现代控制工程大作业

目 录

题目一： .............................................. 1 一、系统设计及仿真分析 .................................. 1

1、确定被控系统状态空间表达式 ........................................ 1 2、系统能控、能观性判别 .............................................. 1 3、系统极点配置 ...................................................... 1 4、确定状态反馈增益矩阵F ............................................ 2 5、确定输入变换线性放大器K .......................................... 2 6、验证跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差ev .............................. 2 7、利用SIMULINK建立控制系统的动态仿真模型 ........................... 3 （1）跟踪单位阶跃信号的动态仿真分析 ................................ 3 （2）跟踪单位斜坡信号的动态仿真分析 ................................ 3

二、采用全维状态观测器的状态反馈系统 ...................... 4

1、配置闭环系统状态观测器极点 ........................................ 4 2、确定观测器偏差反馈增益矩阵G ...................................... 4 3、利用SIMULINK建立系统动态仿真模型 ................................. 5 （1）对单位阶跃输入信号仿真分析 .................................... 5 （2）对单位斜坡输入信号仿真分析 .................................... 6 4、与采用直接状态反馈的控制系统仿真结果比较 .......................... 7 ˆ(0)0时的仿真结果比较 .............................. 7 （1）x(0)0且xˆ(0)222时的仿真结果比较 ........................ 7 （2）x(0)0且x5、单位阶跃输入作用下状态估值误差收敛性分析 .......................... 8 （1）收敛过程分析 .................................................. 8 （2）收敛速度与状态观测器极点的关系及对系统性能的影响 .............. 9

三、实现状态反馈的降维观测器设计 ......................... 10

1、通过线性变换使状态向量按输出可检测性分解 ......................... 10 2、确定降维观测器的反馈增益矩阵 ..................................... 10 3、列写降维观测器状态方程并重构原系统状态 ........................... 11 4、利用SIMULINK建立系统动态仿真模型 ................................ 11 （1）跟踪单位阶跃信号的动态仿真分析 ............................... 12 （2）跟踪单位斜坡信号的动态仿真 ................................... 12

题目二： ............................................. 14 一、线性二次型最优控制律设计 ............................ 14

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1、判断系统是否具有最优控制律 ....................................... 14 2、非零给定点的最优控制设计及仿真分析 ............................... 14 3、权矩阵的各权值对动态性能的影响分析 ............................... 16 （1）固定q22q331 ，使 q11分别取1，10,100,1000 ................. 16 （2）固定q11q331 ，使 q22分别取1，10,100,1000 ................. 17 （3）固定q11q221 ，使 q33分别取1，10,100,1000 ................. 18 4、使系统具有良好动、静态性能的线性二次型最优控制 ................... 19

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题目一：

设被控系统的传递函数为Go(s)1，现在采用带有输入变换的状态反馈控

s(s6)(s12)制（如教材图5-15）改善系统的性能，要求控制系统满足如下性能指标：超调量5%；调节时间ts0.5秒；跟踪阶跃输入信号的稳态误差ep0；跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差ev0.2。

(1)根据控制系统综合指标设计状态反馈增益矩阵F及输入变换线性放大器K，并在SIMULINK中建立控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析。 (2)根据控制系统的响应速度，合理确定状态观测器系统矩阵期望特征值的分布，设计对状态向量x进行估计的全维状态观测器以实现状态反馈，并保证控制系统的性能仍满足要求；在SIMULINK中建立采用状态观测器实现状态反馈的控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析，并与采用直接状态反馈的控制系统仿真结果比较；观察单

ˆ与状态真实值x的误差的收敛过程，并研究状态估计误差收位阶跃输入作用下状态估计值x敛速度与状态观测器极点的关系及其对系统性能的影响。

(3)设系统输出量可准确测量，试设计实现状态反馈的降维观测器，在SIMULINK中建立采用降维状态观测器实现状态反馈的控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析。

一、系统设计及仿真分析

1、确定被控系统状态空间表达式

被控系统传递函数为

Go(s)1

s(s6)(s12)则其能观型状态空间表达式为

01x0y00010u072x 118001x2、系统能控、能观性判别

系统能控性判别矩阵QcBAB100 A2B010001则rankQc3n，所以系统完全能控；又因为其状态空间表达式为能观标准型，所以系

统完全能观。

综上所述，此系统既能控又能观。

3、系统极点配置

根据系统性能指标要求：5%，ts0.5

12由e文案大全

可推出0.690107，取0.7；由ts5%，

3.5n得n10，0.7，0.5，

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取n11。

n2根据经典控制理论，二阶系统闭环传递函数标准形式为(s)2，将

s2nsn20.7，n11代入式s22nsn20，得期望的闭环主导极点为1,27.7j7.8556；

选择一个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上，即37.7646.2。则期望的闭环特征多项式为

p*(s)(s1*)(s2*)(s3*)s361.6s2832.48s5590.2

4、确定状态反馈增益矩阵F

由上已知，系统完全能控，所以可以通过状态反馈任意配置系统闭环极点。应用MATLAB极点配置函数求解状态反馈增益矩阵，代码如下：

A=[0 0 0;1 0 -72;0 1 -18];B=[1;0;0]; P=[-7.7+j*7.8556;-7.7-j*7.8556;-46.2]; F=place(A,B,P)

求得状态反馈增益矩阵Ff1f2f343.624.32888.8

5、确定输入变换线性放大器K

根据题目要求，跟踪单位阶跃参考输入信号的稳态误差ep1C(ABF)1BK0，求得K5590.2，则带有输入变换的状态反馈系统传递函数

GF(s)K5590.2p*(s)s361.6s2832.48s5590.2

6、验证跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差ev

将带有输入变换的状态反馈系统等效为具有单位负反馈的闭环系统，系统方框图如下所示：

R(s)E(s)G(s)C(s)-

图1-1

等效单位负反馈闭环系统方框图

则系统传递函数(s)求得，G(s)G(s)5590.2 GF(s)31G(s)s61.6s2832.48s5590.25590.2 32s61.6s832.48ss0对于单位斜坡输入信号，R(s)1/s2；则evlimsE(s)lim所以，所设计系统能满足要求系统性能指标。

sR(s)0.1490.2

s01G(s)文案大全

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7、利用SIMULINK建立控制系统的动态仿真模型

图1-2

带有输入变换的状态反馈系统

（1）跟踪单位阶跃信号的动态仿真分析

为便于输出图形数据的观察比较，在t=0.5s处输入单位阶跃响应，仿真结果如下图所示：

图1-3

单位阶跃响应

图1-4

单位阶跃响应局部放大图

静态性能分析：由图1-3可知，系统满足跟踪阶跃输入信号的稳态误差ep0。

动态性能分析：从局部放大图1-4中易知，超调量1.051调节时间ts0.5秒5%，

1（注意：为便于观察，本实验中单位阶跃信号在t=0.5s时刻输入），系统满足设计要求。 （2）跟踪单位斜坡信号的动态仿真分析

在t=0处输入单位阶跃响应，仿真结果如下图所示：

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图1-5

单位斜坡响应

图1-6 单位斜坡响应局部放大图

由图t=1s的时刻知，跟踪单位斜坡信号的稳态误差ev10.80.2，故系统满足设计要求。

二、采用全维状态观测器的状态反馈系统

基于复合系统特征值的分离特性，只要被控系统能控能观，则用状态观测器估值形成状态反馈时，可对系统的状态反馈控制器及状态观测器分别按各自的要求进行设计，由（一）中已求得F43.624.32888.8。

1、配置闭环系统状态观测器极点

系统完全能观，所以闭环系统状态观测器极点可任意配置。按通常选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快 倍这一选择原则，取观测器期望极点为

1,22.5(7.7)19,32.5(46.2)116

2、确定观测器偏差反馈增益矩阵G

应用MATLAB极点配置函数求解观测器偏差反馈增益矩阵G，代码如下： A=[0 0 0;1 0 -72;0 1 -18],C=[0 0 1]; P=[-19;-19;-116]; Gt=acker(A',C',P); G=Gt'

求得偏差反馈增益矩阵Gg1g2g34187697136

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3、利用SIMULINK建立系统动态仿真模型

观测器的状态方程为：

0041876418761ˆ(AGC)xˆGyBu104769xˆx4697y0u

154011360利用SIMULINK建立系统动态仿真模型如下：

图1-7 采用全维状态观测器的状态反馈系统（注：Scope1可观测误差的收敛过程）

（1）对单位阶跃输入信号仿真分析

ˆ(0)0的情况下仿真结果如下图所在t=0.5s时刻输入单位阶跃信号，对于x(0)0和x示：

ˆ(0)0时单位阶跃响应 图1-8 x(0)0且x文案大全

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ˆ(0)0时单位阶跃响应局部放大图 图1-9 x(0)0且x静态性能分析：由图1-8可知，系统满足跟踪阶跃输入信号的稳态误差ep0。

动态性能分析：从局部放大图1-9中易知，超调量1.051调节时间ts0.5秒5%，

1（注意：为便于观察，本实验中单位阶跃信号在t=0.5s时刻输入），系统满足设计要求。 （2）对单位斜坡输入信号仿真分析

ˆ(0)0情况下的仿真结在t=0时刻输入单位斜坡信号，对于各状态变量初值x(0)0且x果如下图所示：

ˆ(0)0时单位斜坡信号响应 图1-10x(0)0且x

ˆ(0)0时单位斜坡信号响应局部放大图 图1-11x(0)0且x由图t=1s的时刻知，跟踪单位斜坡信号的稳态误差ev10.80.2，故系统满足设计

要求。

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4、与采用直接状态反馈的控制系统仿真结果比较

ˆ(0)0时的仿真结果比较 （1）x(0)0且x

（a）直接状态反馈的单位阶跃响应 （b）采用状态观测器的单位阶跃响应

（c）直接状态反馈的单位斜坡响应 （d）采用状态观测器的单位斜坡响应

ˆ(0)0的仿真结果比较 图1-12 x(0)0且xˆ(0)0的情况下，直接状态反馈从以上仿真结果图可以看出，在各状态变量x(0)0且x与采用状态观测的反馈系统仿真结果几乎一样。

ˆ(0)222时的仿真结果比较 （2） x(0)0且 x

(a) 直接状态反馈的单位阶跃响应 (b) 采用状态观测器的单位阶跃响应

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(c) 直接状态反馈的单位斜坡响应 (d) 采用状态观测器的单位斜坡响应

ˆ(0)222的仿真结果比较 图1-13 x(0)0且xˆ(0)222存在差异，由图1-13可知，尽管初始时刻x(0)0和x但随着时间的推移，

初始值不同情况下的响应也将趋于同样的稳定状态。这其实与后面讨论的估值误差的收敛性质有关。对于复杂的实际工程应用，一般不可能采用直接状态反馈，而是采用观测器进行状态反馈以获得控制精度并且降低成本。

5、单位阶跃输入作用下状态估值误差收敛性分析

（1）收敛过程分析

ˆ(0)0和x(0)0，xˆ(0)222两种情况下的系统进行收敛性仿真分析，对x(0)x结果如下所示：

ˆ(0)0时误差收敛情况 图1-14 x(0)x

ˆ(0)222时误差收敛情况 图1-15 x(0)0，x

ˆ(0)0时，状态估值没有误差；当初始值不同，即由图可知，当初始值相同，即x(0)x文案大全

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ˆ(t)，ˆ(0)222时，x(0)0，开始一段时期存在估值误差，但是，随着时间的推移x(t)xx即估值误差收敛到0。

从理论上讲，状态观测器之所以出现估值误差是因为观测器与系统初始状态在实际工程中难以做到完全一致所造成的。估值误差为

ˆ(0)x(0)] x(t)eAGCt[xˆ(0)时，显然根据上式x(t)0；当x(0)0，根据上式，当初始时刻t00，x(0)xˆ(0)222时，由于我们通过选择输出偏差反馈增益矩阵G使AGC的所有特征值均位xˆ(0)222存在差异，但观于复平面的左半开平面，尽管初始时刻t00时，x(0)0，xˆ(t)仍将以一定精度和速度渐进逼近系统的实际状态x(t)。因此，仿真结果与理测器的状态x论分析相符。

（2）收敛速度与状态观测器极点的关系及对系统性能的影响 现重新选取全维观测器期望极点为

1,24.5(7.7)35,34.5(46.2)208

应用MATLAB极点配置函数求解观测器偏差反馈增益矩阵G，代码如下： A=[0 0 0;1 0 -72;0 1 -18],C=[0 0 1]; P=[-35;-35;-208]; Gt=acker(A',C',P); G=Gt'

将G1代入采用全维状态观测器的状态反馈系统中，并在SIMULINK中进行动态仿真，当

ˆ(0)222时，各状态变量的收敛情况如下图所示： x(0)0， x求得偏差反馈增益矩阵G1g1g2g3254800 15713 260

图1-16 1,235,3208时的各状态变量的收敛情况

由（1）中已知1,219,3116情况下的误差收敛情况如下图所示：

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 图1-17 1,219,3116时的各状态变量的收敛情况

ˆ(t)的从图1-16和图1-17中各状态变量的收敛情况可以看出观测器极点取不同值时，x误差收敛情况。由图可知，全维观测器闭环极点离虚轴的距离越远，状态估值误差收敛速度越快。但是，同时也使得反馈增益矩阵中的元素需要很大，从而导致物理实现困难。理论上讲，估值误差收敛速度越快，系统性能越好，但是，在实际工程应用中，观测器的响应速度太快会出现放大量测噪声，使系统无法正常工作。因此，观测器期望极点的选择应兼顾快速性、抗干扰性等折中考虑，通常选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2~5倍。

三、实现状态反馈的降维观测器设计

系统为能观标准型，所以完全能观，又mrankC1，故可构造nm2维状态观测器。

1、通过线性变换使状态向量按输出可检测性分解

100Tnm010构造nn非奇异变换矩阵T C001100则T1010

001作线性变换xT1x，则将

(A,B,C)变换成(A,B,C)，即

00011xTATxTBu1072x0u 01180yCT1x001x由于xx3y，故只需设计二维观测器重构x1。将A,B分块，得

x20001A01A18，，，，A11AB2122121720，B20

10T2、确定降维观测器的反馈增益矩阵G1g1g2

xg1f()detI(A11G1A21)det2g2g1 1g2文案大全

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配置观测器极点为1,22.5(7.7)19

则期望多项式f()(19)2238361

比较f()和f()各项系数，联立方程并解得G136138T

3、列写降维观测器状态方程并重构原系统状态

(A11G1A21)w(B1G1B2)u(A11G1A21)G1A12G1A22yw72200361w11u w0471y1382ˆxˆx1wGyw1361yw1361y1ww38yˆ2382x2则

(A,B,C)所对应的状态向量x的估值为

w361yˆxˆ1xˆw38y x2x3yyˆ变换为原系统状态空间，得到原系统将x(A,B,C)的状态重构为

100w1361yw1361yˆ010w38yw38y ˆT1xx22yy0014、利用SIMULINK建立系统动态仿真模型

图1-18 采用降维状态观测器的状态反馈系统

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（1）跟踪单位阶跃信号的动态仿真分析

在t=0.5s时刻输入单位阶跃信号，对于原系统状态变量初始值x(0)0，降维观测器状态初始值w(0)22的仿真结果如下：

图1-19 采用降维观测器的单位阶跃响应

图1-20 采用降维观测器的单位阶跃响应局部放大图

静态性能分析：由图可知，系统满足跟踪阶跃输入信号的稳态误差ep0。

动态性能分析：从局部放大图1-20中易知，超调量1.051调节时间ts5%，

10.5秒（注意：为便于对于观察，本实验中单位阶跃信号在t=0.5s时刻输入），系统满足设计要求。

（2）跟踪单位斜坡信号的动态仿真

在t=0时刻输入单位斜坡信号，对于原系统状态变量初始值x(0)0，降维观测器状态初始值w(0)22的仿真结果如下：

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图1-21 采用降维观测器的单位斜坡响应

图1-22 采用降维观测器的单位斜坡响应局部放大图

由图t=1s的时刻知，跟踪单位斜坡信号的稳态误差ev10.80.2，故系统满足设计要求。

可通过观察整个系统的状态变量随时间的变化规律，进一步得出两种输入信号作用下，系统的估值误差都具有很好的收敛性，从而保证了由降维观测器构成的状态反馈系统具有很好的稳定性。

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题目二：

设被控系统状态空间表达式为：

0010001x0ux 0251y100x设计使系统阶跃响应具有良好的动、静态特性的线性二次型最优控制律，对闭环系统的阶跃响应进行仿真，并研究系统二次型性能指标泛函中权矩阵的不同选取对动态性能的影响。

一、线性二次型最优控制律设计

1、判断系统是否具有最优控制律

要使系统阶跃响应具有良好的动、静态特性，则可按非零给定点的最优控制律设计，即

u(t)Kx(t)ug，由于y的维数等于u的维数，所以u(t)Kx(t)Wc1(0)yw。

系统能控性判别矩阵QcBAB

则rankQc3n，所以系统完全能控，最优控制u(t)存在。

100A2B0151523

q11选取性能泛函中的对称正定矩阵Q000q2200R1。 0，

q332、非零给定点的最优控制设计及仿真分析

利用SIMULINK建立原控制系统的动态仿真模型如下：

图2-1 原控制系统

在t=0.5s时刻，输入单位阶跃信号，仿真分析结果如下图所示：

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图2-2 原系统单位阶跃响应

由图2-2可知，系统输出响应发散,引入最优控制：u(t)Kx(t)Wc1(0)yw

10000R1 选取Q010，

001应用MATLAB程序求解K和x(t)Wc，代码如下： A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -5]; B=[0;0;1];C=[1 0 0]; Q=[100 0 0;0 1 0;0 0 1]; R=1;

K=lqr(A,B,Q,R);

W=inv(-C*inv(A-B*K)*B) %与题中wc互为倒数

1求得K109.8391.759，Wc10

1利用SIMULINK建立非零给定点最优控制系统的动态仿真模型如下：

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图2-3 非零给定点最优调节系统

在t=0.5s时刻，输入单位阶跃信号，仿真分析结果如下图所示：

图2-4 非零给定点最优调节系统单位阶跃响应

由图可知，通过引入最优控制，系统获得了较好的动静态性能。

3、权矩阵的各权值对动态性能的影响分析

按2中方法，在t=0.5s时刻输入单位阶跃信号，改变变换权矩阵Q的值，分析其对系统动态性能的影响。

（1）固定q22q331 ，使 q11分别取1，10,100,1000。 仿真结果分别如下所示：

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（a） q111 （b） q1110

（c） q11100 （d） q111000

图2-5 q22q331，q11取不同值时系统单位阶跃响应

由图2-5可知，随着q11的增大，调节时间变短；到q11100以后，继续增大q11，由于超调量的增大，调节时间反而增大。

（2）固定q11q331 ，使 q22分别取1，10,100,1000 仿真结果分别如下所示：

（a） q221 （b） q2210

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（c） q22100 （d） q221000

图2-6 q11q331，q22取不同值时系统单位阶跃响应

由图2-6可知，随着q22的增大，调节时间先变长再变短，到q22100以后，继续增大q22调节时间急剧增大，但是整个过程中超调量变化不大。

（3）固定q11q221 ，使 q33分别取1，10,100,1000 仿真结果分别如下所示：

（a） q331

（b） q3310

（c） q33100

（d） q331000

图2-7 q11q221，q33取不同值时系统单位阶跃响应

由图2-7可知，随着q33的增大，调节时间变长，但是整个过程中超调量变化不大。

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综合分析以上分析结果表明：q11对系统动态性能的影响在q11，q22，q33三者中起着主要作用。

4、使系统具有良好动、静态性能的线性二次型最优控制

1000000根据3中的比较分析，取Q100时，系统能获得良好的动、静态特性，仿

01000真分析结果如下图所示：

图2-8 单位阶跃响应

由图2-8可知，系统跟踪单位阶跃输入信号的稳态误差ep0；超调量5%，调节时间ts1秒（注意：为便于观察，本实验中单位阶跃信号在t=0.5s时刻输入）。

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