人教A版（2019）必修第一册学案
第一章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词
【学习目标】
1．理解全称量词、存在量词的含义．(数学抽象)
2．掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断．(逻辑推理)
3．能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定．(数学抽象)
4．掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象) 5．能够用全称量词命题和存在量词命题解决简单的数学问题．(逻辑推理)
4．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题．
思考2：怎样判断一个命题是存在量词命题？
提示：判断一个命题是否为存在量词命题，一是看该命题是否含有存在量词；二是看该命题是否为省去存在量词的命题，如果是，我们可以先把存在量词补充出来再判断．
知识点3 全称量词命题的否定
全称量词命题p ∀x∈M，p(x) ¬p __∃x∈M，¬p(x)__ 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评； 3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算； 4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案； 5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
思考1：用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
知识点4 存在量词命题的否定
存在量词命题p ∃x∈M，p(x) ¬p __∀x∈M，¬p(x)__ 结论 存在量词命题的否定是全称量词命题 【预学案】
知识点1 全称量词与全称量词命题
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词__，并用符号“__∀__”表示．
2．全称量词命题：含有__全称量词__的命题，叫做全称量词命题．
3．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__∀x∈M，p(x)__.
4．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
思考1：怎样判断一个命题是全称量词命题？
提示：判断一个命题是否为全称量词命题，一是看该命题是否含有全称量词；二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，我们可以先把全称量词补充出来再判断．
知识点2 存在量词与存在量词命题
1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__存在量词__，并用符号“__∃__”表示．
2．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做__存在量词命题__. 3．存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__∃x∈M，p(x)__.
1
思考2：一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定相同吗？ 提示：(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词并按要求改变量词．
预学自测：
1．下列命题中全称量词命题的个数是( C ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的矩形是正方形； ③三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2
D．3
人教A版（2019）必修第一册学案
[解析] ①③是全称量词命题．
2．下列命题中，不是全称量词命题的是( D )
A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小 D．一定存在没有最大值的二次函数 [解析] 选项D是存在量词命题． 3．写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q；
(2)任意奇数的平方还是奇数； (3)有些梯形是等腰梯形；
(4)存在一个实数，它的绝对值不是正数． [解析] (1)∃n∈Z，n∉Q； (2)存在一个奇数的平方不是奇数； (3)所有的梯形都不是等腰梯形； (4)任意一个实数，它的绝对值都是正数．
【我的疑惑】
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判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．
【对点练习】❶ 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)∃x，y∈Z，使3x－4y＝20； (4)任何数的0次方都等于1.
[解析] (1)全称量词命题．在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在量词命题．存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在量词命题．取x＝0，y＝－5时，3×0－4×(－5)＝20成立，所以该命题是真命题． (4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题．
2
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[解析] (1)全称量词命题，真命题，因为x2＋1－＝x2＋，
221
因为x2≥0，所以x2＋1≥1，x2＋1>恒成立．
2
(2)存在量词命题，真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意． (3)存在量词命题，真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．
(4)全称量词命题，假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数． (5)存在量词命题，假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解． [归纳提升] 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
【探究案】
探究一 全称量词命题与存在量词命题
例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)∀x∈R，x2＋1>
1； 2
(2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2； (3)存在一个数既是偶数又是负数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[分析] 对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．
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探究二：全称量词命题与存在量词命题的应用
例3 已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] ∵p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0， ∴¬p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，¬q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0. 由题意得¬p与¬q都是真命题．
a≠0，由¬p为真命题得a＝0或故a≤1.
4－4a≥0，a>0，
由¬q为真命题得a＝0或2
a－4a<0，
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0； 1
(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；
4(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0.
[分析] 把全称量词改为存在量词，然后否定结论． [解析] (1)任意x∈R,2x＋1<0，为假命题．
1
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.
4
11
因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以是真命题．
42
(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．当a=0，b不等于0时，方程的解不存在，所以是真命题
故0≤a<4.
a≤1，
∴解得0≤a≤1. 0≤a<4，
(4)存在被5整除的整数，末位不是0.末位是5也可，所以是真命题. [归纳提升] 1.全称量词命题和存在量词命题的否定及关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．
2．对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题，可以直接写出其否定，而对省略量词的命题在写命题的否定时，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确
B．m>3 D．m≥3
定是全称量词命题还是存在量词命题，先写成全称量词命题或存在量词命题的形式，再对其进行否定．
3．常见词语的否定
3)2－4m≥0，所以
m≤3，
词语 等于 大于 小于 词语的否定 不等于 不大于(即小于或等于) 不小于(即大于或等于) 故实数a的取值范围是[0,1]．
[归纳提升] 解决含有量词的命题求参数范围问题的思路
1．全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围．
2．存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数取值范围问题时，应尽量分离参数．
【对点练习】❸ 已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2－23x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是( C )
A．m<3 C．m≤3
[解析] 依题意，方程
探究三、全称量词命题和存在量词命题的否定 例1 写出下列命题的否定：
3
x2－23x＋m＝0有实数解，则Δ＝(－2人教A版（2019）必修第一册学案
是 都是 【对点练习】❶ 写出下列命题的否定： (1)∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
不是 不都是 A．∃x∈R，x3－2x＋1≠0 B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0 C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0 D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，可排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，可排除B．
(4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小．
[解析] (1)该命题的否定： ∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.
(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数． (3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是有理数．
(4)任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．
【检测案】
1．下列命题中是真命题的是( B ) A．∃x∈R，x2＋1<0 B．∃x∈Z,3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z
2．下列命题中，是全称量词命题的有__②③__，是存在量词命题的有__①④__.(填序号)
①有的集合的真子集个数为0；②所有有两个角是60°的三角形是等边三角形；③任意一个集合与空集的交集都是空集；④至少有一个无理数的平方是有理数；⑤所有正数都是实数吗？
3．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( D ) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0 C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 D．存在x∈R，x3－x2＋1>0
[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，可排除A，B．
4．命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( D )
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5．写出下列命题的否定： (1)∀x∈R，|x|＋1－x≠0；
(2)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点． [解析] (1)命题的否定：∃x∈R，|x|＋1－x＝0.
(2)命题的否定：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．
【课堂小结】