3.3 垂径定理
第1课时 垂径定理
【基础练习】
知识点1 圆的轴对称性 1.圆的对称轴有 A.1条
( ) B.2条
C.4条 ( )
D.无数条
2.下列说法中,正确的是 A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴 C.半径是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 知识点2 垂径定理 3.
如
图
1,AB
是
☉O
的
直
径,弦CD⊥AB于点E,则
⏜= ,𝐵𝐶⏜= ,△OCE≌ . CE= ,𝐴𝐶
图1
4.如图2,在☉O中,弦AB=8,弦心距OC=3,则☉O的半径为 .
图2
5. 如图3,在半径为5 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于点C,则OC的长为 cm.
图3
6.如图4,若☉O的半径为13 cm,弦AB的长为24 cm,P是弦AB上的一个动点,则它到圆心O的距离最小是 cm.
图4
7.如图5,☉O的半径为5,弦AB=8,点C在弦AB上,且AC=4AB,则OC的长为
1
( )
图5
A.2√2 B.2√3 C.4√2 D.√13 8.如图6,已知CD是☉O的弦,点A,B在CD所在的直线上,且OA=OB.求证:AC=BD.
图6
知识点3 垂径定理在实际生活中的应用
9.在半径为500 mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图7所示.若圆心O到油面AB的距离OC=300 mm,则油面宽AB= mm.
图7
10.如图8,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8 m,则排水管内水的深度为 m.
图8
【能力提升】
11.《九章算术》中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这块木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问这块圆柱形木材的直径是多少.”如图9,圆柱形木材的直径AC是
( )
图9
A. 13寸
B. 20寸
C. 26寸
D. 28寸
12.如图10,将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D,E,量出半径OC=5 cm,弦DE=8 cm,则直尺的宽度为 cm.
图10
13.如图11,一下水管道横截面为圆形,直径为100 cm,下雨前水面宽为60 cm,一场大雨过后,水面宽为80 cm,则水位上升 cm.
图11
14.在直径为20的☉O中,弦AB,CD互相平行.若AB=16,CD=10,则弦AB,CD之间的距离是 .
15.如图12,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D. (1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径为10,小圆的半径为8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
图12
16.如图13是一个半圆形桥洞的截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且AB=26 m,OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD=5∶24. (1)求CD的长;
(2)现汛期来临,水面以每小时4 m的速度上升,则经过多长时间桥洞刚好被灌满?
图13
⏜上的一个动点(不与点A,B重17.如图14,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是𝐴𝐵
合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E. (1)若BC=6,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?度数保持不变的角?如果存在,请指出并求出其相应的长度或角度;如果不存在,请说明理由.
图14
答案
1.D 2.B
⏜ 𝐵𝐷⏜ △ODE 4.5 3.DE 𝐴𝐷
5.4 [解析] 如图,连结OA.
∵AB=6 cm,OC⊥AB于点C, ∴AC=2AB=2×6=3(cm). ∵☉O的半径为5 cm,
∴OC=√𝑂𝐴2-𝐴𝐶2=√52-32=4(cm). 6.5 7.D
8.证明:如图,过点O作OE⊥CD于点E.
1
1
在☉O中,∵OE⊥CD,∴CE=DE. ∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE, ∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD. 9.800
10.0.8 [解析] 如图,设圆心为点O,过点O作OC⊥AB,C为垂足,直线OC交☉O于点D,E,连结OA,则OA=0.5 m.
∵OC⊥AB,∴AC=BC=2AB=0.4 m. 在Rt△AOC中,∵OA2=AC2+OC2, ∴OC=0.3 m,∴CE=0.3+0.5=0.8(m). 即排水管内水的深度为0.8 m.
1
11.C [解析] 设☉O的半径为r. 在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r, 则有r2=52+(r-1)2, 解得r=13,
∴☉O的直径为26寸. 故选C.
12.3 [解析] 如图,过点O作OF⊥DE于点F,连结OD.
∵OF⊥DE,∴DF=EF=DE=4 cm.
21
∵OD=OC=5 cm,
∴OF=√𝑂𝐷2-𝐷𝐹2=√52-42=3(cm), ∴直尺的宽度为3 cm.
13.10或70 [解析] 如图,过点O作OC⊥AB于点C,连结OB.
由垂径定理,得BC=2AB=2×60=30(cm). 在Rt△OBC中,OC=√502-302=40(cm). 若水位上升到圆心以下,水面宽为80 cm, 则OC'=√502-402=30(cm), 此时水位上升40-30=10(cm);
若水位上升到圆心以上,水面宽为80 cm,则水位上升40+30=70(cm). 综上可得,水位上升10 cm或70 cm. 故答案为10或70. 14.5√3±6
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1
[解析] 若点O在AB和CD之间,如图,过点O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD于点F,连结OA,OC.
∵AB∥CD,OE⊥AB, ∴OF⊥CD,
∴AE=BE=AB=8,CF=DF=CD=5.
2
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在Rt△AOE中,OE=√102-82=6. 在Rt△OCF中,OF=√102-52=5√3, 则EF=OE+OF=5√3+6;
若点O在AB,CD同一侧,过点O作OE⊥AB于点E,延长OE交CD于点F,则可得EF=OF-OE=5√3-6.
∴弦AB,CD之间的距离为5√3±6.
15.解:(1)证明:如图,过点O作OE⊥AB于点E,
则CE=DE,AE=BE,∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD. (2)如图,连结OC,OA. 由(1)可知,OE⊥AB,则OE=6, ∴CE=√𝑂𝐶2-𝑂𝐸2=√82-62=2√7, AE=√𝑂𝐴2-𝑂𝐸2=√102-62=8, ∴AC=AE-CE=8-2√7. 16.解:(1)如图,连结OD. ∵直径AB=26 m, ∴OD=2AB=2×26=13(m). ∵OE⊥CD,∴DE=2CD. ∵OE∶CD=5∶24,
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1
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∴OE∶DE=5∶12. 设OE=5x m,DE=12x m. ∵在Rt△ODE中,OE2+DE2=OD2, ∴(5x)2+(12x)2=132, 解得x=1(负值已舍去), ∴CD=2DE=2×12×1=24(m).
(2)由(1)得OE=1×5=5(m). 如图,延长OE交☉O于点F, 则EF=OF-OE=13-5=8(m).
∵4=2(时),∴经过2小时桥洞刚好被灌满. 17.解:(1)∵OD⊥BC, ∴BD=BC=×6=3.
2
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8
∵∠BDO=90°,OB=5,BD=3, ∴OD=√𝑂𝐵2-𝐵𝐷2=4, 即线段OD的长为4.
(2)存在,DE的长保持不变,∠DOE的度数保持不变.如图,连结AB.
∵∠AOB=90°,OA=OB=5, ∴AB=√𝑂𝐵2+𝑂𝐴2=5√2. ∵OD⊥BC,OE⊥AC,
∴D,E分别是线段BC,AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE=2AB=连结OC.
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5√2. 2
∵OD⊥BC,OE⊥AC,OB=OC=OA, ∴∠BOD=∠COD,∠AOE=∠COE. ∵∠AOB=90°,
∴∠DOE=∠COD+∠COE=2∠AOB=45°.
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