2010年浙江高考数学文科试卷带详解

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设P{x|x1},Q{x|x24},则PQ ( )

A.{x|1x2} C.{x|1x4}

B.{x|3x1} D.{x|2x1}

【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】考查了集合的基本运算，给出两集合，用图象法求其交集. 【参】D

【试题解析】x42x2，Qx2＜x＜1，P故选D.

2Qx2x1，

2.已知函数 f(x)log2(x1),若f()1, = ( )

A.0 B.1 【测量目标】对数函数的性质.

C.2 D.3

【考查方式】给出对数函数解析式，f()的值，求未知数. 【参】B 【试题解析】

f()log2(1)，12，故1，选B.

3.设i为虚数单位，则

5i ( ) 1iA.23i B.23i C.23i D.23i

【测量目标】复数代数形式的四则运算..

【考查方式】考查了复数代数形式的四则运算，给出复数，对其进行化简. 【参】C 【试题解析】

5i(5i)(1i)46i23i，故选C， 1i(1i)(1i)2若输出的S=57，则判断框内为 ( ) 4.某程序框图所示，

A.k4? B.k5? C.k6? D.k7? 【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】给出部分程序框图，输出值，利用与数列有关的简单运算求判断框内的条件. 【参】A

【试题解析】程序在运行过程中各变量变化如下表：

循环前 第一次 第二次 第三次 第四次 故k4.

k 1 2 3 4 5 S 1 4 11 26 57 是否继续循环 是 是 是 否 5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2a50则

S5 ( ) S2A.11 B.8 C.5 D.11 【测量目标】等比数列的通项公式与前n项和公式. 【考查方式】给出数列中两项关系，求数列的和. 【参】A

3【试题解析】通过8a2a50，设公比为q，将该式转化为8a2a2q0，解得q2，

带入所求式可知答案选A.

π2则“xsinx1”是“xsinx1”的 （ ） 6.设0＜x＜，2A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分条件，必要条件，充分必要条件.

【考查方式】考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力.

【参】B 【试题解析】0xπ,sinx1，故xsin2xxsinx，结合xsin2x与xsinx的取值2范围相同，可知答案选B.

x3y30,7.若实数x,y满足不等式组2xy30,，则xy的最大值为

xy10,（ ） A.9 B.

157 C.1 D. 715【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】给出线性规划条件，求最值. 【参】A

【试题解析】先根据约束条件画出可行域，设zxy，直线zxy过可行域内点

A4,5时z最大，最大值为9，故选A.

cm）（单位：如图所示，则此几何体的体积是 （ ） 8.若某几何体的三视图

352320 2241603A. cm cm3 B.cm3 C.cm3 D.

3333【测量目标】由三视图求几何体的体积.

【考查方式】考查了对三视图所表示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算. 【参】B

【试题解析】由三视图知该几何体是一个上面是正方体，下面为正四棱台的组合体，对应的长方体的长、宽、高分别为4、4、2，正四棱台上底边长为4，下底边长为8，高为2，那么相应的体积为：4422(4488)13202222.故选B.

331的一个零点.若x11,x0,x2x0,,则 （ ） 9.已知x0是函数f(x)2x1xA.f(x1)0,f(x2)0 B.f(x1)0，f(x2)0 C.f(x1)0,f(x2)0 D.f(x1)0,f(x2)0

【测量目标】函数零点的应用.

【考查方式】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断. 【参】B

x【试题解析】x0是f(x)21f(x0)0，的一个零点，又

1xf(x)2x1是1x单调递增函数，且x11,x0,x2x0,，f(x1)f(x0)0f(x2)，故选B.

x2y210.设O为坐标原点，F1,F2是双曲线221(a0,b0)的焦点，若在双曲线上存在

ab点P，满足∠F1PF2=60°，∣OP∣=7a,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x±3y0 B.3x±y0 C.x±2y0 D.2x±y0

【测量目标】双曲线的标准方程及几何性质.

【考查方式】给出双曲线的标准方程形式，结合双曲线与直线的关系，求渐进线方程. 【参】D

【试题解析】假设F1F2P的中线，根据三角形中线定理可知： 1Px,OP为△Fx2(2ax)22(c27a2)x(x2a)c25a2，由余弦定理可知： x2(2ax)2x(2ax)4c2x(x2a)14a22c2，，渐进线

为2y0. 故选D.

非选择题部分（共100分）

二，填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、 . 【测量目标】茎叶图及样本数据的基本的数字特征的提取.

【考查方式】考查了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力. 【参】45;46

【试题解析】由茎叶图中的样本数据可知答案为45;46.

π12.函数f(x)sin2(2x)的最小正周期是 .

4【测量目标】三角函数的几何性质，二倍角.

【考查方式】给出正弦函数，借助三角恒等变换降幂求周期. 【参】

π 21π1cos4x，可知其最小222【试题解析】对解析式进行降幂扩角，转化为fx正周期为

π. 213.已知平面向量α,β,α1,β2,α(α2β),则2αβ的值是 .

【测量目标】平面向量的数量积、加法、减法及数乘运算. 【考查方式】考查了平面向量的四则运算及其几何意义. 【参】10 【试题解析】10，由题意可知α•α2β0，结合α1，β4，解得α•β22所以2αβ4α4α•ββ8210，开方可知答案为10.

221，2214.在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行、 第n1列的数是 .

【测量目标】等差数列的性质与通项公式.

【考查方式】考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力.

【参】nn

【试题解析】第n行第一列的数为n，观察得，第n行的公差为n，所以第n0行的通项公式

2为ann0n1n0，又因为为第n1列，故可得答案为nn.

215.若正实数x,y满足2xy6xy， 则xy的最小值是 .

【测量目标】利用基本不等式求最值.

【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法.

【参】18

【试题解析】运用基本不等式，xy2xy622xy6，令xyt2，可得

t222t60，注意到t＞0，解得t≥32,故xy的最小值为18.

16. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值 .

【测量目标】利用不等式求最大（小）值.

【考查方式】考查了用一元二次不等式解决实际问题的能力. 【参】20

2【试题解析】由386050012(1x%)2(1x%)7000可得x的最小值为20.

17.在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N、分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、

设G为满足向量OGOEOF的点，N、D中任取一点记为F，

则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不

含边界）的概率为 . 【测量目标】古典概型的概率.

【考查方式】考查了平面向量与古典概型的综合运用. 【参】

3 4【试题解析】由题意知，G点共有16种取法，而只有E为P、M中一点，F为Q、N中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个，因此概率为

3. 4三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本题满分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设S为△ABC的面积，

满足S32(ab2c2). 4（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinAsinB的最大值.

【测量目标】余弦定理、正弦函数的性质、两角差的正弦.

【考查方式】根据余弦定理求角的大小，利用三角恒等变换化简，确定最大值.

【试题解析】 (Ⅰ)解：由题意可知

13absinC2abcosC. 24tanC3. （步骤1）

0当△ABC为正三角形时取等号，

sinA+sinB的最大值是3. （步骤4）

19.（本题满分14分）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为

Sn，满足S5S6150.

（Ⅰ）若S55，求S6及a1；

（Ⅱ）求d的取值范围.

【测量目标】等差数列的前n项和与通项，一元二次不等式.

【考查方式】由所给条件列求和公式求解，根据求和公式列一元二次不等式求解. 【试题解析】(Ⅰ)解：由题意知S6153,a6S6S58, （步骤1） S55a110d5, （步骤2）

a5d8.1解得a17，S63,a17. （步骤3） (Ⅱ)解：

S5S6150,

(5a110d)(6a115d)150, （步骤4）

22即2a19da110d10,

(4a19d)2d28, （步骤5）

d28, （步骤6）

d的取值范围为d

22或d22. （步骤7）

20.（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC，

ABC120.E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成

'的中点. △A'DE，使平面A'DE⊥平面BCD，F为线段AC（Ⅰ）求证：BF∥平面A'DE；

‘（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值.

【测量目标】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面角.

【考查方式】借助做辅助线，由线线垂直证明线面垂直；借助做辅助线，通过线线垂直得到线面垂直，将线面角转化为三角形中一角，进而求解.

【试题解析】 (Ⅰ)证明：取AD的中点G，连接GF,CE，由条件易知

'1FG∥CD，FGCD.

21BE∥CD,BECD. （步骤1）

2FG∥BE,FGBE. （步骤2）

故四边形BEGF为平行四边形,

BF∥EG, （步骤3）

又

EG平面A'DE，BF平面A'DE

BF//平面A'DE （步骤4）

（Ⅱ）解：在平行四边形ABCD中，设BCa, 则ABCD2a,ADAEEBa, （步骤5） 连接CE,

ABC120

3a, (步骤6)

在△BCE中，可得CE在△ADE中，可得DEa, （步骤7） 在△CDE中，

'CD2CE2DE2,CEDE. (步骤8)

'在正△ADE中，M为DE中点，AMDE. （步骤9）

由平面A'DE⊥平面BCD,

'可知AM⊥平面BCD,AMCE. （步骤10）

'取A'E的中点N，连线NM、NF，

NFDE,NFA'M. （步骤11）

'于M, DE交AMNF⊥平面A'DE, （步骤12）

则FMN为直线FM与平面A'DE所成角. 在Rt△FMN中，NF=则cosFMN31a, MN=a, FM=a, 221， （步骤13） 21. （步骤14） 2直线FM与平面A'DE所成角的余弦值为

21.（本题满分15分）已知函数f(x)(xa)2ab(a,bR,ab).

（I）当a1,b2时，求曲线yf(x)在点（2，f(x)）处的切线方程.

（II）设x1,x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2. 证明：存在实数x4，使得x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后的等差数列，并求x4.

【测量目标】函数的几何意义、导数的应用、曲线的切线方程、等差数列的等差中项.

【考查方式】根据导数的几何意义求切线方程，利用导数与极值关系，求极值点，并根据等差数列的概念证明.

【试题解析】(Ⅰ)解：当a1,b2时，

f'(x)(x1)(3x5)

f'(2)1,f(2)0， （步骤1）

f(x)在点2,0处的切线方程为yx2. （步骤2）

（Ⅱ）证明：

f'(x)3(xa)(xa2b), 3

由于ab，.故aa2b. 3a2b. （步骤3） 3f(x)的两个极值点为x＝a，x＝

不妨设x1＝a，x2＝

a2b， 3x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，x3＝b. （步骤4）

a2ba2b－a＝2（b－）， 331a2b2abx4＝（a＋）＝，

2332aba2ba，，，b依次成等差数列， （步骤5）

332ab存在实数x4满足题意，且x4＝. （步骤6）

3又

22.（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线

C:y22ps(p0)

m20上. 的焦点F在直线l:xmy2（I）若m2，求抛物线C的方程

（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA2F,△BB1F的重心 分别为G,H.

求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外. 【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系. 【考查方式】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解，利用直线与抛物线的位置关系、不等式的综合应用证明. 【试题解析】(Ⅰ)解：

又

焦点F(P,0)在直线l上，pm2 （步骤1） 2m2,p4

抛物线C的方程为y22m2x ，则抛物线C的方程为y28x. （步骤2）

（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，

m2,xmy234由2消去x得y2mym0, y22m2x,m0，=4m64m40，

34且有y1y22m,y1y2m， （步骤3）

设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点， 由于2M1CGF,2M2HHF,可知G(x12y1x2y,)，H(2,2)， 3333x1x2m(y1y42)m2mm22y126636,y262m33, m4m22m2GH的中点M36,3. （步骤5）

设R是以线段GH为直径的圆的半径， 则R21|GH|21(m24)(m21)m249 (步骤6) 设抛物线的标准线与x轴交点N(m22,0)， 2m2则|MN|m4m22m32236(3) 1m4(m48m294)19m4(m21)(m24)3m2 (步骤7) 1m2(m21)(m24)R29N在以线段GH为直径的圆外. （步骤8）

（步骤4）