一类非线性高阶波动方程的初值问题局部解的存在性

第２５卷第２期　郑州轻工业学院学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＺＨＥＮＧＺＨＯＵ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＬＩＧＨＴ　ＩＮＤＵＳＴＲＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ｝　ＶｏＩ＿２５　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．２０１０　２０１０年４月　文章编号：１００４—１４７８（２０１０）０２—０１２１—０４　一类非线性高阶波动方程的　初值问题局部解的存在性　侯长顺　，　黄士国　（１．河南工业大学理学院，河南郑州４５００５２；　２．郑州轻工业学院数学与信息科学系，河南郑州４５０００２）　摘要：讨论了一类非线性高阶波动方程初值问题，利用Ｆｏｕｒｉｅｒ变换和压缩映射原理证明了局部广　和局部古典解的存在唯一性．　关键词：非线性高阶波动方程；初值问题；局部广；局部古典解　中图分类号：０１７５．２　文献标志码：Ａ　Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈｅｒ　ｏｒｄｅｒ　ＨＯＵ　Ｃｈａｎｇ—ｓｈｕｎ。，ＨＵＡＮＧ　Ｓｈｉ—ｇｕｏ　（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈ．ａｎｄ　Ｐｈｙ．，Ｈｅｎａｎ　Ｕｎｗ．ｏｆＴｅｃｈ．，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００５２，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈ．ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒ．Ｓｃｉ．，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖ．ｏｆＬｉｇｈｔ　Ｉｄ．，ｎＺｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５０００２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　Ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈｅｒ　ｏｒｄｅｒ　ｗａｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒａｃｔｉｖｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｗａｖｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈｅｒ　ｏｒｄｅｒ；ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｌｏｃａｌ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｌｏｃａｌ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．　Ｏ引言　在文献［１］研究稠密晶格动力学时，研究了一维均匀格的波的传播，借助于连续性方法得到了描述均匀　格的波的传播的较精确的方程　Ｕ站一ａｌｕ　＋口２ｕ　４＋口３ｕ４＝　）　，　∈Ｒ，ｔ＞０　其中ｕ（ｘ，ｔ）未知函数，ａ。，口　，ａ，＞０都是常数　ｓ）为已知的非线性函数．文献［２］利用压缩映射原理和解的　延拓定理证明了该方程的初边值问题的整体古典解的存在唯一性，并给出了古典解爆破的充分条件．现有　的文献中，还没见到有学者研究该方程的初值问题．本文将利用变换和压缩映射原理来研究该方程的初值　收稿日期：２００９—０５—３１　基金项目：河南省教育厅自然科学研究基￣（２００９Ｂ１１０００７）；河南工业大学校基金（ｏ７）（Ｊｃ０４５）　作者简介：侯长顺（１９８０一），男，河南省平顶山市人，河南工业大学讲师，主要研究方向为非线性发展方程．　・１２２・　郑州轻工业学院学报（自然科学版）　２０１０证　问题　“一ａｌＵ黜＋ａ２ｕ　４＋口３ｕ４＝　）　，　∈Ｒ，ｔ＞０　①　②　ｕ（ｘ，０）＝　（　），ｕ　（　，０）＝ｊ　（　），　∈Ｒ　其中，　（　），　（戈）是已知的初始函数，下标　和ｔ分别表示对　和ｔ的导数．本文采用以下记号和概念，记　为通常的尺上所有Ｐ次可积函数组成的空间，并赋予范数　ｌ　＝ｌ１／１　（１≤ｐ≤∞），特别地，　ｌ＝　ｌ　；记　是通常的Ｒ上的Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，具有范数Ｉｌｕｌｌ旷＝Ｉｌ（１　Ｉ　ｌ　）＇ｈａｌＩ，ｎ（　，ｔ）是ｕ（ｘ，ｔ）关于　的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换．　首先给出后面要用到的几个引理．　引理１　（Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入定理）当ｓｉ＞３／２时，则　（Ｒ）可嵌入ｃ　（Ｒ）．　引理２［３　设　∈ｃ　（Ｒ）　０）＝０，ｓ≥１，则对于　∈　，有ｆ　ｕ）　≤Ｇ　ｌｌＭ　，其中ｃ，是与ｆｉＭ　有关　的常数．　引理３［４　设ｓ，，ｓ：≥ｓ＞１／２，则对　∈　－，　∈　ｚ，有估计式Ｉ　Ｊ聊　≤Ｃ２　Ｉ．ＩＩ　Ｉｖ　Ｊ　：，其中　是与　和　都无关的常数．　１　问题①，②的局部解的存在性与唯一性　首先考虑线性问题　Ⅱ“一ａＩＭ黜＋ｎ２　＋０３ｕ４＝ｇ（　，ｔ），　ｅＲ，ｔ＞０　Ｍ（　，０）：　（　），Ｍ。ｘ，０）＝　（　），　∈Ｒ，　③　④　引理４设　∈　，驴∈　，ｇ∈　（０，Ｔ；Ｗ－２），ｓ　ＥＲ，ｔ＞０，则线性问题③，④有唯一的解　∈Ｇ（［０，　］；／Ｐ）ｎ　Ｃ　（［０，　］；　）　ｃ２（［０，　；　），且成立估计式　ｌｌｕ（・，ｆ）ＩＩ　＋Ｉｌ　（・，ｔ）Ｉｌ　＋ｌｌｕｏ（・，￡）ｌｌ　≤（１＋２　。）ＩＩ　Ｉｌ俨＋（ｔ＋ｋ。＋１）Ｉｌ　ｌ　＋　ｌｋ￣ｌｌｇ（・，　）｝　ｔ＋【２（２ｔ＋＿　＝）＋ｋａ　ａ　２＋ｋｌ　Ｊ上ｌＩｇ（・，ｒ）Ｉ　Ｊ＿２ｄｒ，０≤　≤　＾／　，　，　”　⑤其中＾＝，一｛１，√等）　＝２√，＋丢．　证明同类似于文献［５］的方法。关于方程③做Ｆｏｕｒｉｅｒ变换．易得　＋　亩　由⑥可得　ｃ　，ｔ，＝一　ｃ　，、南ｓｉｎ　⑥　／　二　ｉｎ　・　／　二　，＋・　ｃ　，ｃ。ｓｃｔ・　，、／　二　，＋　ｒ　南　．ｒ　五　（　，ｔ）＝一　（　）ｌ　Ｉ　Ｌ　－＿芝　同样地，成立　鼹ｉｎ（　ＪＮ／一ａ，＋ａ２ｓｅ２）＋　南一　ｔ　１　√／ａ焉ｌ＋ａ２￥２　ｉｎ（（…）　ｆｊ（１＋　２　ｓ　Ｉ　筹咖　⑦　第２期　侯长顺，等：一类非线性高阶波动方程的初值问题局部解的存在性　・１２３・　（１＋　）　ｓ｛ｆＡ（，　）ｌ　Ｉｌ　≤南。　⑧　ｌ　ｆＩ《＝ｌ＋　）　）南　：　（．，圳　ｚ　⑨　ｌｊ（１＋ｓｅ２）￣－　南　藤）ｓｉｎ（（ｔ－ｒ　ｌ藤）　ｌｇ（・　⑩　由⑦一⑩，可以得到　ｌｌｕ　（・，ｆ）ｆＩ，ｅ≤ｋ－『　Ｉ『Ｉ矿＋ｋｌ　ｆ１０１１　＋ＪＩ｝２　ｌＩｇ（・，￡）Ｉ　ｌ一ｚ＋ｋｌｋ２【ｌｌｇ（・，ｒ）ｌｆ旷一　ｄｒ，０≤　≤Ｔ　⑥　由⑩可知⑤式成立，引理得证．　对　，Ｔ＞０，　∈　，　∈　，定义　Ｘ（Ｍ，Ｔ）＝｛Ｗ　　ＩＷ∈Ｃ（［０，Ｔ］；　）ｎ　Ｃ　（［０，Ｔ］；　）ｎ　Ｃ。（［０，Ｔ］；　），Ｗ（　，０）＝　，Ｗ　（　，０）＝　，　ｍ　ａｘ　　［Ｉ１ｗ（。，ｔ）ＩＩ，ｅ＋Ｉ１ｗ　（‘，ｔ）　＋Ｉ１ｗ　（’，ｔ）　】≤　｝，从而可定义　（　，　）中的距离为　。ｄ（ｗ，　）＝ｍ　ａｘ　　［１１ｗ一　ｌｌ　＋Ｉ１ｗ　一Ｗｔｌｌ　＋Ｉ１ｗ　一　ｉｌ　］‘　，Ｖ　，　ｅＸ（Ｍ，　）　。对Ｗ　Ｅ　Ｘ（Ｍ，Ｔ）和，Ｅ　Ｃ　（Ｒ），考虑线性方程　一ａｌｕ　＋Ⅱ　４＋口３Ｕ４＝　Ｗ　）　，　∈Ｒ，ｔ＞Ｏ　假定　０）＝０，若不然，用　ｓ）一　（０）代替　（ｓ）．定义Ｓ是把Ｗ映到方程⑥的唯一解的映射．下面证明对适　当选择的Ｍ和　，映射Ｓ在Ｘ（Ｍ，Ｔ）中有唯一的不动点．　引理５设ｓＩ＞３／２，　∈　，　∈　和，∈Ｃ　Ｊ＋　（Ｒ）　０）＝０，则对充分大的Ｍ和充分小的Ｔ，Ｓ映Ｘ（Ｍ，Ｔ）　到Ｘ（Ｍ，Ｔ）．　．　证明对Ｍ，Ｔ＞０和Ｗ∈　（Ｍ，　），由引理４得Ｉｌｕ（・，ｆ）　＋Ｉｌｕ　（・，￡）　＋ｆｌｕ　（・，￡）　≤（１＋　２ｋ１）　旷　＋¨１）ｌ￣ｌ　＋ｋ２ｌ　Ｗｘ　ｚ＋［２（２Ｈ去）　“　】　ｌ　Ｈａ－２ｄＴ，０≤ｔ≤Ｔ，　当ｓＩ＞３／２时，利用Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌人定理和引理２，可知　ｆＬｆ（Ｗ　）　ＩＩ，ｅ一　≤Ｉｉｆ（Ｗ　）　一－≤ｃ。（　）Ｉ１ｗ　一－≤ｃ　（　）Ｉ１ｗｌ　ｌ≤ｃ。（　）　因此　Ｌ［　＾２１（２Ｈ　／　ａ　，　ａ　１　Ｊ　川　ｚ打≤ｃ－（Ｍ）ＭＴ　【Ｌ　２（２Ｈ去　ｚ／　ａ　１　ａ　　ｋｌ：】Ｊ　⑩　利用引理３，可得　ｆ　Ｗ　）　≤ＪＬｗ（Ｗ　）　一一Ｉ　Ｗ　（　，０））＋』抓Ｗ　（　，　））　ｄ￣－ＩＩ　一一≤ｃ　（　）ＩＩ￣，ｌｌ　＋Ｃ。（　）ｃ　⑩　由⑩和⑩可得　ＩⅡ（・，ｔ）ｆｌ　＋Ｉｌｕ　（・，￡）ｌＩ　＋Ｉｌｕ　（・，　）Ｉｌ　≤（１＋２ｋ。＋Ｃ。）Ｉｆ　Ｉｌ　＋（Ｔ＋ｋ，＋１）Ｉ　Ｉｆｌ矿＋　Ｃｌ（　）Ｃ２Ｍ２Ｔ＋ｃｌ（Ｍ）ＭＴＩ　２（２ｔ＋　）＋ｋ２＋ｋｌｋ２　ｌ　⑩　如果Ｍ和　满足　２【（１＋２ｋ。＋Ｃ　）ＩＩ　Ｉ　Ｉ＋（　。＋２）ｌｌ　ＩＩ旷】≤　⑩　ｉｎ｛・，丢｛Ｃ１（Ｍ）Ｃ２Ｍ２　（删［２（２＋去　后ｉｋ２　⑩　则⑩的右端不超过Ｍ，所以｝ｌ（Ｓｗ）（ｔ）　≤　，ｖＷ∈Ｘ（Ｍ，Ｔ）．　引理６假设引理５的条件成立　∈Ｃ　（　），则当Ｍ充分大和　相对于Ｍ充分小时，Ｓ映Ｘ（Ｍ，Ｔ）到　（Ｍ，Ｔ）是严格压缩的．　・１２４・　郑州轻工业学院学报（自然科学版）　２０１０年　证明　对　，　＞０和Ｗ１，　２∈Ｘ（Ｍ，Ｔ），记Ｍ１：Ｓｗｌ，Ｍ２＝Ｓｗ２，加＝Ｗ１一　２，Ｕ＝“１一ｕ２，显然Ｕ满足如下的　初值问题：　一０１　＋口２　＋。３　＝厂（　１）　一厂（　２　）　ｕ（ｘ，０）＝　（　，０）＝０，　由引理４知　『　（・，Ｉ　）ｌｌ　＋ｆｌ　（・，￡）『　＋『Ｉ　（・，Ｉｔ）『Ｉ　≤ｋ：ｌ　．（　。　）　一　２　）　『　Ｉ一：＋　＋去　｜ｉ｝ｚ】　一　ｄ　⑩　由引理１—３可得　上Ｉ　－　）　一ｆ（ｗｚ　）　Ｉ　ｌ一２ｄ　≤　ｌ　。　）一ｆ（ｗｈ）ＩＩ矿一・ｄ下　ｊｌ　ＩＩｆ　ｗｚ　＋　（ｔｔ，。　一Ｗ２ｘ））ｗ，　一Ｗ２ｘ）ＩＩｘ一－ｄ　３ＭＣ　（Ｍ）Ｃ２ｒｍａｘｌｌｗ　一加ｈ　ｌＩ　一，≤３ＭＣ１（Ｍ）Ｃ２ｒｍａｘｌｌｗｌｌ　～　Ｉ　Ｗｌｘ）　一ｆ（Ｗ２ｘ）　ＩＪ　一：≤Ｉ　Ｗｌｘ）一ｆ（ｗ２￣）１矿．－＝ｌ｝　Ｗｌｘ）　一　彬　）　ｄｒ　一，　＝【ＩＬｆ（ｗｈ＋０２（ｗ，　一Ｗ２ｘ））ｗ】　一埘ｈ）加，　＋，　ｗ　）ｗ　一Ｗ２ｘｒ）ｌＩ矿一－ｄｒ　：３Ｃ　（Ｍ）Ｃ２ＭＴ（Ｍ＋１）ｍａｘ（｝１ｗ　一　ｈｌＩｘ－　＋ｌ　１Ｊ　一Ｗｈ，｝ｆ旷一　）　≤３Ｃ。（　）Ｃ２ＭＴ（Ｍ＋１　ｍａｘ（１ｌＩ￡，ｌｌ　一　＋｝ｆ彬　ｌＩ　一ｔ）　⑩　由⑩和⑩可知　ＩＩＵ（・，ｔ）ｆ　Ｊ矿＋｝Ｉ　（・，　）ｌ　＋ＩＩ｝Ｍ　（・，ｔ）ｌＪ矿≤３｜ｊ｝　Ｃ　ｃ２ＭＴ（Ｍ＋１）ｍａｘ（ｊ１ｗｌｌ　一　＋ｌＪ　；ＩＩｘ－　）＋　３１２（２ｔ＋Ｆ１）＋　２＋ｋｌｋ２１们１Ｃ２Ｔｍａ）【　一－　√０＂２“３　由此知道，若　和　分别满足⑩，⑥，以及　ｉｎ　｛ｋ２ＣＩＣ２Ｍｃ…　２　ｃ２ｎ去　ｚ　后：】　ｔ　）　），　则｝　（Ｉ　）＿＜￣ｌｌｗｌｌ　（村　．引理证毕．　．　由压缩映射原理及解的延拓性定理，易得下面定理成立．　定理设ｓ＞￣３／２，　∈／／＇，沙∈　∈Ｃ　］＋　（Ｒ）　０）＝０，则问题①，②有唯一的局部广ｕ（　，ｔ）∈Ｃ　（［０，　］；　（Ｒ））ｎＣ　（［０，７＇ｏ］；　（Ｒ））ｎＣ。（［０，Ｔｏ］；　（Ｒ）），其中［０，Ｔｏ）是最大时间区间．　设ｕ（ｘ，ｔ）∈Ｃ（［０，ｒｏ］；　（Ｒ））是初值问题①，②的局部广，则当ｓ＞９／２时，“（　，ｔ）∈Ｃ　（［０，７＂ｏ］；　ｃ４（尺））是问题①，②的局部古典解．　参考文献：　［１］Ｐｈｉｌｉｐ　Ｒｏｓｅｎａｕ．Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｏｆ　ｄｅｎｓｅ　ｌａｔｔｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｒｅｖｉｅｗ　Ｂ，１９８７，３６（１１）：５８６８．　［２］　韩献军，陈国旺．一类非线性高阶波动方程的初边值问题［Ｊ］．数学物理学报，２００７，２７Ａ（４）：６２４．　［３］Ｇｕｏ　Ｂｏｌｉｎｇ，Ｍｉａｏ　Ｃｈａｎｇｘｉｎｇ．Ｏｎ　ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ＧＢＢＭ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ　Ｐａｒｔｉｌａ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ，１９９５，８（３）：１９３．　［４］　Ｗａｎｇ　Ｓｈｕｂｉｎ，Ｃｈｅｎ　Ｇｕｏｗａｎｇ．Ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒｌａｉｚｅｄ　ｄｏｕｂｌｅ　ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ＴＭＡ，　２００６，６４：１５９．　［５］　王艳萍，郭伯灵．一类广义Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ型方程Ｃａｕｃｈｙ问题［Ｊ］．数学年刊，２００８，２９Ａ（２）：１８５．