另
一总量
【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？
解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍） （2）可以榨油多少千克？ 40×37＝1480（千克） 列成综合
算式
40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油 1480 千克。
例 2 树多少棵？
今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植
解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）共植树多少棵？
合算式
400×160＝000（棵） 列成综
400×（48000÷300）＝000（棵）
答：全县 48000 名师生共植树 000 棵。
例 3
凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800
亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？
解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？
800÷4＝200（倍） 11111×200＝2222200（元）
16000÷800＝20（倍）
（2）800 亩收入多少元？
（3）16000 亩是 800 亩的几倍？
（4）16000 亩收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元）
答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元， 全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。
7 相遇问题 【含义】
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【数量关系】
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每
小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？
解
392÷（28＋21）＝8
（小时） 答：经过 8 小时两船相遇。
例 2
小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，
他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为 400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒） 答：
二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。
例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在 距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲 过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：两地距离是 84 千米。
8 追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地
点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间 之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】
追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？
解 （1）劣马先走 12 天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－75）＝20（天） 列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好马 20 天能追上劣马。
例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同
向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮 的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用［40× （500÷200）］秒，所以小亮的速度是
（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）
答：小亮的速度是每秒 3 米。
例 3 我人民追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度 逃跑，在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千 米，问几个小时可以追上敌人？
解 敌人逃跑时间与追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×
（22－6）］千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知 追及时间
＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
＝220÷20＝11（小时） 答：解
放军在 11 小时后可以追上敌人。
例 4
一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40
千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客 车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时） 所以两站间的距离为 合算式
（48＋40）×4＝352（千米） 列成综（48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ＝88×4
＝352（千米） 答：甲
乙两站的距离是 352 千米。
例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘 记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？
解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇） 内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，
那么，二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷（90
－60）＝12（分钟） 家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）
答：家离学校有 900 米远。
例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千 米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家 一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
解 手表慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段 路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行 少 9 分钟，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。
所以步行 1 千米所用时间为
1÷［9－（10－5）］
＝0.25（小时）＝15（分钟）
跑步 1 千米所用时间为
跑步速度为每小时
15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
1÷11／60＝5.5（千米） 答：
孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。
第一段路 1 千米 那么第 2 段路上 走路的话会迟到 10-5=5 分钟 跑步刚好 说明第 2 段路跑步比走路快了 5 分钟
而一开始就跑步可以快 9 分钟 那就是说原来 1 千米快了 4 分钟 走路是 4 千米每小时 用掉
15 分钟了 跑步就是用掉 11 分钟 那么 1/11 就是每分钟多少千米了 多简单 求采纳 求好评
还有别说我的答案错了 我只是没把小时=60 分钟乘进去！你 10 千米每小时 你算一下 1 千 米时 6 分钟 有木有？ 走路时 15 分钟 有木有？你已经节约了 9 分钟！你怎么从家到学校 跑步比走路快 9 分钟？难道家离学校就是 1 千米么？有木有？你错了！有木有！你傻了！ 有木有？
对了 看了下你的方程！你的 X 是跑步的还是走路的？我靠 （X-1/4）z 是什么？假如 X 是 跑步总时间！那应该是(X-1/z)z+1=y ！你怎么不直接 XZ=y？假如 X 是走路总时间那么是(X- 1/4)*4+1=y。4X=y?这就是你所谓的方程。。。有木有？第 2 条我更迷茫了，你 。。你怎么不 。是迷茫哥还是我是还是 5 小家伙是？有木有！ 我的改一下就对了：
（X/4-X/Y）*60=9; 【(X-1)/Y-(X-1)/4】*60=5
9 植树问题
【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第
三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】 线形植树
环形植树 植树 角形植树 面积植树
棵数＝距离÷棵距＋1 棵数＝距离÷棵距 方形棵数＝距离÷棵距－4 三 棵数＝距离÷棵距－3 棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。
例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
解 400÷4＝100（棵） 答：一共能栽 100 棵白杨树。
例 3 明灯？
一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照
解 220×4÷8－4＝110－4＝106（个）
答：一共可以安装 106 个照明灯。
例 4
给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘
米，问至少需要多少块地板砖？
解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）
答：至少需要 400 块地板砖。
例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安
装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500÷50＋1＝11（个）
（2）桥的两边有多少个电杆？ 11×2＝22（个）
（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏） 答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。 10 年龄问题
【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人
年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路
是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明
年呢？ 解 35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，
明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。
例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？
解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37－7＝30（岁）
（2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30÷（4－1）－7＝3（年） 列成综合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。
例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父子今年各多少岁？
解 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加（3×2）岁，
今年二人的年龄和为
49＋3×2＝55（岁）
把今年儿子年龄作为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为 55÷
（4＋1）＝11（岁）
今年父亲年龄为 11×4＝44（岁） 答：
今年父亲年龄是 44 岁，儿子年龄是 11 岁。 例 4
甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数
将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？
解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一 今 年 将来某一年 年 甲 乙 □岁 4 岁 △岁 □岁 61 岁 △岁 表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是 4，□，△，61 成等差数列，所以， 61 应该比 4 大 3 个年龄差，
因此二人年龄差为 （61－4）÷3＝19（岁） 甲今年
的岁数为 △＝61－19＝42（岁） 乙今年的岁数为 □＝42－19＝23（岁）
答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。 11 行船问题 【含义】
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本
身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速 之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速 顺水
速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例 1 用几小时？
一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段路程需
解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 320÷8－15＝25（千米）
船的逆水速为
25－15＝10（千米） 船
逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时）
答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。
例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需 10 小时；乙船逆水行同样一段距离需 15 小
时，返回原地需多少时间？
解由题意得
甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20 可见 （36－20）相当于水速的 2 倍，
所以， 水速为每小时 （36－20）÷2＝8（千米）
又因为， 乙船速－水速＝360÷15， 所以， 乙船速为 360÷15＋8＝32（千米）
乙船顺水速为 32＋8＝40（千米） 所以， 乙船顺水航行 360 千米需要
360÷40＝9（小时）
答：乙船返回原地需要 9 小时。 例 3
一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576 千米，风速为每小时 24 千米，飞
机逆风飞行 3 小时到达，顺风飞回需要几小时？
解 这道题可以按照流水问题来解答。
（1）两城相距多少千米？
（576－24）×3＝1656（千米）
（2）顺风飞回需要多少小时？
1656÷（576＋24）＝2.76（小时）
列成综合算式
［（576－24）×3］÷（576＋24） ＝2.76（小时） 答：飞机顺风飞回需要 2.76 小时。 12 列车问题
【含义】
这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速 火车追
及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
÷（甲车速－乙车速）
火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开
桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米？
解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
（1）火车 3 分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）
（2）这列火车长多少米？ 列成综合算式
2700－2400＝300（米）
900×3－2400＝300（米）
答：这列火车长 300 米。
例 2
度是多少米？
一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间，求大桥的长
解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒＝125 秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200 米
＋桥长），所以，桥长为
8×125－200＝800（米）
答：大桥的长度是 800 米。
例 3
一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在
后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因 此，所求的时间为
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要 73 秒。
例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走
来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？
解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。
例 5 一列火车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒，以同样的速度通过一条长 1250 米的大桥
用了 58 秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在
（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒
（2000－1250）÷（88－58）＝25（米） 进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米， 因此，车长为 25×58－1250＝200（米）
答：这列火车的车速是每秒 25 米，车身长 200 米。 13 时钟问题 【含义】
就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针
夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】
分针的速度是时针的 12 倍， 二者的速度差为 11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
例 1
从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
解 钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走 5/60＝1/12 格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相 距 20 格。所以
分针追上时针的时间为
20÷（1－1/12）≈ 22（分）
答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。 例 2
四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解 钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差 15 格（包括分针在时针的前或 后 15 格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分 针就要比时针多走
（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×
4＋15）格。再根据 1 分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。
（5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）
（5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分） 答：4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。
例 3
六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一 个追及问题。
（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）
答：6 点 33 分的时候分针与时针重合。
14 盈亏问题 【含义】
根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足
（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加
分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数＝（大盈－小
盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋
友？有多少个苹果？
解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。
例 2
修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长
仍得延长 4 天。这条路全长多少米？
解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大 亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
这条路全长为
300×（22＋4）＝7800（米）
答：这条路全长 7800 米。
例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45 人，就刚好坐完。
问有多少车？多少人？
解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有
（1）有多少车？ （30－0）÷（45－40）＝6（辆）
（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）
答：有 6 辆车，有 270 人。
15 工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条
件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工 作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒
数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者 之间的关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。
例 1 几天完成？
一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要
解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作 单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天 完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。 由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：两队合做需要 6 天完成。
例 2
一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多
做 24 个，求这批零件共有多少个？
解 设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－ 1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间 内，甲比乙多做 24 个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（1/6－1/8）＝168（个）
答：这批零件共有 168 个。
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算： 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7 所以，这批零件共有 例 3
24÷1/7＝168（个）
一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2
小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此， 我们设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12＝5
60÷10＝6 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时） 答：还需要 5 小时才能完成。
例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个 进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在要用 2 小 时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量 就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水 管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为（1×4×5），2 个进水 管 15 小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为
1×4×5－1×5＝15
又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 1×2， 所以，2 小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（个）
答：至少需要 9 个进水管。
16 正反比例问题
【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的 比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题 是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一 定，
这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例 等知识的综合运用。
【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为
正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性
质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路
总长是多少米？
解 由条件知，公路总长不变。 原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（4－3）份，从而知公路总长为
300
÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 这条公路总长 3600 米。
例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？
解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设 91 分钟可以做 X 应用题 则有 28∶4＝91∶X
28X＝91×4
X＝91×4÷28
X＝13
答：91 分钟可以做 13 道应用题。
例 3
以看完？
孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可
解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设 X 天可以看完，就有 24∶36＝X∶15
36X＝24×15 X＝10
答：10 天就可以看完。
例 4
一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
25 20 A 36 B 16 解 由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等 于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，
A∶36＝20∶16
25∶B＝20∶16 解这两个
比例，得 A＝45 B＝20 所以，大矩形面积为 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面积是 162
17 按比例分配问题
【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有
两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总
份数＝比的前后项之和
【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份 数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分 之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例 1
学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，
三班有 45 人，三个班各植树多少棵？
解 总份数为
47＋48＋45＝140
一班植树 560×47/140＝188（棵） 二班植树 560×48/140＝192（棵） 三班植树 560×45/140＝180（棵）
答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。
例 2
用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 3∶4∶5。三条边的长各是多少
厘米？
解 3＋4＋5＝12
60×3/12＝15（厘米） 60×4/12＝20（厘米）
60×5/12＝25（厘米） 答：三
角形三条边的长分别是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。
例 3
从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2，二儿
子分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法
解，则很容易得到
1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17
17×9/17＝9 17×2/17＝2
17×6/17＝6
答：大儿子分得 9 只羊，二儿子分得 6 只羊，三儿子分得 2 只羊。
例 4 共多少人？
某工厂第一、二、三车间人数之比为 8∶12∶21，第一车间比第二车间少 80 人，三个车间
人 数 对应的份数 80 人 12－8 一共多少人？ 8＋12＋21 解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三个车间一共 820 人。
18 百分数问题
【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常
常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示 “率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号 “%”。
在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。
【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量
÷标准量
标准量＝比较量÷百分数
【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：
（1）
求一个数是另一个数的百分之几； 已知一个数，求它的百分之几是多少； 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
仓库里有一批化肥，用去 720 千克，剩下 80 千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之
（2）
（3）
例 1
几？
解 （1）用去的占
720÷（720＋80）＝10% 80÷（720＋80）＝90%
（2）剩下的占
答：用去了 10%，剩下 90%。
例 2 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解
本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较 量
所以
（525－420）÷525＝0.2
＝20%
或者 1－420÷525＝0.2＝20%
答：男职工人数比女职工少 20%。
例 3 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解
本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
（525－420）÷420＝0.25＝25% 或者 525÷420－1＝0.25＝25% 答：女职工人数比男职工多 25%。
例 4
红旗化工厂有男职工 420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之
几？
解 （1）男职工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女职工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男职工占全厂职工总数的 44.4%，女职工占 55.6%。
例 5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有： 增长率＝增长数÷原来基数×100% 合格率＝合格产品数÷产品总数×100% 出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100% 出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%
缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100% 发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100% 成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100% 出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100% 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 废品率＝废品数量÷全部产品数量×100% 命中率＝命中次数÷总次数×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100% 及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
19 “牛吃草”问题
【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要
考虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】
草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例 1
以把草吃完？
一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可
解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛 5 天可
以把草吃完”，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话，得有多少头牛？ 按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
设每头牛每天吃草量为 1，
因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20 天
内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20 天内生长量
同理 1×15×10＝原有草量＋10 天内生长量 由此可知 （20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为
50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10 天内总草量－10 内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求 5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5 天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛 5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。 因此 5 天吃完草需要牛的头数
125÷5＝25（头）
答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。
例 2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有 12 个
人淘水，3 小时可以淘完；如果只有 5 人淘水，要 10 小时才能淘完。求 17 人几小时可以淘完？
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛
数”），求时间。设每人每小时淘水量为 1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3 小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3 小时进水量
10 小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10 小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为 因此，每小时的进水量为
1×5×10－1×12×3＝14
14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3 小时进水量＝36－2×3＝30
（3）求 17 人几小时淘完
17 人每小时淘水量为 17，因为每小时漏进水为 2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－
2），所以 17 人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）
答：17 人 2 小时可以淘完水。
20 鸡兔同笼问题
【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少
只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第 二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2） 假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2） 第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2） 假
设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。
如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先 假设，再置换，使问题得到解决。
例 1
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一
算，多少兔子多少鸡？
解 假设 35 只全为兔，则
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只） 兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设 35 只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 鸡数＝35－12＝23（只） 答：有鸡 23 只，有兔 12 只。
例 2
有多少亩？
2 亩菠菜要施肥 1 千克，5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施肥 9 千克，求白菜
解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两
个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有 4 只脚”相对应，“16 亩”与“鸡兔总 数”相对应，“9 千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设 16 亩全都是菠菜，则有
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜地有 10 亩。
例 3 用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本，作业本每本 3 .20 元，日记本每本
0.70 元。问作业本和日记本各买了多少本？
解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设 45 本全都是日记本，则有 作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日记本数＝45－15＝30（本） 答：作业本有 15 本，日记本有 30 本。 例 4
（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与兔各多少只？
解 假设 100 只全都是鸡，则有
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只） 鸡数＝100－20＝80（只）
答：有鸡 80 只，有兔 20 只。
例 5
有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个馍，问大小和尚各多
少人？
解 假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和
尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数 100 不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一 个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚
共有大和尚
100－75＝25（人） 答：共
（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
有大和尚 25 人，有小和尚 75 人。
21 方阵问题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物
数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数
÷4＋1
（2）方阵总人数的求法： 实心方阵：
总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数） －（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心
方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例 1
在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同
学一共有多少人？
解
22×22＝484（人） 答：参
加体操表演的同学一共有 484 人。 例 2
有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。
解 10－（10－3×2） ＝84（人）
答：全方阵 84 人。
例 3
多少人？
解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数是 28 人，这队学生共
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共 160 人。
例 4
一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少 9
只棋子，问有棋子多少个？
解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有 40 只。
例 5 有一个三角形树林，顶点上有 1 棵树，以下每排的树都比前一排多 1 棵，最下面一排有
5 棵树。这个树林一共有多少棵树？
解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵） 答：这个三角形树林一共有 15 棵树。 21 方阵问题 【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物
数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四
周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数） －（内边人数） 内边
人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心
方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例 1
在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同
学一共有多少人？
解
22×22＝484（人） 答：参加体
操表演的同学一共有 484 人。
例 2
有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。 解 10－（10－3×2）
＝84（人） 答：全方阵 84 人。
例 3
共多少人？
解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数是 28 人，这队学生
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共 160 人。
例 4
一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少 9
只棋子，问有棋子多少个？
解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有 40 只。
例 5
有一个三角形树林，顶点上有 1 棵树，以下每排的树都比前一排多 1 棵，最下面一排有 5
棵树。这个树林一共有多少棵树？
解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵） 答：这个三角形树林一共有 15 棵树。
22 商品利润问题
【含义】
方面的问题。
这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等
【数量关系】 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率） 亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例 1 某商品的平均价格在一月份上调了 10%，到二月份又下调了 10%，这种商品从原价到二月
份的价格变动情况如何？
解 设这种商品的原价为 1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－
10%），所以二月份售价比原价下降了 1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了 1%。
例 2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去 52 元，已知衣服原来按期
望盈利 30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
解 要知亏还是盈，得知实际售价 52 元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为 52 元是原
价的 80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利 30%定的，所以成本为 52÷80%÷（1＋ 30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为 （52－50）÷50＝4% 答：
该店是盈利的，盈利率是 4%。
例 3
成本 0.25 元的作业本 1200 册，按期望获得 40%的利润定价出售，当销售出 80%后，剩下
的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的 86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？
解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是
0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的 作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的 80%的盈利额之差，即 0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
剩下的作业本每册盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元） 又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80% 答：剩下
的作业本是按原定价的八折出售的。
例 4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜 10%，甲店按 30%的利润定价，乙店按 20%的
利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵 6 元，求乙店的定价。 解 设乙店的进货价为 1，则甲店的进货价为 1－10%＝0.9
甲店定价为 0.9×（1＋30%）＝1.17 乙店定价为 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得乙店进货价为 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定价为
200×1.2＝240（元）
答：乙店的定价是 240 元。
23 存款利率问题
【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。
利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一 月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×
存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例 1
李大强存入银行 1200 元，月利率 0.8%，到期后连本带利共取出 1488 元，求存款期多
长。
解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，
所以总利率为 （1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，
所以存款月数为 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月） 答：李大强的存款期是 30 月即两年半。
例 2 银行定期整存整取的年利率是：二年期 7.92%，三年期 8.28%，五年期 9%。如果甲乙二人
同时各存入 1 万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出， 那么，谁的收益多？多多少元？
解 甲的总利息
［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的总利息 10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多 38.53 元。
24 溶液浓度问题
【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或
其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的 混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】
溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例 1 爷爷有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀释成 10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成 30%
的糖水，需加糖多少克？
解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50
＝10（克） 答：（1）
需要加水 30 克，（2）需要加糖 10 克。 例 2
要把 30%的糖水与 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多少
克？
解 假设全用 30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 600×
（30%－25%）＝30（克）
这是因为 30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量 600 克不变的情况下，用 15%的溶液来
“换掉”一部分 30%的溶液。这样，每“换掉”100 克，就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克）
所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克） 由此可
知，需要 15%的溶液 200 克。
需要 30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要 15%的糖水溶液 200 克，需要 30%的糖水 400 克。
例 3 甲容器有浓度为 12%的盐水 500 克，乙容器有 500 克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混
合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水 同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。
解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为 500 克，因此，只要算出乙容器中
最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：
原 有 甲容器 盐水 500 乙容器 水 500 盐 500×12%＝60 第一次把甲中一 盐水 500÷2＝250 盐水 500＋250＝750 半倒入乙中后 盐 60÷2＝30 第而次把乙中一 盐水 250＋375＝625 盐 30 盐水 750÷2＝375 半倒入甲中后 盐 30＋15＝45 第三次使甲乙中 盐 30÷2＝15 盐水 500 盐水 500 盐 45－9＝36 盐水同样多 盐 45－36＋15＝ 24 由以上推算可知， 乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比浓度是 4.8%。 25 构图布数问题 【含义】
这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一
种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。
【数量关系】
根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图
布数，符合题目所给的条件。
例 1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形应是一个五角星。
4×5÷2＝10
因为五角星的 5 条边交叉重复，应减去一半。
例 2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，
一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
例 3
九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽 4 棵树，三个顶点上重复应减去，正好 9 棵。 4×3－3＝9
例 4 把 12 拆成 1 到 7 这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七
个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于 12。
解 共有五种写法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5
在这五个算式中，4 出现三次，其余的 1、2、3、5、6、7 各出现两次，因此，4 应位于三条线的
交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形：
26 幻方问题
【含义】 把 n×n 个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相
等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。
【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和＝45÷3＝15
五级幻方的幻和＝325÷5＝65
【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定
正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。
例 1
把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上
三个数的和相等。
解 幻和的 3 倍正好等于这九个数的和，所以幻和为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九个数在这线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到
四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用 到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。
设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于 15，所以 （1＋2＋3＋
4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
即 45＋3Χ＝60
2 9 4 7 5 3 6 1 8 所以 Χ＝5 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们
分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。
例 2 把 2，3，4，5，6，7，8，9，10 这九个数填到九个方格中，
使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解 只有三行，三行用完了所给的 9 个数，所以每行三数之和为
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18 假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、
两条对角线共 8 行上的三个数之和都等于 18，我 们看 18 能写成哪三个数之和：
最大数是 10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
最大数是 9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
最大数是 8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
最大数是 7： 18＝7＋6＋5 刚好写成 8 个算式。 首先确定正中间方格的数。第二横行、第
二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观 察上述 8 个算式，只有 6 被用了 4 次，所以正中间方格中应填 6。
9 4 5 2 6 10 7 8 3 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述 8 个算式中只有 9、7、5、3 被用了三次，所以 9、7、5、3 应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的 和都为 18。
最后确定其它方格中的数。如图。
27 抽屉原则问题
【含义】 把 3 只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把 2 只苹果放进一个抽屉，剩
下的一个放进另一个抽屉；要么把 3 只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一 个抽屉中放了 2 只或 2 只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把 n＋1 个物体（也叫元素）放到 n 个抽屉中，那么至少
有一个抽屉中放着 2 个或更多的物体（元素）。
抽屉原则可以推广为：如果有 m 个抽屉，有 k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要
放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的 k 倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更
多的元素。
【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
例 1 育才小学有 367 个 1999 年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
解 由于 1999 年是润年，全年共有 366 天，可以看作 366 个“抽屉”，把 367 个 1999 年出生的学
生看作 367 个“元素”。367 个“元素”放进 366 个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有 2 个或更多 的“元素”。
这说明至少有 2 个学生的生日是同一天的。
例 2 据说人的头发不超过 20 万跟，如果陕西省有 35 万人，根据这些数据，你知道陕西省至
少有多少人头发根数一样多吗？
解 人的头发不超过 20 万根，可看作 20 万个“抽屉”，35 万人可看作 35 万个“元素”，把
35 万个“元素”放到 20 万个“抽屉”中，得到
35÷20＝182……5
根据抽屉原则的推广规律，可知 k＋1＝183
答：陕西省至少有 183 人的头发根数一样多。
例 3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球 10 个，白球 9 个，黄球 8 个，
蓝球 2 个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有 4 个球颜色相同？
解 把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11 看作 11 个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）
个球才能保证至少有 4 个球的颜色相同。
答；他至少要取 12 个球才能保证至少有 4 个球的颜色相同。 28 公约公倍问题 【含义】
需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数
和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
例 1
一张硬纸板长 60 厘米，宽 56 厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，
不许有剩余。问正方形的边长是多少？
解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60 和 56 的最大公约数是 4。
答：正方形的边长是 4 厘米。
例 2
甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要 36 分钟，乙车行一周要 30 分
钟，丙车行一周要 48 分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又 在起点相遇？
解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是 36、30、48 的倍数。因为问至少要
多少时间，所以应是 36、30、48 的最小公倍数。
36、30、48 的最小公倍数是 720。
答：至少要 720 分钟（即 12 小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例 3 一个四边形广场，边长分别为 60 米，72 米，96 米，84 米，现要在四角和四边植树，若
四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？
解 相邻两树的间距应是 60、72、96、84 的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间
距尽量大，那么这个相等的间距应是 60、72、96、84 这几个数的最大公约数 12。
所以，至少应植树 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：至少要植 26 棵树。
例 4 一盒围棋子，4 个 4 个地数多 1 个，5 个 5 个地数多 1 个，6 个 6 个地数还多 1 个。又知棋
子总数在 150 到 200 之间，求棋子总数。
解 如果从总数中取出 1 个，余下的总数便是 4、5、6 的公倍数。因为 4、5、6 的最小公倍数是
60，又知棋子总数在 150 到 200 之间，所以这个总数为
60×3＋1＝181（个）
答：棋子的总数是 181 个。
29 最值问题
【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办
事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例 1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要 3 分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需
要烤三块饼，最少需要多少分钟？
解 先将两块饼同时放上烤，3 分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第
二块饼。再过 3 分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤 3 分钟即可。 这样做，用的时间最少，为 9 分钟。
答：最少需要 9 分钟。
例 2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是 10 千米，已知 1 号煤场存煤 100
吨，2 号煤场存煤 200 吨，5 号煤场存煤 400 吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤 场里，每吨煤运 1 千米花费 1 元，集中到几号煤场花费最少？
解 我们采用尝试比较的方法来解答。
集中到 1 号场总费用为 1×200×10＋1×400×40＝18000（元） 集中到 2 号场总费用为 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中到 3 号场总费用为 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元） 集中到 4 号场总费用为 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元） 集中到 5 号场总费用为 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
经过比较，显然，集中到 5 号煤场费用最少。 答：集中到 5 号煤场费用最少。 例 3
北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地 10 台，上 北京 上海 重庆 800 500 武汉 400 300 海可调运外地 4 台。现决定给重庆调运 8 台，给武汉调运 6 台，
若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？ 解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京
往重庆应尽量少调运。这样，把上海的 4 台全都调 往重庆，再从北京调往重庆 4 台，调往武汉 6 台，运费就会最少，其数额为
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：上海调往重庆 4 台，北京调往武汉 6 台，调往重庆 4 台，这样运费最少。 30 列方程问题
【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，
通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。
【数量关系】
方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。
（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。
（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。 同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未
知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名 称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。
例 1
甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数的 2 倍少 30 人，求两班各有多少人？
解 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。 找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30 人。 列方程：
90－Χ＝2Χ－30 Χ＝40
从而知
90－Χ＝50
解方程得
第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。
列方程
（2Χ－30）＋Χ＝90 Χ＝40
从而得知
2Χ－30＝50
解方程得
答：甲班有 50 人，乙班有 40 人。
例 2
鸡兔 35 只，共有 94 只脚，问有多少兔？多少鸡？
解 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为 4Χ个，鸡的脚数为 2（35－
Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程 ＝12 则 35－Χ＝23
4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ
第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡， 则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2） 所以 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 鸡数＝35－12＝23（只）
答：鸡是 23 只，兔是 12 只。
例 3
运多少袋？
仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运 125 袋，乙汽车每次
解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。 940
÷4－125＝110（袋）
第二种方法：从总量里减去甲汽车 4 次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以 4，即是所求。
（940－125×4）÷4＝110（袋） 第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程
940÷4－Χ＝125
解方程得 Χ＝110 第四种方法：设
乙汽车每次运Χ袋，依题意得 （125＋Χ）×4＝940
解方程得 Χ＝110
答：乙汽车每次运 110 袋。 一列客车从甲地开往乙地，同时一
列货车从甲地开往乙地，当货车行了 180 千米时，客车行了全程的七 分之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七。甲乙两地相距多少千米？ 解：把全部路程看作单位 1，那么客车到达终点行了全程，也就是单位 1。当客车到达乙地时，货车行 了全程的八分之七，相同的时间，路程比就是速度比。由此我们可以知道客车货车的速度比=1： 7/8=8：7，所以客车行的路程是货车的 8/7 倍
所以当客车行了全程的 4/7 时， 货车行了全程的（4/7）/（8/7）=1/2 那么甲乙两地相距 180/（1/2）=360 千米， 1/2 就是 180 千米的对应分率
分析：此题中运用了单位 1，用到了比例问题，我们要熟练掌握比例，对于路程、速度和时间之间的关 系，一定要清楚，在速度或时间一定时，路程都和另外一个量成正比例，当路程一定时，速度和时间成 反比例，这个是基本常识。
43、甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，2 小时相遇。相遇后两车继续前行，当甲车到达 B 地时，乙 车离 A 地还有 60 千米，一直两车速度比是 3:2。求甲乙两车的速度。
解：将全部路程看作单位 1，速度比=路程比=3：2，也就是说乙行的路程是甲的 2/3
那么甲到达 B 地时，行了全部路程，乙行了 1×2/3=2/3，此时距离终点 A 还有 1-2/3=1/3 那么全程=60/（1/3）=180 千米，速度和=180/2=90 千米/小时，甲的速度=90×3/（3+2）=54 千米/小时 乙的速度=90-54=36 千米/小时
从甲地去乙地，如车速比原来提高 1/9，就可比预定的时间提前 20 分钟赶到，如先按原速行驶 72 千 米，再将车速比原来提高 1/3，就比预定时间提前 30 分钟赶到。甲乙两地相距多少千米？ 解：20 分钟=1/3 小时。30 分钟=1/2 小时
因为路程一定，时间和速度成反比，那么原来的车速和提高 1/9 后的车速之比为 1：（1+1/9）=9：10 那么时间比为 10：9，将原来的时间看作单位 1，那么提速 1/9 后的时间为 1x9/10=9/10 所以原来需要的时间为（1/3）/（1-9/10）=10/3 小时
第二次行驶完 72 千米后，原来的速度和提高后的速度比为 1：（1+1/3）=3：4，那么时间比为 4：3 将行驶完 72 千米后的时间看作单位 1，那么这一段用的时间为（1/2）/（1-3/4）=2 小时 那么原来行驶 72 千米用的时间=10/3-2=4/3 小时，原来的速度=72/（4/3）=54 千米/小时 甲乙两地相距=54×10/3=180 千米
14、清晨 4 时，甲车从 A 地，乙车从 B 地同时相对开出，原计划在上午 10 时相遇，但在 6 时 30 分，乙 车因故停在中途 C 地，甲车继续前行 350 千米在 C 地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时 60 15、千米的速度向 A 地开去。问：乙车几点才能到达 A 地？ 解：原来的相遇时间=10-4=6 小时，乙的速度=60 千米/小时
BC 距离=60×2.5=150 千米（从凌晨 4 时到 6 时 30 分是 2.5 小时） 原来相遇时乙应该走的距离=60×6=360 千米
甲比原来夺走 360-150-210 千米，那么甲行驶 6-2.5=3.5 小时应该行驶的距离=350-210=140 千米
所以甲的速度=140/3.5=40 千米/小时，那么 AB 距离=（40+60）×6=600 千米，AC 距离=600-150=450 千 米
实际相遇的时间=450/40=11.25 小时=11 小时 15 分钟，那么相遇时的时间是 15 小时 15 分 乙到达 A 地需要的时间=450/60=7.5 小时=7 小时 30 分 所以乙到达 A 地时间为 15 小时 15 分+7 小时 30 分=22 时 45 分
9、AB 两地相距 60 千米，甲车比乙车先行 1 小时从 A 地出发开往 B 地，结果乙车还比甲车早 30 分到达 B 地，甲乙两车的速度比是 2:5，求乙车的速度。
如果甲不比乙车先行 1 小时，那么乙要比甲车早 1+30/60=1.5 小时到达 B 地 甲乙的速度比=2：5，那他们用的时间比为 5：2 将甲用的时间看作单位 1，那么乙用的时间是甲的 2/5
甲比乙多用 1-2/5=3/5
所以甲行完全程用的时间为 1.5/（3/5）=2.5 小时，乙行完全程用的时间=2.5-1.5=1 小时 那么乙车的速度=60/1=60 千米/小时
10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每分钟走 52 米，小明每分钟走 70 米，两人在途中 A 处 相遇。若小刚提前 4 分钟出发，且速度不变，小明每分钟走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小刚和小明 两人的家相距多少米？
解：两次相遇小明走的路程一样，那么两次相遇小明的速度比=70：90=7：9 时间比就是速度比的反比，所以两次相遇的时间比为 9：7 将第一次相遇的时间看做单位 1 那么第二次相遇小明用的时间为 7/9 第一次比第二次多用的时间为 1-7/9=2/9 那么第一次用的时间为 4/（2/9）=18 分钟 所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196 米
方程：设第一次相遇时间为 t 分
90×[（52t-52x4）/52]=70a t=18 分钟（过程从略）
所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196 米
11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5 小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距
196 千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全程的 80%，问货车行完全程用多少小时 ？ 解：将全部路程看作单位 1，那么相距 196 千米时，
客车行驶了全程的 1×2/3=2/3，距离目的地还有 1-2/3=1/3，货车行驶了全程的 1×80%=4/5 那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420 千米，客车和货车的速度比=2/3：4/5=5：6 客车和货车的速度和=420/5=84 千米/小时，货车的速度=84×6/11=504/11 千米/小时
那么货车行完全程需要 420/（504/11）=55/6 小时=9 小时 10 分钟 客货两车分别从甲乙两地相对开出，相遇后两车继续到达对方终点后，两车立即返回，又在途中相遇， 两次相遇的地点相距 3000 米。已知货车的速度是客车速度三分之二，求甲乙两地距离是多少米？（要 算式和解题过程） 解：将全部的路程看作单位 1， 货车和客车的速度比=2：3 第一次相遇货车行了全程的 2/5，客车行了全程的 3/5
因为是 2 次相遇，所以两车走的路程一共是 3 倍甲乙两地距离，也就是 1x3=3，货车行了整个过程的 3x2/5=6/5
因此第二次相遇是在距离甲地 6/5-1=1/5 处
第一次相遇是在距离甲地 3/5 处，那么两处相距 3/5-1/5=2/5，甲乙两地距离 3000/ （2/5）=7500 米
12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出，经过 3 小时，两车距离中点 18 千米处相 遇，这时甲车与乙车所行的路程之比是 2：3.求甲乙两车的速度各是多少？
设甲的速度为 2a 千米/小时，乙的速度为 3a 千米/小时，总路程=（2a+3a）×3=15a 千米 甲行的路程=15a×2/5=6a 15a-12a=36
15a/2-6a=18
a=12
3a=36
甲的速度=12x2=24 千米/小时，乙的速度=12x3=36 千米/小时
或者将全部路程看作单位 1，那么相遇时甲行了 2/5，乙行了 1-2/5=3/5，全程=（1/2-2/5）=1/10
全程=18/（1/10）=180 千米
甲乙的速度和=180/3=60 千米/小时，甲的速度=60x2/5=24 千米/小时，乙的速度=60-24=36 千米/小时 13、甲乙两车同时从 AB 两地出发，相向而行，甲与乙的速度比是 4：5。两车第一次相遇后，甲的速度 提高了 4 分之一，乙的速度提高了 3 分之一，两车分别到达 BA 两地后立即返回。这样，第二次相遇点 距第一次相遇点 48KM，AB 两地相距多少千米？ 解：将全部的路程看作单位 1
因为时间一样，路程比就是速度比，所以相遇时，甲行了全程的 1x4/（5+4）=4/9，乙行了 1-4/9=5/9 此时甲乙提速，速度比由 4：5 变为 4（1+1/4）：5（1+1/3）=5：10/3=3:4 甲乙再次相遇路程和是两倍的 AB 距离，也就是 2
此时第二次相遇，乙行了全程的 2x4/（3+4）=8/7，第二次相遇点的距离占全部路程的 8/7-4/9=44/63
距离第一次相遇点 44/63-4/9=16/63 ，AB 距离=48/（16/63）=1 千米
14、甲从 A 地往 B 地，乙丙从 B 地行往 A 地，三人同时出发。甲首先遇乙，15 分钟后又遇丙。甲每份走
70m，乙走 60m 丙走 50m。问 AB 两地距离 解：乙丙的速度差=60-50=10 米/分 那么甲乙相遇时，距离丙的距离=（70+50）×15=1800 米 那么甲乙相遇时用的时间=1800/10=180 分钟
那么 AB 距离=（70+60）×180=23400 米
15、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的 二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有 500 米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路 程。
解：下山速度是上山的 2 倍，那就假设一下，把下山路也看做上山路，长度为上山路的 1/2
速度都是上山的速度。那么，原来上山的路程，占总路程的 2/3，
下山路程占总路程的 1/3，甲返回山脚，乙一共行了全程的 2/3+1/3×1/2=5/6，乙的速度是甲的 5/6。 甲到达山顶，即行了全程的 2/3，乙应该行了全程的：2/3×5/6=5/9，实际上乙行了全程的 2/3 减去 500 米
所以全程为：500÷（2/3-5/9）=4500 米 从山脚到山顶的距离为：4500×2/3=3000 米
16、汽车从 A 地到 B 地，如果速度比预定的每小时慢 5 千米，到达时间将比预定的多 1/8，如果速度比 预定的增加 1/3，到达时间将比预定的早 1 小时。求 A,B 两地间的路程？
解：将原来的时间看到单位 1，那么每小时慢 5 千米，用的时间是 1×（1+1/8）=9/8 那么实际用的时间和原来的时间之比为 9/8：1=9：8，那么原来速度和实际速度之比为 8：9 那么实际速度是原来速度的 8/9，那么
原来的速度=5/（1-8/9）=45 千米/小时 第二
次速度增加 1/3，实际速度与原来的速度之比为为 （1+1/3）：1=4：3
实际用的时间和原来的时间之比为 3：4，那么实际用的时间是原来的 3/4 原来所用的时间为 1/（1-3/4）=4 小时，AB 距离=45×4=180 千米 简析：此题反复利用路程一定，时间和速度成反比，这一点在学习中要注意。
17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站 45 千米的地方相遇，之后两车继续以原来 的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧 9 千米处相遇，两站相距多少千米？ 解：我们拿从东站出来的车考虑
在整个相遇过程中，两车一共走了 3 个全程 第一次相遇时，从东站出来的车走了 45 千米 那么整个过程走了 45×3=135 千米 此时这辆车走了 1.5 倍的全程还多 9 千米 所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84 千米
将全部路程看作单位 1，第二次相遇时这辆车走了 1 又 1/2 还多 9 千米。
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