(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》检测(答案解析)(1)

一、选择题

1．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A．k≥﹣

1 4B．k≥﹣

1且k≠0 42C．k＜﹣

21 4D．k＞－

1且k≠0 42．关于x的一元二次方程k1x6xkk20有一个根是0，则k的值是（ ） A．0

B．1

C．-2

D．1或-2

3．将关于x的一元二次方程x2pxq0变形为x2pxq，就可以将x2表示为关于

x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3xx2x(pxq)…，我们将这种

方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：

x2x10，则x4x35x3的值为（ ）

A．3

B．4

C．5

D．6

4．请你判断，xx3x20的实根的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

5．某市2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费比2019年增加480万元，若2018年至2020年该市投入教育经费的年平均增长奉为x则可列方程为（ ） A．2000(1x)2000(1x)480 C．2000(1x)2000480 6．方程x22x0的根是（ ） A．x1x20

B．x1x22

C．x10,x22

D．x10,x22

22B．2000(1x)2000(1x) D．2000(1x)2000480

27．用配方法解方程x28x110的过程中，配方正确的是（ ） A．x28x(4)25 C．(x4)25

B．x28x(4)231 D．(x4)211

8．已知关于x的一元二次方程ax24x20有实数根，则a的取值范围是（ ） A．a2且a0

B．a2且a0

C．a2

D．a0

9．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染．则y与x的函数关系式为（ ） A．y21x

2B．y2x

22C．y22x2

D．y12x

210．关于x的方程x2x3a（a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个正根

2B．两个负根

2C．一个正根一个负根 D．无实数根

211．用配方法解方程x24x20，下列配方正确的是（ ） A．x22

B．x22

C．x22

D．x26

212．一元二次方程x2＝﹣3x的根是（ ） A．x＝﹣3

B．x＝0

C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3

二、填空题

13．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_____．

14．已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，则m的取值范围是_____．

15．已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α、β，则（α-1）（β-1）=________．

x13xx12，设y，换元后化成关于y的一元二次方xx1x程的一般形式为______．

16．用换元法解方程时

17．在实数范围内分解因式：x25x1___________．

18．已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为_____三角形．

19．如果一元二次方程xx63x6的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为__________．

20．若关于x的一元二次方程x2(m1)x20的一个根是1，则另一个根是_________．

三、解答题

21．解方程

2（1）(x3)5(x3)60 （2） x2﹣6x﹣9＝0

22．解下列方程：2x(x1)3(x1)

23．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？

24．已知：关于x的方程x2kxk20．

（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若k6，请解此方程． 25．解答下列各题：

（1）用配方法解方程：x28x40；

（2）已知x2关于x的一元二次方程x2m1x3m0的一个根，求m的值及方

2程的另一个根．

26．某商家将进货单价40元的商品，按50元出售能卖出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4件，商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为多少？

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k2≠0，且△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围． 【详解】

解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0．

1且k≠0． 4故选：B． 【点睛】

解得k≥-本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

2．C

解析：C 【分析】

把x=0代入方程，得到k2k20，解得k值后，验证二次项系数不为零，判断即可． 【详解】

∵x的一元二次方程k1x6xkk20有一个根是0，

22∴k2k20，且k-1≠0， 解得k= -2或k=1，且k≠1， ∴k= -2， 故选C． 【点睛】

本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次方程的定义是解题的关键．

3．D

解析：D 【分析】

先求得x2=x+1，再代入x4x35x3即可得出答案． 【详解】 解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1，

∴x4x35x3=（x+1）2+x(x+1)-5x+3 =x2+2x+1+x²+x-5x+3 =2x2-2x+4 =2(x+1)-2x+4 =2x+2-2x+4 =6， 故选：D． 【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．

4．C

解析：C 【分析】

利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可． 【详解】

解：当x＞0时，x23x20， 解得：x1＝1；x2＝2； 当x＜0时，x23x20， 解得：x1＝3173+17（不合题意舍去），x2＝， 22∴方程的实数解的个数有3个． 故选：C． 【点睛】

此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．

5．A

解析：A 【分析】

2018年投入教育经费（1+增长率）2=2020年投入教育经费，据此列方程即可．

【详解】

解：2018年至2020年该市投入教育经费的年平均增长率为x，

2018年投入教育经费2000万元，

2019年投入教育经费为2000(1x)，2020年投入教育经费为2000(1x)480，

由题意得，2000(1x)2000(1x)480， 故选A． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键时读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列出方程．

26．C

解析：C 【分析】

本题可用因式分解法，提取x后，变成两个式子相乘为0的形式，让每个式子都等于0，即可求出x． 【详解】 解：∵x2-2x=0 ∴x（x-2）=0， 可得x=0或x-2=0， 解得：x=0或x=2． 故选：C． 【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用

7．A

解析：A 【分析】

用配方法解方程即可． 【详解】

解：x28x110， 移项得，x28x11，

配方得，x8x(4)1116， 即x8x(4)5， 故选：A． 【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，能够熟练按照配方法的步骤进行解题是关键．

22228．B

解析：B

【分析】

根据方程有实数根得到． 【详解】

由题意得：0，即44a(2)0，且a0， 解得a2且a0， 故选：B． 【点睛】

此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键．

29．A

解析：A 【分析】

用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解. 【详解】

∵每轮传染平均1人会传染x个人， ∴2人感染时，一轮可传染2x人， ∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人； ∵每轮传染平均1人会传染x个人， ∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，

∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 21x人；

2∴y21x，

2故选A. 【点睛】

本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.

10．C

解析：C 【分析】

先将方程整理为一般形式，计算＞0，得到方程有两个不相等的实数根，再根据两根之积为负数即可求解． 【详解】

解：整理关于x的方程x2x3a得

2x2x6a20，

∴1416a22254a＞0，

2∴方程有两个不相等的实数根，

6a2∴x1x2＜0，

1∴方程了两个根一正一负．

故选：C 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知两个知识点是解题关键，注意在讨论一元二次方程根与系数的关系时首先要注意确保方程有实根．

11．A

解析：A 【分析】

先把方程变形为x2-4x=-2，再把两方程两边加上4，然后把方程左边用完全平方公式表示即可． 【详解】 解：x2-4x=-2， x2-4x+4=2， （x-2）2=2． 故选：A． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

12．C

解析：C 【分析】

移项，利用因式分解求解即可. 【详解】 解：∵x2＝﹣3x， 移项，得

x2+3x＝0，

分解因式，得 x（x+3）＝0， ∴x＝0，或x+3＝0， 解得

x1＝0，x2＝﹣3，

故选：C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键.

二、填空题

13．k＞1【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k）2﹣4（k2﹣k+1）＞0求出k的取值范围【详解】解：∵原方程有两个不相等的实数根∴△＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣k+1）＝4k﹣

解析：k＞1

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k）2﹣4（k2﹣k+1）＞0，求出k的取值范围． 【详解】

解：∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣k+1）＝4k﹣4＞0， 解得k＞1； 故答案为：k＞1． 【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

14．m＞0或m≤-3【分析】把方程有实数根转型为根的判别式大于等于零根据n的任意性构造不等式求解即可【详解】∵关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0对于任意实数n都有实数根∴△≥0且m≠0∴≥0∴≥0

解析：m＞0或m≤-3． 【分析】

把方程有实数根，转型为根的判别式大于等于零，根据n的任意性，构造不等式求解即可． 【详解】

∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根， ∴△≥0，且m≠0， ∴(n)24m(m3)≥0， ∴n24m212m≥0， ∵对于任意实数n都有实数根， ∴4m212m≥0， ∴m0m0或，

m30m30∴m≥0或m≤-3，且m≠0， ∴m＞0或m≤-3， 故答案为：m＞0或m≤ -3． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键．

15．3【分析】结合题意根据一元二次方程根与系数关系的性质可得；根据整式运算性质得将代入式子中通过计算即可得到答案【详解】∵方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为αβ∴∴故答案为：3【点睛】本题考查了一

解析：3 【分析】

结合题意，根据一元二次方程根与系数关系的性质，可得+、；根据整式运算性质，得111，将+、代入式子中，通过计算即可得到答案． 【详解】

∵方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α、β ∴∴

+3，1

1111313

故答案为：3． 【点睛】

本题考查了一元二次方程、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关系的性质，从而完成求解．

16．【分析】将代入得出再化为一般形式即可【详解】根据题意原方程可化为故答案为：【点睛】本题考查利用换元法解分式方程正确的换元是解题的关键 解析：y22y30

【分析】 将y3x1代入得出y2，再化为一般形式即可．

yx32， y【详解】

根据题意原方程可化为yy232y，

y22y30．

故答案为：y2y30． 【点睛】

本题考查利用换元法解分式方程．正确的换元是解题的关键．

217．【分析】先求出0的根进而即可分解因式【详解】∵0时∴故答案是：【点睛】本题主要考查实数范围内的分解因式掌握一元二次方程的解法是解题的关键 解析：(x【分析】

先求出x25x10的根，进而即可分解因式． 【详解】

521521)(x) 22∵x25x10时，x∴x25x1(x故答案是：(x【点睛】

521， 2521521)(x)， 22521521)(x) 22本题主要考查实数范围内的分解因式，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

18．直角或等腰【分析】先解方程再根据三角形的三边关系定理求得第三边的范围即可得出第三边再根据勾股定理的逆定理得出该三角形的形状【详解】解一元二次方程x2﹣9x+20=0得：x=4或5∵AB=3AC=5∴

解析：直角或等腰 【分析】

先解方程，再根据三角形的三边关系定理求得第三边的范围，即可得出第三边，再根据勾股定理的逆定理得出该三角形的形状． 【详解】

解一元二次方程x2﹣9x+20=0，得：x=4或5， ∵AB=3，AC=5，∴2＜BC＜7，

∵第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，∴BC=4或5， 当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形； 当BC=5时，BC=AC，△ABC是等腰三角形； 故答案为直角或等腰． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，注意分类讨论思想的应用．

19．15【分析】先解一元二次方程根据根的情况可知有两种方式用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长【详解】解：即∵336不能构成三角形∴这个等腰三角形的三边成为663周长为15故答案为：15【点睛】

解析：15 【分析】

先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长． 【详解】

解：xx63x6

(x3)x60，

即x13,x26，

∵3，3，6不能构成三角形，

∴这个等腰三角形的三边成为6，6，3，周长为15． 故答案为：15． 【点睛】

本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形．

20．-2【分析】把-1代入方程求m再把m代回方程解方程即可；或用根与系数关系可求【详解】解：方法一把-1代入方程得解得m=2代入原方程得解得故答案为：-2；方法二设另一个根是a根据根与系数关系a×（-1

解析：-2 【分析】

把-1代入方程求m，再把m代回方程，解方程即可；或用根与系数关系可求． 【详解】

2解：方法一，把-1代入方程x(m1)x20，得，

1(m1)20，

解得，m=2，

代入原方程得，x23x20， 解得，x11,x22， 故答案为：-2；

方法二，设另一个根是a， 根据根与系数关系，a×（-1）=2， a=-2， 故答案为：-2 【点睛】

本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数关系，选择不同方法解题，体现思维的灵活性，准确把握知识是解题关键．

三、解答题

21．（1）x11,x20；（2） x1=3+32，x2=3-32． 【分析】

（1）用因式分解法解得x32x330，化为x10,x0 解一次方程即可；

（2）用配方法配方得x-3=18，直接开平方得x-3=32，解一次方程得即可． 【详解】

2解：（1）(x3)5(x3)60，

2x32x330，

x10,x0，

x11,x20；

（2） x2﹣6x﹣9＝0，

x-32=18，

x-3=32， x=332，

x1=3+32，x2=3-32．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的各种解法，并能灵活选择恰当方法解方程是解题关键．

22．x11,x2【分析】

3 2移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】

解：2xx13x1， 移项得2xx13x10， 因式分解得2x3x10， 解得x11,x2【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程． 23．1 【分析】

根据矩形的面积和为102平方米列出一元二次方程求解即可． 【详解】

解：设人行通道的宽度为x米，根据题意得， （20﹣3x）（8﹣2x）＝102， 解得：x1＝1，x229（不合题意，舍去）． 33． 2答：人行通道的宽度为1米． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为102m2得出等式是解题关键．

24．（1）证明见解析；（2）x135，x235 【分析】

（1）根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案； （2）通过配方法求解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】

222（1）∵k4(k2)k4k8(k2)40

∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k6时，原方程为：x26x40， ∴x26x95 ∴x35

2∴x35 ∴x135，x235． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式性质，从而完成求解．

25．（1）x1425，x2425；（2）m2，方程的另一个根3 【分析】

（1）先把常数项移到右边x28x4，再添加一次项系数一半的平方配方求解； （2）将x2代入一元二次方程x2m1x3m0求得m，再将m代入原方程求另

2212m一个根，也可设另一根为,利用根与系数关系解方程组即可．

23m【详解】

解：（1）x28x4，

x28x1620，

x4220，

x425，

∴x1425，x2425；

（2）方法1：设方程的另一个根为，利用根与系数关系则，

212m， 23m3解得：，

m2即m2，方程的另一个根3．

方法2：将x2代入方程，得：222m13m0，解得：m2，

2∴x25x60，解得：x12,x23， 即m2，方程的另一个根3．

【点睛】

本题考查了根的定义、一元二次方程的解法，要熟练掌握配方法、因式分解法、公式法、直接开平方法，并能按照题目要求选择最佳解法.，也可用根与系数关系来求另一根问题． 26．60元/件或80元/件． 【分析】

设售价应定为x元/件，则每件的销售利润为（x-40）元，能卖出5004(x50)件，0.4根据总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】

解：设售价为每件x元，则每件的销售利润为（x-40）元， 依题意，得：

(x40)[5004(x50)]8000， 0.4整理得x2140x48000， 解得：x160，x280，且符合题意， 答：售价应定为60元/件或80元/件． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．