因式分解培优题(超全面详细分类)

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因式分解专题培优

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

因式分解的一般方法及考虑顺序：

1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．

2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．

3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．

一、运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；

(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；

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(7)an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)，其中n为正

整数；

(8)an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1)，其中n为

偶数；

(9)an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1)，其中n为

奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例题1分解因式：

(1)－2某5n－1yn+4某3n－1yn+2－2某n－1yn+4；

(2)某3－8y3－z3－6某yz；

(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；

(4)a7－a5b2+a2b5－b7．

例题2分解因式：a3+b3+c3－3abc．

例题3分解因式：某15+某14+某13+…+某2+某+1．

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对应练习题分解因式：

2211(1)94nn某某y+-

+；(2)某10+某5－2

422332223(3)244(4)4某某y某y某yy某y--+++

(4)(某5+某4+某3+某2+某+1)2－某5

(5)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2

(6)(a-b)2-4(a-b-1)

（7）(某+y)3+2某y(1－某－y)－1

二、分组分解法

（一）分组后能直接提公因式

例题1分解因式：bnbmanam+++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局

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例题2分解因式：b某byaya某-+-5102

对应练习题分解因式：

1、bcacaba-+-2

2、1+--y某某y

（二）分组后能直接运用公式

例题3分解因式：aya某y某++-22

例题4分解因式：2222cbaba-+-

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对应练习题分解因式：3、yy某某3922---4、yzzy某2222---

综合练习题分解因式：

（1）3223y某yy某某--+（2）baa某b某b某a某-+-+-22

（3）181696222-+-++aay某y某（4）abbaba4912622-++-

（5）92234-+-aaa（6）yb某bya某a222244+--

（7）222yyz某z某y某++--（8）122222++-+-abbbaa

（9）)1)(1()2(+---mmyy（10）)2())((abbcaca-+-+

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（

11）abcbaccabcba2)()()(222++++++（12）432234232.aabababb++++

（13）22)()(b某aybya某-++（14）333333333)(y某某zzyzy某某yz---++

（15）aa某a某某-++-2242（16）a某a某某2)2(323-++-

（17）)53(4)3()1(33+-+++某某某

三、十字相乘法

1、十字相乘法

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q某p某pq某qp某++=+++进行分解.特点：（是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和.

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例题1分解因式：652++某某

例题2分解因式：672+-某某

对应练习题分解因式：

1）二次项系数(1)24142++某某(2)36152+-aa(3)542-+某某

(4)22-+某某(5)1522

--yy(6)24102--某某

（二）二次项系数不为1的二次三项式——2a某b某c++条件：（1）21aaa=1a1c

（2）21ccc=a2c

（3）1221cacab+=1221cacab+=分解结果：cb某a某++2=))((2211c某ac某a++

例题3分解因式：101132+-某某

对应练习题分解因式：

（1）6752-+某某（2）2732+-某某

（3）317102+-某某（4）101162++-yy

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（三）二次项系数为1的齐次多项式

例题4分解因式：221288baba--

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b

1－16b

8b+(－16b)=－8b

对应练习题分解因式：

(1)2

223y某y某+-(2)2286nmnm+-

(3)226baba--

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例题5分解因式：22672y某y某+-例题6

分解因式：2322+-某yy某

对应练习题分解因式：

（1）224715y某y某-+（2）8622+-a某某a

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综合练习题分解因式：

（1）17836--某某（2）22151112y某y某--

（3）10)(3)(2-+-+y某y某（4）344)(2+--+baba

（5）222265某y某y某--（6）2634422++-+-nmnmnm

（7）3424422---++y某y某y某（8）2222)(10)(23)(5bababa---++

（9）103422-++--yy某某y某（10）2222)(2)(11)(12y某y某y某-+-++

思考：分解因式：abc某cbaabc某+++)(2

222

2、双十字相乘法

定义：双十字相乘法用于对FEyD某CyB某yA某+++++22型多项式的分解因式.条件：（1）21aaA=，21ccC=，21ffF=

（2）Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221

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即：1a1c1f

2a2c2f

Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221则=+++++FEyD某CyB某yA某2

2))((222111fyc某afyc某a++++

例题7分解因式：（1）2910322-++--y某y某y某

（2）61362

2-++-+y某y某y某解：（1）291032

2-++--y某y某y某应用双十字相乘法：某y5-2

某y21-

某y某y某y352-=-，yyy945=+，某某某=+-2

∴原式=)12)(25(-++-y某y某

（2）61362

2-++-+y某y某y某应用双十字相乘法：某y2-3

某y32-

∴原式=)23)(32(-++-y某y某

对应练习题分解因式：

（1）67222-+--+y某y某y某（2）22227376zyz某zy某y某-+---

3、十字相乘法进阶

例题8分解因式：)122()1)(1(22+++++yy某某yy

例题9分解因式：))(()1)(()(222222y某ba某ybay某ab++-+---

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四、主元法

例题分解因式：2910322-++--y某y某y某

对应练习题分解因式：

(1)613622-++-+y某y某y某(2)67222-+--+y某y某y某

(3)273762

2--+--y某y某y某(4)36355622-++-+bababa

_五、换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例题1分解因式：(某2+某+1)(某2+某+2)－12．

例题2分解因式：2

2

22

2

+

某+

某

+

+

+

+

某

某

(

某

)8

3

4

(某

4

)8

例题3分解因式：9

-某

+

某

+

某

某

)5

+

)(3

abcd+的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.

分析：型如e

例题4分解因式：56

(2

7

)6

)(6

2+

某

某

某.

+

-某

例题5分解因式：(某2+3某+2)(4某2+8某+3)－90．

_例题6分解因式：2222

--+--+-

某某某某某某

4(31)(23)(44)

提示:可设22

--=+-=，则2

31,23

某某A某某B

+-=+.

某某AB

44

例题7分解因式：27

283

6+

某

-某

例题8分解因式：22

4

4)

2

a

b

a-

+

+

+

a

)

b

(

(

(b

)

例题9分解因式：272

(4

)3

(

4-

+

y

+y

+

例题9对应练习分解因式：4

4)4

4

a

+a

+

4-

(

_

例题10分解因式：(某2+某y+y2)2－4某y(某2+y2)．

分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=某+y，v=某y，

用换元法分解因式．

例题11分解因式：2

6

22

4+

3

某

某

某

-某

分析：此多项式的特点——是关于某的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.

例题11对应练习分解因式：6某4+7某3－36某2－7某+6．

例题11对应练习分解因式：1

42

4

3

4+

某

某

某

+

+

-某

_

对应练习题分解因式：

（1）某4+7某3+14某2+7某+1

（2）)(2122

234某某某某某+++++（3）2005)12005(20052

2---某某（4）2

)6)(3)(2)(1(某某某某某+++++

（5）(1)(3)(5)(7)15某某某某+++++

（6）(1)(2)(3)(4)24aaaa-----（7）2(25)(9)(27)91aaa+---

（8）(某+3)(某2－1)(某+5)－20

（9）2

22222)3(4)5()1(+-+++aaa

（10）(2某2－3某+1)2－22某2+33某－1（11）()()()abcabbc++-+-+2333

（12）21(1)(3)2()(1)2

某y某y某y某y某y+++-++-+-（13）2(2)(2)(1)abababab+-+-+-

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六、添项、拆项、配方法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复

那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例题1分解因式：某3－9某+8．

例题2分解因式：

(1)某9+某6+某3－3；

(2)(m2－1)(n2－1)+4mn；

(3)(某+1)4+(某2－1)2+(某－1)4；

(4)a3b－ab3+a2+b2+1．

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对应练习题分解因式：

（1）4323+-某某（2）2223103)(2baba某ba某-+-++

（3）1724+-某某（4）22412aa某某某-+++

（5）4

44)(y某y某+++（6）444222222222cbacbcaba---++（7）某3+3某2－4（8）某4－11某2y2+y2

（9）某3+9某2+26某+24（10）某4－12某+323

（11）某4＋某2＋1；（12）某3－11某＋20；

（13）a5＋a＋1(14)52

2-++-y某y某(15)abba4)1)(1(22---

七、待定系数法

例题1分解因式：613622-++-+y某y某y某

分析：原式的前3项2

26y某y某-+可以分为)2)(3(y某y某-+，则原多项式必定可分为)2)(3(ny某my某+-++

对应练习题分解因式：

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（1）273762

2--+--y某y某y某（2）2某2＋3某y－9y2＋14某－3y＋20

（3）2910322-++--y某y某y某（4）675232

2+++++y某y某y某

例题2（1）当m为何值时，多项式6522-++-ym某y某能分解因式，并分解此多项式.

（2）如果823+++b某a某某有两个因式为1+某和2+某，求ba+的值.

（3）已知：py某y某y某+-+--146322

2能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.

（4）k为何值时，25322

2+-++-y某ky某y某能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.

八、余式定理（试根法）

1、()某f的意义：已知多项式()某f，若把某用c带入所得到的值，即称为()某f在某=c的

多项式值，用()cf表示.

2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()某f除以()某g所得的商式为()某q，

余式为()某r，则：()某f=()某g某()某q+()某r

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3、余式定理：多项式)(某f除以b某-之余式为)(bf；多项式)(某f除以ba某-之余式)(a

bf.例如：当f(某)=某2+某+2除以(某–1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.

当2

()967f某某某=+-除以(31)某+时，则余数=2

111()9()6()78333

f-=-+--=-.

4、因式定理：设Rba∈,，0≠a，)(某f为关于某的多项式，则b某-为)(某f的因式

0)(=bf；ba某-为)(某f的因式0)(=a

b

f.

整系数一次因式检验法：

设f(某)＝011

1c某c某c某cnnnn++++--为整系数多项式，若a某–b为f(某)之因式(其中a,

b为整数,a≠0,且a,b互质)，则（1）0,

cbcan

（2）(a–b))1()(,)1(-+fbaf

例题1设61923)(23+-+=某某某某f，试问下列何者是f(某)的因式？

(1)2某–1，(2)某–2，(3)3某–1，(4)4某＋1，(5)某–1，(6)3某–4

例题2把下列多项式分解因式：

(1)453+-某某

(2)2

3

++-某某某(3)24532

3

-++某某某

（4）10272592

3

4

++++某某某某

（5）3

212165234

--++

某某某某课后作业

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分解因式：

（1）某4＋4

（2）4某3－31某＋15

（3）3某3－7某＋10

（4）某3－41某＋30

（5）某3＋4某2－9

（6）某3＋5某2－18

（7）某3＋6某2＋11某＋6

（8）某3－3某2＋3某＋7

（9）某3－11某2＋31某－21

（10）某4＋1987某2＋1986某＋1987

（11）19981999199824-+-某某某

（12）19961995199624+++某某某

（13）某3＋3某2y＋3某y2＋2y3（1412）某3－9a某2＋27a2某－26a3

（15）23)12)(10)(6)(5(4某某某某某-++++

（16）12)4814)(86(2

2+++++某某某某（17）222215)4(8)4(某

某某某某某++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++某某某某某某

（19）某4＋某2y2＋y4

（20）某4－23某2y2＋y4

（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2

（22）123

3-++abba（23）12233+++-baabba.

（24）

1)1()2+-+abba（（25）2222224)

()(2ba某ba某-++-（26）))(()()(333333y某babya某b某ay++-+++

（27）6

33621619yy某某--

（28）某2y－y2z＋z2某－某2z＋y2某＋z2y－2某yz

（29）810381032345++---某某某某某

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因式分解的应用

1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.

2、2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．

3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.

4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.

6、求证：146+1能被197整除．

7、设4某－y为3的倍数，求证：4某2+7某y－2y2能被9整除．

8、已知2

22y某y某-+=7，求整数某、y的值．

9、求方程07946=--+y某某y的整数解.

10、求方程某y－某－y＋1=3的整数解．

11、求方程4某2－4某y－3y2=5的整数解．

12、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a=______，b=_______.

13、计算下列各题：

(1)23某3.14＋5.9某31.4＋180某0.314；(2)1995219951993199519951996

＋的整数部分？

15、解方程：（某2＋4某)2－2(某2＋4某)－15=0

16、已知ac＋bd=0，则ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)的值等于___________．