求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N项和的七种方法

点拨:

核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

1. 公式法

等差数列前n项和：

Snn(a1an)n(n1)na1d 22特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k1(2k1)ak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和： q=1时，Snna1

q1，Sn其他公式：

a11qn1q，特别要注意对公比的讨论。

n1121、Snkn(n1) 2、Snkn(n1)(2n1)

26k1k1n3、Sn13k[n(n1)]2 2k1123n，求xxxx的前n项和. log2311log3xlog32x

log232n[例1] 已知log3x解：由log3x23n 由等比数列求和公式得 Snxxxx （利用常用公式） ..w..

. .. .

11(1)nx(1xn)22＝1－1 ＝＝

11x2n12[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n) 解：由等差数列求和公式得 SnSn的最大值.

(n32)Sn1用常用公式）

∴ f(n)11n(n1)， Sn1(n1)(n2) （利22Snn＝2

(n32)Sn1n34n＝

＝

1n34n(n18n)2501 50 ∴ 当 n81，即n＝8时，f(n)max

50n2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

23n1[例3] 求和：Sn13x5x7x(2n1)x………………………①

解：由题可知，{(2n1)x项之积

n1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通

234n设xSn1x3x5x7x(2n1)x………………………. ② 234n1n①－②得 (1x)Sn12x2x2x2x2x(2n1)x （错位相减）

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ∴ Sn 2(1x)[例4] 求数列

2462n,2,3,,n,前n项的和. 2222 ..w..

. .. .

解：由题可知，{

（设制错位）

①

2n1}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 2n2n2462n设Sn23n…………………………………①

222212462n………………………………② Sn234n122222－

②

得

（错位相减）

21222222n(1)Sn234nn1

222222212n1n2 ∴ Sn4n1

2练习：

2n n12求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ① ①两边同乘以x，得 x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ② ①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+······+ xn）-（4n-3）xn 当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n 当x≠1时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ] 3. 反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

[例5] 求sin1sin2sin3sin88sin的值

解：设Ssin1sin2sin3sin88sin…………. ①

将①式右边反序得

Ssinsin88sin3sin2sin1222222222222222…………..②

（反序）

又因为 sinxcos(90x),sinxcosx1

22 ①+②得

（反序相加）

2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin2cos2)＝

∴ S＝44.5

..w..

. .. .

4. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n项和：11,1114,27,,n13n2，… aaa111解：设Sn(11)(4)(27)(n13n2)

aaa将其每一项拆开再重新组合得

Sn(1（分组） 当

a

1112n1)(1473n2)aaa＝

1

时

，

Snn（分组求和）

(3n1)n2＝

(3n1)n 211nnaa(3n1)n(3n1)na当a1时，Sn＝

1a1221a1

[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

32解：设akk(k1)(2k1)2k3kk

∴ Snk(k1)(2k1)＝(2kk1k1nn33k2k)

将其每一项拆开再重新组合得

Sn

＝

n3n2n2k3kk

k1k1k1（分组）

＝2(12n)3(12n)(12n)

333222 ＝

n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1) 222（分组求和）

..w..

. .. .

n(n1)2(n2) ＝

2练习：求数列12,24,38,•••,(n2n),•••的前n项和。 1111解：Sn123•••(nn)24821111(123•••n)(23•••n)2222 11n(n1)1n2211115. 裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1tan(n1)tann （1）anf(n1)f(n) （2）cosncos(n1)(2n)21111111() （3）an （4）an(2n1)(2n1)22n12n1n(n1)nn1（5）an(6)

1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)ann212(n1)n1111nn,则S1 nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n[例9] 求数列

112,123：

,,1nn1设

,的前n项和.

1nn1解

ann1n

（裂项）

则

Sn1121231nn1

（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n) ＝n11

..w..

. .. .

[例10] 在数列{an}中，ann项的和.

解： ∵ an

212n，又bn，求数列{bn}的前aan1n1n1nn112nn n1n1n12

∴

bn（裂项）

∴ 数列{bn}的前n项和

Sn8[(1)()()(2118()

nn1nn122（裂项求和）

＝8(1121213131411)] nn118n ) ＝

n1n1111cos1[例11] 求证：

cos0cos1cos1cos2cos88cossin21解：设S∵

111 cos0cos1cos1cos2cos88cossin1tan(n1)tann cosncos(n1)（裂项）

∴

S（裂项求和）

＝

111 cos0cos1cos1cos2cos88cos1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tantan88]} sin1cos111 ＝(tantan0)＝cot1＝2 sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立

练习：求

1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。

..w..

. .. .

解：

1111111131535631335577911111111111(1)()()()23235257279 11111111(1)()()()23355779114(1)299

6. 合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosncos(180n) （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）

+···

+

（

cos

°

+

cos91

°

）

+

cos90

°

（合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002. 解：设S2002＝a1a2a3a2002

由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,

a71,a83,a92,a101,a113,a122,

……

a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60 （找特殊性质项）

∴

S2002

＝

a1a2a3a2002

..w..

. .. .

（合并求和）

＝

(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)

(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002

＝a1999a2000a2001a2002 ＝a6k1a6k2a6k3a6k4 ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq （找特殊性质项）

和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)（合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6) ＝log39log39log39 ＝10

7. 利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1111111111之和. n个1 ..w..

. .. .

1解：由于111k个1119999(10k1) （找通99k个1项及特征） ∴ 1111111111 n个1＝

（分组求和）

＝

11111(101)(1021)(1031)(10n1) 9999111(1010210310n)(1111) 99n个1110(10n1)n ＝91019＝

8,求(n1)(anan1)的值. [例16] 已知数列{an}：an(n1)(n3)n11(10n1109n) 81解：∵ (n1)(anan1)8(n1)[11] （找通(n1)(n3)(n2)(n4)项及特征）

＝

8[11]

(n2)(n4)(n3)(n4)（设制分组） ＝

4(（裂项）

1111)8()

n2n4n3n41111)8() （分组、∴ (n1)(anan1)4(n2n4n3n4n1n1n1裂项求和）

＝4(1311)8 44 ..w..

. .. .

＝

13 3练习：求5，55，555，…，的前n项和。

解：∵an= ∴Sn = = 5 9(10-1) n5 9(10-1)+ 5 9(10-1) + 5 9(10-1) + … + 5 9(10-1) 23n23n5 9[（10+10+10+……+10）-n] 5 = 81（10n＋1-9n-10） 以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

..w..