固体物理第1章 参

1体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。 证：

体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell）的三个基矢是

aaaa1(ijk),a2(ijk),a3(ijk)222a2a3a3a1定义:b12,b2213a1a2a3a22b1(jk)a2b2(ki)a2b3(ij)a

a1a2b32它们是倒点阵面心立方的三个基矢。

2 对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如

a3a3a1iaja2iaj2222求倒格子基矢。 解：

a3cka3a1,a2;

a1a2aa3a1iaj22

a3a2iaj22

a3ck32a1a2a3aca a2a32ac32b12(jiac)(3i3j)2a3a2b22a3a1/3i3j

3a2 b32a1a2/kc

3求解简单立方中晶面指数为(hkl)的晶面簇间距。 解：

正格子基矢是 aai,*baj,cak

a令 a,b,c为相应的倒基矢

222**a***ibajcaka(bc)a3Kh,k,ldnkl222hakblchikjlkaaa2Khkl***klh()2()2()2aaa12

4 试证明六角密集结构中c/a=

83=1.63

如图所示，ABC分别表示六角密排结构中三个原子，D表示中心的原子。DABC构成一个正四面体，边长为a。DE=AE AO=BO=2OE

c DO面ABC，则DO=2，

DE=

32133a，OE=326a，且DOOE

(3236a)(a)2a， 2638=1.633则由勾股定理得，OD=从而c=2OD=2

63a，c/a=

5（x-射线）如x射线沿简立方晶胞的oz方向入射，求

证：当

222llks22时， ak2l2 colk2衍射线在yz平面上，其中2是衍射线和oz方向的夹

角。 证:

入射线S和衍射S0之间夹角为

2

2dsin=n 令n=1 （1） 简立方面间距为：

dahkl(h2k2l2)12 （2）

因衍射线和入射线必在一个平面内，

s0coscos(2)cos2(12sin2)l2k22l2k2 从（3）式我们得

21sinl2l2k2 3）

（ 由（1）、（2）、（3） 得

a2l(lk)2(lkh)22122212 （4）

2l22akl （5）

比较（4）（5）我们有 h=0

这表示衍射的晶面簇指数是 (0 k l)， 与晶面簇(0 k l) 对应的倒格矢

2Khkjlk

a因此，衍射线在yz平面上。

6分别证明：

（a）面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角θ相等，对fcc为60°，对bcc为109°27′。

解：对面心立方晶格，元胞基矢为:

aaaa1jk;a2ik;a3ij222



｜a1｜

a1a22=｜a2｜=｜a3｜=a cos(a1,a2)=1,

22a1a2aa1a1233a1cos(a2,a3)=a, cos(a3,a1)=a 22aa1233从而fcc的初基元胞三基矢间夹角相等，均为60°。 对体心立方晶格，元胞基矢

aaaa1-ijk;a2ijk;a3ijk222

｜a1｜a=｜a｜=｜3｜=23a 2a1a2cos(a1,a2)=1,

3a1a2a2a3a3a11cos(a2,a3)=, cos(a3,a1)=1

33a2a3a3a11-θ=arccos=109°27′

3从而体心立方惯用初基元胞三基矢间夹角相等，均为109°27′

（b）在金刚石结构中，作任一原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条线之间夹角θ均为arccos(- 1／3 )=109°27′。

7证明在六角晶系中密勒指数为（hkl）的晶面族间距

124h2hkk2l2d2 23ac证：

Khha*kb*lc*

2h2k2l(3i3j)(3i3j)3a3ack

22(hk)i(hk)a3a2jclk

晶格面间距

2dKh

4h2hkk2l2d2 23ac

128试讨论金刚石结构晶体的消光法则。

解：如果原胞取为惯用的立方体，基团包含八个原子，

1111111，0，） ，，0），）其坐标为（0,0,0）（4，（（22224411133331313(0,，)（，，），，） ，，（）（22444444444从而金刚石结构的几何因子为：

F(h,k,l)fexpi2(hxikyilzi)

ii(hkl)i(3hk3l)i(h3k3l)i(3h3kl)i(hl)i(hk)i(kl)f1eeee2e2e2e2=

i(hkl)i(hl)f1e2ei(hk)ei(kl)1e,

其中，f为构成金刚石结构晶体的原子的散射因子。 （1）若1eeihkl2i(hkl)20,则F(h,k,l)0，产生消光，这时，

1,

这时，hkl2n1，此时产生消光。

2（2）若hkl部分为奇部分为偶时，有

1e

i(hl)ei(hk)ei(kl)0，此时也产生消光。

