陕西省汉中市2019届高三上学期教学质量第一次检测考试数学(理)试题及答案

陕西省汉中市2019届高三第一次检测考试理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合Ax|0x3，Bx|1x2，则CRAA.x|1x3

B（ ）



B.x|1x3



C.x|3x2



D.x|3x2

2.在区间3,4内随机取一个实数x，则满足2x2的概率为（ ） A.

2 7 B.

3 7 C.

4 7 D.

5 75x2y23.已知双曲线C:221a0,b0的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）

2ab111A.yx B.yx C.yx D.yx

4324.命题p：复数z12i对应的点在第二象限，命题q：x00，使得lnx02x0，则下列命题中为i

B.pq

C.pq

D.pq

真命题的是（ ）A.pq 5.函数ytanA.

x的部分图象如图所示，则向量OA与OB的数量积为（ ）

24C.2

D.6

 4 B.5

2xy2226.若x,y满足约束条件y20，则xy的最大值为（ ）A.4

2xy21xB.8 C.2

D.6

lnx,x07.已知ae2xdx，（其中e为自然对数的底数），函数fxx，则fa010,x0等于（ ）A.4

B.3e

C.

1flg34 3 D.

1 38.我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的n（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

9.已知l,m表示两条不同的直线，,表示两个不同的平面，l，m，则有下面四个命题：①若

//，则lm；②若，则l//m；③若l//m，则；④若lm，则//.其中所有正

确的命题是（ ）A.①③

B.①④

C.②③

D.①②③④

10.已知函数fxsin2x3cos,xR，则下列结论不正确的是（ ） A.最大值为2

B.把函数y2sin2x的图象向右平移

D.单调递增区间是k个单位长度就得到fx的图像 3

C.最小正周期为

12,k5，kZ 1211.在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若角A,B,C成等差数列，且直线axcy4平分圆

x2y22x2y30的周长，则ABC面积的最大值为（ ）A.33 B.2 C.2 D.3

12.已知定义在R上的奇函数fx满足fxfx，当x0,时，fxx，则函数2gxfx13,3上所有零点之和为（ ）A. B.2 C.3 D.4 在区间x2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a1,2，b2,m，若ab，则实数m________.

14.在ABC中，若AB3，AC1，且cos4A3，则BC________. 23115.1x32展开式中的常数项为________.（用数字作答）

x16.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为xy8x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值是________.

22三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

17.在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且3acosCccosA2bcosA.

（1）求角A的大小；（2）已知公差为dd0的等差数列an中，a1sinA1，且a1,a2,a4成等比数列，记bn4，求数列bn的前n项和Sn. anan118.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表一：男生

男等级 优秀 合格 尚待改进 15 生 频数 x 5 表二：女生

女等级 优秀 合格 尚待改进 15 3 生 频数 y （1）求x,y的值；

（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为X，求随机

变量X的分布列及数学期望；

（3）由表中统计数据填写22列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 优秀 非优秀 总计 男生 女生 总计 45 2nadbc2参考公式：K，其中nabcd.

abcdacbd参考数据：

PK2k0 0.01 2.706 0.05 3.841 0.01 6.635 k0 19.如图，在四棱锥ABCDE中，ABAC，底面BCDE为直角梯形，BCD90，O,F分别为

BC,CD中点，且ABACCD2BE2，AF5.

（1）OA平面BCDE；

（2）若P为线段CD上一点，且OP//平面ADE，求（3）求二面角ADEB的大小.

CP的值； CD6x2y2220.已知椭圆221ab0的右焦点F与抛物线y8x的焦点重合，且椭圆的离心率为，3ab

过x轴正半轴一点m,0且斜率为3的直线l交椭圆于A,B两点. 3

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由. 21.已知函数fxlnx1ax2xa0.

（1）若x1是函数fx的一个极值点，求实数a的值； （2）讨论函数fx的单调性.

（3）若对于任意的a1,2，当x1时，不等式fxlnam恒成立，求实数m的取值范围.

12请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

x22cos,在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以平面直角坐标系的

y2sin,原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为：cossin2. （1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设C1和C2交点为A,B，求AOB的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数fx2x1，gxx1mm2. 2（1）若m0，解不等式fxgx；

（2）若fx2gx0对任意xR恒成立，求实数m的取值范围.

陕西省汉中市2019届高三上学期教学质量第一次检测考试

数学（理）试题参

一、选择题

1-5:CBCCD 6-10:BABAB 11、12：DD

二、填空题

13.1 14.23 15.24 16.4 3三、解答题

17.解：（1）由正弦定理可得3sinAcosCsincosA2sinBcosA， 从而可得3sinAC2sinBcosA，即3sinB2sinBcosA 又B为三角形的内角，所以sinB0，于是cosA3 2

又A为三角形的内角，所以A6.

（2）因为a1sinA1，a1,a2,a4且成等比数列，所以a1所以2d223d，且d0，解得d2 所以an2n，所以bn所以Sn1212a1a4 2，且a2sinA4111 anan1nn1nn11111111n1L1. 22334n1n1nn118.解：（1）设从高一年级男生中抽取m人，则解得m25，则从女生中抽取20人

所以x251555，y201532.

m45 500500400（2） 表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则X的所有可能的取值为0,1,2.

31C5C52C2102204PX03，PX13，

C7357C735712C5C51PX232.则随机变量X的概率分布列为：

C7357 X P 0 1 2 2 74 71 7所以X数学期望为

362. 77（3）22列联表如下： 优秀 非优秀 总计 男生 15 10 25 女生 15 5 20 2总计 30 15 45 4515515102 K30152520

451525291.1252.706， 301525208因为10.90.1，PK22.7060.10

所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 19.解：（1）证明：连结OF

ABAC2，O为BC的中点

∴OABC，且BC22，OC2 又

BCD90，F是CD中点，CD2，

∴OFOC2CF2=3

222由已知AF5，∴AFOAOF

∴OAOF，且BC,OF是平面BCDE内两条相交直线 ∴OA平面BCDE.

（2）连接BF，由已知底面BCDE为直角梯形，CD2BE，BE//CD 则四边形BFDE为平行四边形 所以BF//DE

因为OP//平面ADE，OP平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，

所以OP//DE 所以OP//BF

因为O为BC中点，所以P为CF中点 所以所以

CP1，又因为点F为CD的中点. CF2CP1. CD4

（3）取DE的中点M连结OM，由（1）知OAOM，且OMOB，OM//CD//BE， 如图，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为ABACCD2BE2 所以A0,0,2，D2,2,0，E2,1,0

AD2,2,2，AE2,1,2

由于OA平面BCDE，所以平面BCDE的法向量n0,0,1 设平面ADE的法向量mx,y,z，则有

ADm02x2y2z0即 AEm02xy2z0令x1，则y22，z3，即m1,22,3

cosn,mnmnm32 2132由题知二面角ADEB为锐二面角 所以二面角ADEB的大小为

. 4

20.解：（1）

抛物线y8x的焦点是2,0

2∴F2,0，∴c2，又椭圆的离心率为

∴a6，a26，则b2a2c22

6c6，即 3a3x2y21. 故椭圆的方程为62（2）由题意得直线l的方程为y3xmm0 3x2y216222由消去y得2x2mxm60. y3xm3由4m28m260，解得23m23. 又m0，∴0m23.

m26设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1x2m，x1x2.

2331mm2∴y1y2x1mx2mx1x2x1x2.

33333FAx12,y1，FBx22,y2，

2mm34m6m2∴FAFBx12x22y1y2x1x2 x1x243333若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有FAFB0，即

2mm30，

3

解得m0,3.又0m23，∴m3. 即存在m3使以线段AB为直径的圆经过点.

2ax22a1x12ax121.解：（1）fx x1x1因为x1是函数fx的一个极值点，所以f10，解得a（2）因为fx的定义域是1,，

1. 42ax12a2ax22a1xx

fxx1x11①当0a时，列表

2x 1,0 + 增 11 0,2a- 减 11, 2a+ 增 fx fx

11fx在1,0，1,单调递增；fx在0,1单调递减.

2a2ax210，fx在1,单调递增. ②当a时，fxx12③当a1时，列表 2x 11,1 2a+ 增 11,0 2a- 减 0, + 增 fx fx

11fx在1,1，0,单调递增；fx在1,0单调递减.

2a2a1（3）由（2）可知当1a2时，fx在,1单调递增，

2

所以fxlna在,1单调递增.

所以对于任意的a1,2的最大值为f1ln2a1，

要使不等式fxlnam在,1上恒成立，须ln2a1lnam， 记galnaaln21，因为ga1212110， a所以ga在1,2上递增，ga的最大值为g212ln2，所以m12ln2. 故m的取值范围为12ln2,. 22.解：（1）曲线C1的参数方程为x22cosx22cos（为参数），即

y2siny2sin2222平方相加得C1的普通方程为：x2y4（或xy4x0）

xcos，ysin

代入直线C2的极坐标方程cossin2 得C2的直角坐标方程xy2.

（2）由（1）知C1是以2,0为圆心，为2半径的圆，且直线xy2过圆心2,0

∴AB4，又由于原点到直线xy2的距离为d则AOB的面积为

22 211ABd4222. 2223.解：（1）当m0时gxx1 原不等式可化为2x1x1

两端平方得2x1x1化简得x2x0

222解得0x2

则不等式fxgx的解集为x|0x2. （2）

fx2gx2x12x1m2m2

∴2x12x1m2m20对任意xR恒成立，即

2x12x22m2m对任意xR恒成立，即2m2m2x12x2min

又因为2x12x22x12x23 则2mm3，解得1m23 23. 2则实数m的取值范围为m|1m