第三章线性系统状态方程的解

§3-1线性连续定常齐次方程求解

一、齐次方程和状态转移矩阵的定义

１、齐次方程

状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统

(t)Ax(t) 的状态方程的齐次部分为：xAx 线性定常连续系统：x

２、状态转移矩阵的定义

Ax有两种常见解法：齐次状态方程x（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为

At其中e称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： x(t)eAtx(0)。(t)eAt。

若初始条件为x(t0)，则状态转移矩阵记为：(tt0)eA(tt0)

对于线性时变系统，状态转移矩阵写为(t,t0)，它是时刻t，t0的函数。但它一般不能写成指数形式。

（１）幂级数法

Ax的解是t的向量幂级数 设x2k x(t)b0b1tb2tbkt

，bk，都是n维向量，则 式中b0，b1，b2，

(t)b12b2t3b3t2kbktk1 x2k A(b0b1tb2tbkt)

故而有：

b1Ab0112bAbAb0212211 b3Ab2A3b0 33!b1AKbK0k!且有x(0)b0。 故

2k x(t)b0b1tb2tbkt

1221Ab0tAkb0tk 2!k!1221kk (IAtAtAt)x(0)

2!k! b0Ab0t定义：eAt1221kk1IAtAtAtAktk

2!k!K0k!则x(t)eAtx(0)。

（２）拉氏变换解法

Ax两端取拉氏变换，有 将x sx(s)x(0)Ax(s) (sIA)x(s)x(0) x(s)(sIA)拉氏反变换，有

x(t)L[(sIA)]x(0) 则

(t)eAtL1[(sIA)1]

111x(0)

【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x和状态方程的解。

解：（１）求状态转移矩阵

01x，初始条件为x(0)，试求状态转移矩阵00(t)eAtIAt1221AtAktk 2!k!此题中：

010023n A， AAA00

00所以

2

(t)eAtIAt100t1t 010001 （２）状态方程的解 x(t)e

At1tx(0)x(0)

01【例3.1.2】 已知系统状态方程为x解。

解：x(t)eAtx(0) sIA10x，初始条件为x(0)，试求状态方程的231s1s00 0s232s312s31s1s21222s(s1)(s2)s1s2At (sIA)111s1s2 12s1s2 (t)e 故而

2ete2tL[(sIA)]t2t2e2e11ete2t t2te2e2ete2t x(t)ex(0)t2t2e2eAtete2tx(0) t2te2e%Example 3.1.2: %MATLAB syms s t x; A=sym('[0,1;-2,-3]'); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) x=lap*x 二、状态转移矩阵eAt的性质

(t)eAtIAt1221AtAktk 2!k!（1）(0)I

(t)A(t)(t)A （2）(0)A （3）(t1t2)(t1)(t2)(t2)(t1) 证明：(t1t2)eA(t1t2)eA(t1)eA(t2)(t1)(t2)(t2)(t1)

3-3

（4）(t)(t)，(t)(t)

证明：(0)(tt)(t)(t)I(t)(t) （5）x(t)(tt0)x(t0) 证明：x(t)(t)x(0)

1 x(t0)(t0)x(0)x(0)(t0)x(t0)，代入上式

111 ∴x(t)(t) 证毕。

1(t0)x(t0)(tt0)x(t0)

（6）(t2t0)(t2t1)(t1t0)

证明：x(t2)(t2t0)x(t0)………………………. …………………(1) x(t1)(t1t0)x(t0)……………………………………………(2) x(t2)(t2t1)x(t1)(t2t1)(t1t0)x(t0)…………….(3) 比较（1）、(3)式，有(t2t0)(t2t1)(t1t0)成立。证毕。

（7）(t)(kt)

kAtkkAtA(kt)(kt) 证明：(t)[e]eek（8）若ABBA，则e(AB)teAteBteBteAt eAteBteBteAt

若ABBA，则e(AB)tAx的状态转移矩阵，引入非奇异变换xPx后的状态转移矩阵为： （9）设(t)为x (t)PeP

1AtAx中，有 证明：将xPx代入x1P1APt xPAPx (t)e

eP1APtIP1APt111(PAP)2t2(P1AP)ktk 2!k!

4

111(PAP)2t2(P1AP)ktk 2!k!1221kk1 P(IAtAtAt)P

2!k! PPPAPt11 PeP ∴(t)PeP。证毕。

（10）两种常见的状态转移矩阵

①设Adiag[1,2,,n]，即A为对角阵，且具有互异元素。则

1At1Ate1t0 (t)0ent②设A为mm约当阵

 Ate10，则(t)1mm0tetet012tte2!tet01tm1et(m1)!1m2tte (m2)!et

【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 eAt2ete2tt2t2e2eete2t t2te2e 试求1(t)和A。

解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知

2ete2t (t)(t)t2t2e2e1ete2t t2te2e （2）根据状态转移矩阵的性质2，可知

2et2e2t A(0)t2t2e4e

1et2e2t0

et4e2tt023

3-5

【例3.1.4】 已知

011 A1044 试求状态转移矩阵e。 解：根据状态转移矩阵的性质10，可知

At (t)eAtte000tetet0012tte2tetet013tte612tte 2tteet

【例3.1.5】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。

001

sintcost 00costsint解：利用性质（1）(0)I

001100001I，所以该矩阵不是状态转移矩阵。

sintcost 00costsintt0010

Ax， 【例3.1.6】 已知系统状态方程为xe2t1 当x(0)时，x(t)2t

1e2et2 当x(0)时，x(t)t

1e 试求系统矩阵A和状态转移矩阵e。

At(0) 解：由性质（2）可知：A由已知，有

e2t x(t)ex(0) 2teAt22etAt1e11 te

6

∴eAte2t2te2etet21111e2t2te2et12 t11e2ete2t t2tee2et2e2t t2te2e

∴A(t)2et2e2t2et4e2tt0et2e2tet4e2t0t01

§3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解

线性定常非齐次状态方程：xAxBu，求x(t)。 1、直接积分法

xAxBu左乘eAt，有

eAt(xAx)eAtBu 由于d(eAtx)eAtdt(xAx) 所以ddt(eAtx)eAtBu，两端同时积分，有

eAtx(t)x(0)t0eABu()d

∴x(t)eAtx(0)t0eA(t)Bu()d

(t)x(0)t0(t)Bu()d 注意：若取t0作为初始时刻，积分可得： eAtx(t)eAt0x(tt0)teABu()d

0 x(t)eA(tt0)x(tt(t)0)teABu()d

0

2、拉氏变换法

xAxBu，两边同时取拉氏变换 sx(s)x(0)Ax(s)Bu(s) (sIA)x(s)x(0)Bu(s)

3-7

23 则 x(s)(sIA)x(0)(sIA)Bu(s) x(t)L[(sIA)]x(0)L[(sIA)Bu(s)] 由拉氏变换卷积定理： L[F1(s).F2(s)]11111111tt0f1(t).f2()d

在此(sIA)视为F1(s)，Bu(s)视为F2(s)。则

AtA(t)Bu()d x(t)ex(0)e0

100【例3.2.1】 已知系统状态方程为xx1u，输入u(t)1(t)，

23 初始条件为x(0)解：由已知有

x(t)ex(0)AtAtx1(0)，试求解此非齐次状态方程。 x2(0)t0eA(t)Bu()d

（1）先求e，由前面例题可知 etAt2ete2tt2t2e2eete2t

et2e2t（2）求

0eA(t)Bu()d

A(t)

t0e2e(t)e2(t)Bu()d02e(t)2e2(t)te(t)e2(t)0d (t)2(t)e2e1 t0e(t)e2(t)d (t)2(t)2eet 0e(t)e2(t)d(t) (t)2(t)2ee12t(t)12(t)t1teeee  222e(t)e2(t)ete2t0故而

8

2ete2t x(t)t2t2e2e

112ttete2tx1(0)ee 22et2e2tx2(0)ete2t12t1tx1(0)0ee 特别说明：若x(0)，则x(t)22ete2tx2(0)0其状态轨迹图可以MABLAB绘出： %Example 3.2.1 matlab program:

grid;

xlabel('时间轴');

ylabel('x代表x1，----*代表x2'); t=0:0.1:10;

x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,'x',t,x2,'*') end

3-9

§3-3 状态转移矩阵eAt的计算

1、直接幂级数法

eAt1221kk1IAtAtAtAktk

2!k!K0k!2、拉氏变换法

eAtL1[(sIA)1]

3、利用性质，采用对角化的方法

【例3.3.1】 已知系统状态方程为x10x，试利用对角化的方法求eAt。 23解：det(IA)(1)(2)0，解出特征值11，22。 选用变换阵P，使P1AP对角化。由于A为友矩阵，故P可选为： P根据e而e111111211， P1211

21AtAtP1APtPeP可推出：e10t02PeP1APtP1

PAPteet00 e2t∴e

AtPeP1APtP12ete2tt2t2e2eete2t

et2e2t4、利用Caylay-Hamilton定理计算（待定系数法）

（1）Caylay-Hamilton定理

设n阶矩阵A的特征多项式为：

f()IAnan1n1a1a0

则A满足其特征方程，即

nn1 f(A)Aan1Aa1Aa0I0

（2）推论1

矩阵A的k（kn）次幂，可表示为A的(n1)阶多项式

k Am0an1mAm，kn

10

【例如】 已知A12100，求A? 01解：A的特征多项式为：

f()IA221

根据Caylay-Hamilton定理，有

f(A)A2AI0， ∴A22AI

故AAAA(2AI)2AA2(2AI)A3A2I AAAA(3A2I)3A2A3(2AI)2A4A3I 依次归纳，有：

AkA(k1)I 所以有：A100100A99I

（3）推论2

状态转移矩e可表示为A的(n1)阶多项式 eAtk4323222100200990120009901

0100Atam(t)Am

m0n1 式中，a0(t),a1(t),,an1(t)均为幂函数。

【例3.3.2】 已知系统状态方程为x10x， 23At 试利用Caylay-Hamilton定理求e解：（1）求系统矩阵A的特征值

。

det(IA)0 (1)(2)0， 解出11，22

，n，写出如下方程组： （2）一般情况下，对于n个互异的特征值1，2，2n1a0a11a21an11e1tt2n1a0a12a22an12e2 nt2n1a0a1na2nan1ne

3-11

，an即可。对于本例： 并解出a0，a1，a0a11e1ta0a1et   2t2ta02a1ea0a12et2tt2t解出a02ee，a1ee

，n的情况，按下式计算e（3）对于系统具有n个互异的特征值1，2，At2n1 ea0Ia1Aa2Aan1A

At：

对于本例有： e

At2ete2ta0Ia1At2t2e2eete2t t2te2e§3-4 离散系统状态方程的解

一、由差分方程建立动态方程

线性离散系统的动态方程可以充分利用差分方程建立，也可以利用线性连续动态方程的

离散化得到。

SISO线性定常离散系统的差分方程一般形式为：

y(kn)an1y(kn1)a1y(k1)a0y(k)bnu(kn)bn1u(kn1)b1u(k1)b0u(k)

式中，k表示kT时刻；T为采样周期；y(k)、u (k)分别为kT时刻的输出量和输入量；ai、bi（i0，1，2，，n， 且an1）为表征系统特征的常数。

考虑初始条件为零时的Z变换关系有：

Z[y(k)]y(z)， Z[y(kn)]zy(z) 对上边式子两边取Z变换，并整理为：

ny(z)bnznbn1zn1b1zb0 G(z)nn1u(z)zan1za1za0 bnn1zn11z0znan1zn1a1za0

12

bnN(z) D(z)按连续系统的方法，对N(z)/D(z)做串联分解，最后可得到离散系统状态空间表达式的一种形式：

x1(k1)0x(k1)02 x(k1)n10xn(k1)a0

y(k)0简记为： 

100a1010a20x1(k)0x(k)002u(k)

1xn1(k)0an11xn(k)12n1x(k)bnu(k)

x(k1)Gx(k)hu(k)

y(k)cx(k)du(k)MIMO线性定常离散系统的动态方程为： x(k1)Gx(k)Hu(k)

y(k)Cx(k)Du(k)

离散系统的一般结构图

【例3.4.1】设某线性离散系统的差分方程为：

y(k2)y(k1)0.16y(k)u(k1)2u(k) 试写出系统的状态空间表达式。 解：离散系统的状态空间表达式为： x(k1)Gx(k)hu(k)

y(k)cx(k)du(k)3-13

其中：G

100， h， c21， d0 0.1611二、线性定常连续系统动态方程的离散化

AxBu在x(t0)及u(t)作用下的解为： 线性定常非齐次状态方程x x(t)eA(tt0)x(t0)eA(t)Bu()d

t0t 或x(t)(tt0)x(t0)令t0kT，则x(t0)x(kT)x(k)

tt0(t)Bu()d

t(k1)T，则x(t)x[(k1)T]x(k1) u(k)u(k1)常数，于是 x(k1)[(k1)TkT]x(k) (T)x(k)

记H(T)(k1)TkT[(k1)T]Bdu(k)

(k1)TkT[(k1)T]Bdu(k)

(k1)TkT[(k1)T]Bd

令(k1)T，则代换后有 H(T)T0()Bd()Bd

0T故离散化状态方程为：x(k1)G(T)x(k)H(T)u(k) 输出方程为：y(k)Cx(k)Du(k)

G(T)(T)(t)tT H(T)()Bd 0T14

【例3.4.2】试写出连续时间系统

 x010xu 021 采样周期为T的离散化状态方程。 解：先求e

At(t)eAts1L1[(sIA)1]L1

0s2111s L01s(s2)110s21(1e2t) 22teG(T)(T)(t)tT10T1(1e2T) 2e2T112T(1e2)0(1e)dd 2201e2e2H(T)()Bd0T010112T12T11Tee22444  112T12ee2022所以：

x(k1)G(T)x(k)H(T)u(k)

112T11Te2Tx1(k1)1(1e)x1(k)244 2u(k) 11x(k1)x(k)2T2T20ee222

例3.4.2连续系统离散化MATLAB程序： %Example3.4.2 : Continuous to discrete system

A=sym('[0,1;0,-2]') B=sym('[0;1]') T='T'

[G,H]=c2d(A,B,T)

3-15

%example3.4.2的另一种MATLAB程序： syms s t T;

A=sym('[0,1;0,-2]'); B=sym('[0;1]'); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) G=subs(lap,'T')

H=int(symmul(lap,B),0,T)

三、离散系统状态方程的解

两种解法：递推法和Z变换法。

递 推 法：又称迭代法，对于定常和时变系统都适用。 Z变换法：只适用于定常系统。

1、递推法

x(k1)G(T)x(k)H(T)u(k) 依次令k0,1,2,，从而有

k0 x(1)G(T)x(0)H(T)u(0) k1 x(2)G(T)x(1)H(T)u(1)

G(T)x(0)G(T)H(T)u(0)H(T)u(1)

2k2 x(3)G(T)x(2)H(T)u(2)

G(T)x(0)G(T)H(T)u(0)G(T)H(T)u(1)H(T)u(2) ………… 依此类推。

递推公式为：

x(k)G(T)x(0)k32kGi0k1k1i(T)H(T)u(i)

其中G(T)称为线性定常离散系统的状态转移矩阵，记为(k)。 G(T)(kT)(k)

（(k)满足：(k1)G(k)； (0)I）

k

16

【例3.4.3】已知某离散系统的状态方程是： x(k1)G(T)x(k)H(T)u(k) G1011，，初始状态，u(k)1， Hx(0)0.16111 试用递推法求解x(k)。 解：x(1)G(T)x(0)H(T)u(0)11100 0.161111.84 x(2)G(T)x(1)H(T)u(1)1012.8401.8410.84

0.16112.8410.160 0.1610.8411.386 x(3)G(T)x(2)H(T)u(2)

显然，用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式，而是一个解序列。

采用MATLAB语言，求解例3.4.3：

%Example 3.4.3 G=[0,1;-0.16,-1]; H=[1;1]; U=1;

X1=[1;-1]; hold on; for k=1:400 X1=G*X1+H*U plot(X1(1),X1(2),'*'); end

2、Z变换法

设定常离散系统的状态方程是： x(k1)Gx(k)Hu(k) 两边取Z变换：

zx(z)zx(0)Gx(z)Hu(z)，整理有 (zIG)x(z)zx(0)Hu(z)

3-17

∴x(z)(zIG)zx(0)(zIG)Hu(z) 两边取Z反变换：

x(k)Z[(zIG)zx(0)]Z[(zIG)Hu(z)]

【例3.4.4】已知某离散系统的状态方程是： x(k1)G(T)x(k)H(T)u(k) G1111111011，，初始状态Hx(0)11，u(k)1，

0.161 试用Z变换法求解x(k)。 解：

(zIG)1z1(z0.2)(z0.8)1z0.160.16z1(z0.2)(z0.8)11(z0.2)(z0.8)

z(z0.2)(z0.8)43 z0.2415z0.2而 x(z)(zIG)[zx(0)Hu(z)] u(z)113z0.8415z0.8533z0.2z0.8

4133z0.2z0.85z z1z2zzz1z1 zx(0)Hu(z)z22z zzz1z1(z22)z(z0.2)(z0.8)(z1) ∴x(z)2(z1.84z)z(z0.2)(z0.8)(z1)

18

z22z25z17()()()6z0.29z0.818z1 3.4z17.6z7z()()()9z0.818z16z0.2对x(z)取z反变换，有

222517kk(0.2)(0.8)918 x(k)63.417.67kk(0.2)(0.8)6918

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