2014-2015学年高中数学选修2-1 抛物线的标准方程及简单几何性质导学案

抛物线及其标准方程导学案

【学习要求】

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线的方程.

【学法指导】

通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状？

问题2 |DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

问题3 点D在移动过程中，满足什么条件？

问题 4 在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？

22例1 方程2(x3)(y1)＝|x－y＋3|表示的曲线是( )

【知识要点】

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 2．抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程  A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

跟踪训练1 （1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是 ( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线

探究点二 抛物线的标准方程

问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？

问题2 抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？

问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？

例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. （1）y2＝－6x； （2）3x2＋5y＝0； （3）y＝4x2； （4）y2＝a2x (a≠0).

跟踪训练2 （1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为( ) 7

，0 A．16

77

－，0 C．－，0 B．416

7

0，－ D．4

1

（2）抛物线y＝－x2的准线方程是 ( )

41A．x＝ 16

B．x＝1 C．y＝1

D．y＝2

【问题探究】 探究点一 抛物线定义

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边

1

例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y＋4＝0； （2）过点(3，－4)；

（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.

跟踪训练3 （1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8y C．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x

（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、

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抛物线方程及其准线方程.

探究点三 抛物线定义的应用

11，0的距离比它到y轴的距离大. 例4 已知点A(3,2)，点M到F22

（1）求点M的轨迹方程；

（2）是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( ) 17A． 16

15B． 16

7C． 8

D．0

那么AB=（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )

A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x

4．抛物线y24x上的两点A、B到焦点的距离之和为10，则线段AB中点到y轴的距离为

（2）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A．17 2

B．3

C．5

9D．

2

抛物线的简单几何性质（一）导学案

【学习要求】

1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.

【当堂检测】

1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A．x2＝－28y B．y2＝28x C．y2＝－28x D．x2＝28y

p

2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是 ( )

2p

A．a＋ 2

p

B．a－ C．a＋p

2

D．a－p

【学法指导】

结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.

【知识要点】

1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( ) A．2

B．3

11C．

5

37D． 16

4．焦点在y轴上，且过点A(1，－4)的抛物线的标准方程是__________

【课堂小结】

1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.

2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my (m≠0).

图形 范围 性 对称轴 质 顶点 离心率 x轴 (0,0) e＝ x轴 y轴 【拓展提高】

1．若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则P点的轨迹方程是（ ） A．y216x B．y232x C．y216x D．y232x

2．过抛物线y4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1x26，

2 y轴 2．焦点弦

直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝pp

x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝

22

3．直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程 的解的

2

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个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.

11－， A．22

B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4]

3．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为 ( ) A．(1,2)

1

，1 B．(0,0) C．2

D．(1,4)

【问题探究】

探究点一 抛物线的几何性质

问题1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？

问题 2 通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？

例1 若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 ( ) 21

A．，±

44

2211

B．，± C．，

4844

21

D．，

84

4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝_______

【课堂小结】

1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.

2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.

跟踪训练1 抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________

探究点二 抛物线的焦点弦问题

例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. （1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.

跟踪训练2 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.

探究点三 直线与抛物线的位置关系

问题 结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？

例3 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

跟踪训练3 过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.

【拓展提高】

x216y21．若双曲线21的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p的值为（ ）

3pA．2

B．3

C．4

D．42 2．设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上的一点，若

OAAF4，则点A的坐标为（ ）

A．(2,22) B．(1,2) C．(1,2) D．(2,22)

3．已知直线l：y＝－x＋1和抛物线C：y24x，设直线与抛物线的交点为A、B，求AB的长。 4．过点(3,2)的直线与抛物线y24x只有一个公共点，求此直线方程。

【当堂检测】

1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 ( ) p

A． 2

B．p

C．2p

D．无法确定

抛物线的简单几何性质（二）导学案

【学习要求】

1．提升对抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性. 2．学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题.

【学法指导】

结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.

2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )

3

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【双基检测】

1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上一点P(－3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 ( ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x

2．已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是( ) 1

－，1 A．4

1

－，－1 B．(－2,22) C．4

D．(－2，－22)

3．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

( ) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积为________.

2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( ) A．4 B．8 C．16 D．32 3．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).

能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号). 4．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________.

【课堂小结】

求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.

【问题探究】

题型一 抛物线的标准方程

x2y2

例1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求

49抛物线的方程及准线方程.

x2y2

跟踪训练1 求以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程.

题型二 抛物线的几何性质

例2 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

跟踪训练2 如图所示，抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两

点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

题型三 抛物线中的定值、定点问题

例3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值.

跟踪训练3 A、B为抛物线y2＝2px (p>0)上两点，O为原点，若OA⊥OB，求证：直线AB过定点.

【拓展提高】

x2y21．已知抛物线y2px(p0)与221(a0,b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，

ab且AFx轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（ ）

A．(0,) B．(,) C．(,) D．(,)

4332622．已知抛物线x4y，则以1,为中点的弦所在的直线方程是（ ） A．x2y60 B．x2y40 C．4x2y90 D．4x2y10 3．抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是

24．已知直线y2xk被抛物线x4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点

252

【当堂检测】

1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则该点的轨迹是 ( ) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线

4

（1）求实数k的值

（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，ABC面积最大？

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章末复习课

A．x＝±15y 2

B．y＝±153x C．x＝±y 24

3

D．y＝±x

4

【知识网络】

x2y2x2y2

跟踪训练2 已知双曲线2－2＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标

ab259为________；渐近线方程为__________.

题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点.其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行.

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题.

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等.

x2y26例3 已知椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3.

ab3（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

，求△AOB面积的最大值. 2

跟踪训练3 已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b). （1）求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

（2）设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围.

【当堂检测】

x2y2

1．已知F1、F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|

54＋|AF2|的最小值为 ( ) A．37＋4

【题型解法】

题型一 圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.

研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题. x2y2

例1 若点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________

167x2y2

跟踪训练1 已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上

95一点，求|PA|＋|PF1|的最大值.

题型二 有关圆锥曲线性质的问题

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.

x2y2x2y2

例2 已知椭圆2＋2＝1和双曲线2－2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( )

3m5n2m3n

5

B．37－4 C．37－25 D．37＋25

x2y2x2y2

2．已知双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，

ab169则双曲线的方程为__________

3．一动圆与圆(x＋3)2＋y2＝1外切，又与圆(x－3)2＋y2＝9内切，则动圆圆心的轨迹方程为_______________

2

4．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y21＋y2的最小值是_____

【课堂小结】

在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题.

【拓展提高】

重庆市潼南柏梓中学高二数学圆锥曲线导学案 蒋红伟

x2y21．若椭圆2+2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成5：

ab3两段，则此椭圆的离心率为（ ） A．

411725 B． C． D．

517175

2．以O为中心，F1、F2为两焦点的椭圆上存在一点M，满足MF12MO2MF2,则该椭圆的离心率为（ ） A．

23256 B． C． D．

3353x2y21两焦点为F1、F2，A(3,1)点P在椭圆上，则PF1PA的最大值为_____， 3．椭圆

2516最小值为_____

y21的左、右焦点。若点P在双曲线上，且PF4．设F1、F2分别是双曲线x1PF20, 92则PF1PF2＝ 5．设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x2为准线 （1）求抛物线顶点的轨迹C的方程

（2）已知点B(0,5)，轨迹C上是否存在满足MBNB0的M,N两点？证明你的结论

x2y226．已知椭圆E:221(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

ab2xy20相切。

（1）求椭圆E的方程

（2）若过椭圆E左焦点的直线与椭圆E相交于两点C、D，与抛物线yx交于A、B，设P为椭圆上一

210242,点，且满足OAOBtOP(O为坐标原点），当PCPD时，求实数t的取值范围 93

6