[习题解答]
17-5将20g的氦气分别按照下面的过程，从17℃升至27℃，试分别求出在这些过程中气体系
统内能的变化、吸收的热量和外界对系统作的功：
(1)保持体积不变；
(2)保持压强不变；
(3)不与外界交换热量。
设氦气可看作理想气体，且。
解
(1)保持体积不变：
外界对系统不作功
,
系统内能的变化为
,
吸收的热量为
.
这表示，在系统体积不变的情况下，外界对系统不作功，系统从外界获得的热量全部用于内能的增加。
(2)保持压强不变：
吸收的热量
,
系统内能的变化
,
外界对系统作功
.
这表示，在系统保持压强不变的情况下，系统从外界获得的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外界作功。
(3)不与外界交换热量，即绝热过程：
吸收的热量
,
系统内能的变化
,
外界对系统作功
.
这表示，在绝热条件下，系统与外界无热量交换，外界对系统所作的功全部用于内能的增加。
17-6把标准状态下的14 g氮气压缩至原来体积的一半，试分别求出在下列过程中气体内能的变
化、传递的热量和外界对系统作的功：
(1)等温过程；
(2)绝热过程；
(3)等压过程。
设氮气可看作为理想气体，且。
解
(1)等温压缩过程：
外界对系统所作的功
;
在等温过程中系统内能不变
;
传递的热量：根据热力学第一定律，有
.
这表示，在等温过程中，系统内能不变，外界对系统所作的功全部以热量的形式释放到外界。
(2)绝热压缩过程：
;
,
根据绝热方程
,
,
其中
,
所以
;
外界对系统所作的功
.
这表示，在绝热压缩过程中，外界对系统所作的功，全部用于系统内能的增加。
(3)等压过程：
根据物态方程，在初态和末态分别有
,
,
两式相除，得
或
,
所以
.
内能的增加为
;
系统获得的热量为
;
外界对系统所作的功为
.
这表示，在等压过程中，系统向外界释放热量，此热量来自于外界对系统所作的功和自身内能的减小。
17-7在标准状态下的16 g氧气经过一绝热过程对外界作功80 J。求末态的压强、体积和温度。
设氧气为理想气体，且
，
。
解系统对外界作功80 J，即
,
在绝热过程中系统与外界无热量交换，所以
,
根据热力学第一定律
,
这表示，在绝热过程中系统降低自身的内能而对外界作功。
系统初态的温度为T1 = 273 K，系统内能的变化可以表示为
,
由此可求得末态的温度
.
绝热方程可以写为
,
所以，末态的压强可以求得，为
.
末态的体积为
.
3 3
17-8 8.0 g氧气原先的温度为27℃，体积为0.41 dm，若经过绝热膨胀，体积增至4.1 dm。
试计算气体在该绝热膨胀过程中对外界所作的功。设氧气为理想气体，且。
解在绝热过程中，所以
. (1)
内能的变化可以表示为
. (2)
在绝热过程中有
, (3)
将式(3)代入式(2)，得
,
.
这表示，在绝热膨胀过程中，系统对外界作功是以降低自身的内能为代价的。
17-10一制冷机在t1 = 11℃和t2= 10℃之间工作，若其循环可看作可逆卡诺循环的逆循环，问
每消耗1000 J的功可由冷库中取走多少热量？
解可逆卡诺循环的逆循环制冷系数可以表示为
,
将有关数据代入上式，可以求得
.
每消耗1000 J的功可从冷库中取走的热量为
.
17-11一理想气体系统作卡诺循环，当热源温度为100℃，冷却器温度为0℃时，作净功800
J。今若维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增至1600 J，问热源的温度为多高？效率增大多
少？设这两个循环都工作在相同的两条绝热曲线之间。
解卡诺循环的效率可以表示为
,
由上式可解得
和 .
若将T1变为T1，并使T2保持不变，从以上关系可以看到，这时Q2变成了Q2，显然Q2可以表示为
.
现在需要知道的是Q2与Q2之间存在什么关系？根据题意，循环都工作在相同的两条绝热曲线之间，并保持T2不变。从教材634页的图17-13可以看到，只要在相同的两条绝热曲线之间，并保持T2不变，V3和V4都不会改变，再根据式(17-40)，Q2必定保持不变。所以
,
即
,
由上式可以解得
.
原先的效率为
.
提高热源温度之后的效率为
,
效率增大量为
.
17-12有一以理想气体为工作物质的热机，其循环如图
17-1所示。试证明其效率为
.
图17-1
解 CA为等体过程，系统吸收热量Q1
,
并且
;
BC为等压过程，系统释放热量Q2
,
并且
;
AB为绝热过程，系统与外界无热量交换。
所以该热机的效率为
.
证毕。
17-13证明一条绝热线与一条等温线不能有两个交点。
解用反证法证明。
如果一条绝热线与一条等温线有两个交点，如图17-2中的A和B，那么一定可以利用这两个交点之间的封闭区域作循环而连续对外界作功。在此循环中只有一个热源，即从单一热源吸热而对外界作功。每经过一个循环，系统的内能不变，根据热力学第一定律，有
图17-2
,
这表示，每经过一个循环，系统都会把从外界吸引的热量全部用于对外作功。这是违背热力学第二定律的，因而是不可能实现的。所以，一条绝热线与一条等温线不能有两个交点。
17-15把盛有1 mol气体的容器等分为一百个小格，如果分子处于任意一个小格内的概率都相等，
试计算所有分子都进入同一个小格的概率。
解
如果系统中只有1个分子，这个分子处在某个特定小格的概率为，
如果系统中只有2个分子，这2个分子同时处在某个特定小格的概率为
，
……
现在系统中有N0个分子，这N0个分子同时处于某个特定小格的概率为
.
17-17 1.20 kg的水在标准状态下凝结为冰，求熵变，并对结果作简要讨论。已知水的熔解热
为3.35105 Jkg
1
。
解 这是等温等压过程，并且水和冰在此条件下可以平衡共存，所以是可逆过程。水凝结为冰的熵变为
.
上式中负号来自凝结过程水要向环境释放热量。上面的计算结果表示，凝结过程水的熵是降低的。
在水的凝结过程中，环境则是吸收热量的，熵是增加的，增加量为
.
水和环境总体的熵为
,
所以，水和环境总体的熵是不变的。
17-18 10.6 mol理想气体在等温过程中，体积膨胀到原来的两倍，求熵变。
解将等温膨胀过程视为可逆过程，这就是说系统按照可逆等温过程体积膨胀为原来的2倍，即从V2V。于是熵变为
,
因为是等温过程，dT = 0，所以
.
17-19在等压条件下将质量都是1.0 kg、温度分别是17℃和77℃的水相混合，求熵的变化。已
知水的定压比热c = 4.20´103 Jkg1×K1。
解混合后水的温度为
.
根据教材7页例题17-6的结果，熵变为
.
原先温度高的那部分水在混合过程中熵减小，原先温度低的那部分水在混合过程中熵增大，而总体的熵是增大的。
17-25什么是 空间？什么是相格？对于具有三个平动自由度的粒子，其空间中的相格的体
积有多大？
解按照经典力学规律，具有r个自由度的粒子在任一时刻的力学状态可以用粒子的r个广义坐标
q1 , q2 , …, qr 和r个广义动量p1 , p2 , …, pr 在该时刻的数值来确定。以这2r个变量作直角坐标所构
成的一个2r维空间，称为相空间，或 m空间；粒子在任意时刻的运动状态(q1 , q2 , …, qr ；p1 , p2 , …,
pr )就是 m空间中的一个点，称为粒子运动状态的代表点；当粒子的运动状态在随时间变化时，对应
于代表点在空间中移动，描绘出的轨迹称为相轨。
根据量子力学的规律，微观粒子具有波粒二重性，不可能同时具有确定的坐标和确定的动量，坐标的不确定量 Dq和动量的不确定量 p满足不确定关系
.
在量子力学中，粒子的运动状态称为量子态，量子态用波函数来描述。
在半经典描述中，既认为粒子近似地沿经典力学轨道运动，用广义坐标q和广义动量p来描述，同时又对这种描述加上量子力学的，即坐标的不确定量 Dq和动量的不确定量 p满足上式。对于具有一个自由度的微观粒子，空间是以q和p为直角坐标的二维平面。在这个二维平面上，粒子运动状态的代表点不再是一个点，而是面积为h的面元。这就是说，在二维 空间中，一个面积为h的面积元代表粒子的一个可能的运动状态。对于具有r个自由度的微观粒子，空间是一个2r维空间，粒子运动状态的代表点变成了一个体积为h的体积元。这就是说，在2r维 空间中，一个体积为h的体积元代表粒子的一个可能的运动状态。这种体积为h的体积元就是相格，空间的一个体积为h的相格对应于微观粒子的一个可能的量子态。
r
r
r
r
显然，对于具有三个平动自由度的粒子，其 空间是一个6维空间，在这个空间中的相格的体积为
。
17-26求具有三个平动自由度的粒子，在体积V内、动量的大小在p到p+dp范围内可能的量
子态数。
解一个量子态对应体积为的一个相格，所以在内的量子态数为
;
在体积V内，动量在
范围内的量子态数为
;
在体积V内，动量的大小在p到p + dp、动量的方向在q到 + d、j到 + d范围内的量子态数为
;
在体积V内，动量的大小在p到p + dp内的量子态数为
.
17-27求具有三个平动自由度的粒子，在体积V内、能量在e到+d范围内可能的量子态数。
解粒子的能量与动量的关系为
,
由此可以得到
,
,
将以上三式代入上题(17-26) 的表达式中，就可以得到在体积V内、能量在e到+d范围内可能的量子态数为
.
17-32试根据麦克斯韦速率分布律，导出在玻耳兹曼系统中粒子按平动动能的分布律。
解麦克斯韦速率分布律由速率分布函数表示，速率分布函数可以写为
. (1)
分子的平动动能可表示为
,
解得
, (2)
两边微分，得
,
所以
. (3)
将式(2)和式(3)代入式(1)，就得到粒子按平动动能的分布律
.
17-33根据上题得出的粒子按平动动能的分布律，求：
(1)粒子的最概然平动动能；
(2) 粒子的平均平动动能。
解
(1)粒子的最概然平动动能p
由
,
即
,
简化为
,
由此解得
.
(2)粒子的平均平动动能
,
利用积分公式
,
得
.
17-34求空气分子密度为海平面的一半处的高度。假设重力加速度和温度上下均匀。
解设海平面空气分子密度为n0，在高度为h处，空气分子密度n为n0的一半，即
.
所以
,
由此得到
,
所以
.
如果取空气的摩尔质量为m= 2810 kgmol1，温度为T = 273 K，代入上式，得
-3
.
17-35假设在地球引力场中只存在一种气体，其分子质量为m，试证明分子数密度分布可以表
示为
,
式中n0是离地球中心的距离为r0(大于地球的半径)处的分子数密度，G为万有引力常量，M为地球的质量。
解气体分子与地球的引力势能可以表示为
,
显然，在上式中，当r ¥时，p 0，设此处的分子数密度为n。根据在保守场中粒子按势能的分布公式(17-127)，在r处的分子数密度为
, (1)
在处，
，根据上式，n0可以表示为
,
由上式解得
.(2)
将式(2)代入式(1)，得
.
证毕。
17-36将由式(17-154)所表示的维恩公式，变换为由式(14-8)所表示的形式。
解普朗克公式可以写为
, (1)
辐射场能量密度按频率的分布为
.(2)
其中用到了关系式
,
因为波长与频率成反比，所以
.
,(3)
将式(3)代入式(2)，得
,
或
.(4)
辐射场能量密度按波长的分布rl(T )与其单色辐出度M(T )存在下面的关系
, (5)
考虑到绝对宋体，符号M (T )应写为M0 (T )，故有
, (6)
其中
,
在高温下，下面的近似成立：
.
,
于是式(6)成为下面的形式
,
.
这正是式(14-8)。
17-37将由式(17-155)所表示的瑞利-金斯公式，变换为由式(14-9) 所表示的形式。
解根据上面得到的公式
,
考虑到低温情况下的近似
,
所以，可得到
,
.
这正是式(14-9)。