大学物理(吴百诗)习题答案3运动守恒定律

冲量和动量定理

3-1质量m=10kg的物体在力Fx=30+4t N的作用下沿x轴运动，试求（1）在开始2s内此力的冲量I；（2）

如冲量I=300N·s，此力的作用时间是多少？（3）如物体的初速v1=10m/s，在t=6.86s时，此物体的速度v2为多少？

解：(1) Ix(2) ItF0t02xdt(304t)dt68Ns

0t2Fxdt(304t)dt30t2t02300，t6.86s

11(Imv1)(3001010)20m/s m103-2质量m=1kg的物体沿x轴运动，所受的力如图3-2所示。t=0时，质点静止在坐标原点，试用牛顿定律

和动量定理分别求解t=7s时此质点的速度。

F/N 2t0t510 解：(1) F 5t355t7(3) Ip2p1mv2mv1，t6.86s，I300Ns，v2v15dv252t，mdv2tdt，v125(m/s)

00mdtv27dv 5t7，m5t35，mdv(5t35)dt，

v15dt0t5，mO 5 图3-2 7 t/s v235(m/s)

(2) I701Fdt(710)35(Ns)，Imv2mv1mv2，v235(m/s)

2动量守恒定律

3-3两球质量分别为m1=3.0g， m2=5.0g，在光滑的水平桌面上运动，用直角坐标xOy描述运动，两者速度

v8icm/sv(8i16j)cm/s，若碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v的大小为分别为1，2多少？与x轴的夹角为多少？

解：系统动量守恒 (m1m2)vm1v1m2v2i80j， v8i10j

10vv8210212.8cm/s，与x轴夹角 arctan51.3

83-4如图3-4所示，质量为M的1/4圆弧滑槽停在光滑的水平面上，一个质量为m的小物体自圆弧顶点由

静止下滑。求当小物体滑到底时，圆弧滑槽在水平面上移动的距离。 m 解：系统在水平方向动量守恒 mvM(V)0，mvMV

两边对整个下落过程积分 mvdtM0tVdt

0tR M 令s和S分别为m和M在水平方向的移动距离，则

st0vdt，St0Vdt，msMS。又 sRS，所以 SmR

mM图3.4 另解：m相对于M在水平方向的速度 vvV

mMv。对整个下落过程积分 MtmmMtmMvdtvdt，Rs，在水平方向的移动距离 SRsR 00MMmM8

大学物理练习册—运动守恒定律

质心 质心运动定律

3-5求半径为R的半圆形匀质薄板的质心（如图3-3所示）。

2m解：设薄板质量为m，面密度为2。由质量分布对称性知，质心在x轴上。

R在距o点为x的地方取一宽度为dx细长条，对应的质量

dm2R2x2dx，由质心定义

y R O x xcR0xdmm2mR04R xR2x2dx3图3-5

3-6一根长为L，质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑钉子上，如图3-6所示。开始时，BC=b，试用

质心的方法证明当BC=2L/3时，绳的加速度为a=g/3，速率为v解：由软绳在运动方向的受力和牛顿定律

2g22(LbLb2)。 L9B b C 图3-6 g[y(Ly)]La，a2yL1g，a2g

yL3L32yLdvdvdydv，agvLdtdydtdyv2g222LbLb L9gvdv0Lv2L3b(2yL)dy

另解(用质心)

(Lb)当BCb时，链系的质心为 ycLbbb2222L2Lb2b m2L25L L时，链系的质心为 yc318又重力的功等于物体动能的增量

当BC2g2212yc)，vyc)mv2，v22g(ycmg(ycLbLb L92

角动量（动量矩）及其守恒定律

3-7 已知质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上运行，其角动量大小为L，求它的动能、势能和总能

m1m2，G为万有引力常数） r1L2L2解：Lrmv，v，Ekmv

22mr2mrmMemMemMev2L2e2设地球质量Me，EpG，由牛顿定律 G2m，Gmv，Ep2

rrmrrr量。（引力势能EpG

9

大学物理练习册—运动守恒定律

L2L2L2 EEkEp2mr2mr22mr23-8质量为m的质点在xOy平面内运动，其位置矢量为racostibsintj，其中a、b、为常量，

dr解：(1) vasintibcostj

dt pmvm(asintibcostj)，ppma2sin2tb2cost

(2) Lrp(acostibsintj)m(asintibcostj)abmk

3-9质量均为m的两个小球a和b固定在长为l的刚性轻质细杆的两端，杆可在水平面上绕O点轴自由转

动，杆原来静止。现有一个质量也为m的小球c，垂直于杆以水平速度vo与b球碰撞（如图3-9所示），并粘在一起。求（1）碰撞前c球相对于O的角动量的大小和方向；（2）碰撞后杆转动角速度。

3解：(1) Lrmv0 方向垂直纸面向下。Lrmv0lmv0 c 4a O b (2) 系统对o点的角动量守恒。设碰撞后杆的角速度为，则

m l/4 12v033311 lmv0l(2m)(l)lm(l)， l 求（1）质点动量的大小；（2）质点相对于原点的角动量。

m

v0m

4444419l图3.9 功和动能定理

3-10一人从10m深的井中提水，已知水桶与水共重10kg，求（1）匀速上提时，人所作的功；（2）以a=0.1m/s2

匀加速上提时，人所作的功；（3）若水桶匀速上提过程中，水以0.2kg/m的速率漏水，则人所作的功为多少？

解：(1) Fmg0，Fmg，A100Fdy100mgdy980J

(2) Fmgma，Fm(ga)，A100Fdy0100m(ga)dy990J

(3) F(m0.2y)g0，F(m0.2y)g，A10Fdy100g(m0.2y)dy882J

3-11质量m=6kg的物体，在力Fx=3+4x N的作用下，自静止开始沿x轴运动了3m，若不计摩擦，求（1）

力Fx所作的功；（2）此时物体的速度；（3）此时物体的加速度。 解：(1) A30Fxdx(34x)dx27J

03(2) 由动能定理 A2A1312123m/s mv2mv1mv2，v2m222(3) 由牛顿定律 axFx3432.5m/s2 m63-12质量为m的物体自静止出发沿x轴运动，设所受外力为Fx=bt，b为常量，求在T s内此力所作的功。

tvbt2bT2dv解：由牛顿定律 Fbtm，btdtmdv，v，tT时，v

002m2mdt2411212bT由动能定理 Amv2mv0 mv2228m 10

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bt2另解：dxvdtdt，AFxdx2mT0bt2b2T4 btdt2m8m保守力的功和势能

3-13质量为m的小球系在长为l的轻绳一端，绳的另一端固定，把小球拉至水平位置，从静止释放，如图为多少？（2）在此过程中，小球势能的增量为多少？并与（1）的结果比较；（3）利用动能定理求小球下摆角时的速率。

解：(1) Tdr，ATTdr0，张力T对小球不做功。

O AF(Tmg)drmgdrmgj(dxidyj)T y2图3-13 mgdymglsinmg3-13所示，当小球下摆角时，（1）绳中张力T对小球做功吗？合外力FTmg对小球所做的功

y1(2) Epmg(y2y1)mglsin，可见重力的功等于小球势能增量的负值。

12mv，v2glsin 23-14质量为 m 的质点沿 x 轴正方向运动，它受到两个力的作用，一个力是指向原点、大小为 B 的常力，

另一个力沿 x 轴正方向、大小为 A/x2，A、B为常数。（1）试确定质点的平衡位置；（2）求当质点从平衡位置运动到任意位置 x 处时两力各做的功，并判断两力是否为保守力；（3）以平衡位置为势能零点，求任意位置处质点的势能。

(3) 由动能定理 mglsin解：(1) FAB，F0时，x02xA B(2) A1xx0F1dxxx0A11dxA()，A2x2x0xxx0F2dxxx0BdxB(x0x)

A1、A2只与始末位置有关，即两力均为保守力。 (3) Epx0xFdxx0x(A11AB)dxA()B(xx)Bx2AB 0x2xx0x功能原理和机械能守恒

3-15 如图3-15所示，一质量为 m’ 的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为  ，高度为 h，物

块与斜面的动摩擦因数为 ，今有一质量为 m 的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中，且

使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。 解：以物块和子弹为研究对象，碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒

子弹射入物块后的速度大小为v1，则

v0h mv0cosA mv0cos(mm)v1，v1 mm取斜面底部为势能零点，物块滑出顶端时的速度大小为v2，由功能定理

h112(mm)gcos(mm)v12(mm)v2(mm)gh

sin22 图3.15

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大学物理练习册—运动守恒定律

mvcosv202gh(cot1)

mm3-16 劲度系数为 k 的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为 mA 的物体A，放在光滑水平面上，

当把弹簧压缩 x。后，再靠着 A 放一质量为 mB 的物体B ，如图3-16所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止状态，若撤去外力，试求 A 与 B 离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。 解：(1) 弹簧到达原长时A开始减速，A、B分离。

设此时速度大小为v，由机械能守恒

A B O x0 x 图3-16

2K121 kx0(mAmB)v2，vx0mAmB22(2) A、B分离后，A继续向右移动到最大距离xm处，则

mAmA112，xmv mAv2kxmx0kmAmB223-17 如图3-17所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋

面滑下，若摩擦力略去不计。求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。 解：由机械能守恒 mgR(1sin)冰块离开屋面时，由牛顿定律

12mv，v22gR(1sin) 2R  v222mgsinm，sin，arcsin41.8

R33v2gR(1sin)2gR 3图3.17

碰撞

3-18一质量为m0以速率v0运动的粒子，碰到一质量为2 m0的静止粒子。结果，质量为m0的粒子偏转了

450，并具有末速v0/2。求质量为2 m0的粒子偏转后的速率和方向。 解：

v0mvmcos452m0vcos0002碰撞前后动量守恒 

vm0sin452mvsin002vvsin45v05220.368v0，arcsin028.7

44v• m

0v0

v0 2• 2m0 v y

x

3-19图3-19所示，一质量为m的小球A与一质量为M的斜面体B发生完全弹性碰撞。（1）若斜面体放置

在光滑的水平面上，小球碰撞后竖直弹起，则碰撞后斜面体和小球的运动速度大小各为多少？（2）若斜面体固定在水平面上，碰撞后小球运动的速度大小为多少？运动方向与水平方向的夹角为多少？ 解：(1) 以小球和斜面为研究对象，水平方向动量守恒。 设碰撞后小球和斜面速度大小为v、V，则

A vv  B 图3-19

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mvMV，Vmv。 MMm1211 mvmv2MV2，vvM222又根据能量守恒定理

(2) 由动能守恒知 vv。小球与斜面碰撞时，斜面对小球的作用力在垂直于斜面方向，碰撞前后在

平行于斜面方向动量守恒 mvcosmvcos，

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