几何：
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交G E 圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二）
C O · 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： B D 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EBE M N Q P A C 分别交MN于P、Q． A Q M · N P 求证：AP＝AQ．（初二） · O B 4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直A D 线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三） B 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． P 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
E A C P A 4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是B AB、AC上的点，C ∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数． E 1.∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点DK 引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。
O D F D B 求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。
C 2.在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于
H，AM的延长线交BH于Q，
求证：PQ∥AB。
3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。
求证：MQ∥NP。
4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KP⊥AB。
5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。
6.△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。
7.已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：∠O1AO2=∠M1AM2。
5.如图，已知∠BAC=90o,AD⊥BC, ∠1=∠2,EF⊥BC, FM⊥AC,说明FM=FD的理由
6.如图，已知△ABD和△ACE是直角三角形，∠ABD=∠ACE=90°，∠BAD=∠CAE，
连接DE，点M为DE边中点，求证：BM=CM。
7.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC边中点，求证：△BMD为等腰直角三角形。
22.如图，在平行四边形ABCD内有一点E满足ED⊥AD于D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45o，
请在图中找出与BE相等的一条线段，并予以证明．
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证：
tanPADEF． BC20以⊿ABC的边AB、AC为边向形外作等边⊿ABM、⊿CAN，BN和CM交于一点P。试判断：∠APM、∠APN的大小关系，并加以证明。
1、已知：如图，⊙O1和⊙O2两个等圆，过O1、O2的中点M的直线交圆O1于点A、点B，交⊙O2于点C、点D。求证：AB=CD
2、已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点D在BC的延长线连结A、D交⊙O于点E。求证：AB·CE=AE·CD。
3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，DC的延长线与AB的延长线相交于点E，如果AC=CE，求证：AD=BE。
5、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G。求证：BG·AG=DF·DA。
6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，DE⊥AC于E，DE的延长线与CB的延长线相交于F。求证：CD2=CB·CF。
7、已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BF于点F，B为切点。求证（1）BD平分∠CBF；（2）AB·BF=AF·CD。 8.凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于E、F，交CB的延长线于点O， 求证：OM2OEOF
G4、．在△ABC中,∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD的中点，若AMDBMD，求证：CDA2ACD。
AMDFCEBO解答图 18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：
AC2AD2BC2BD．
【例1】 （2007年北师大附中试题）如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于
E，
DFAB于F，交BE于G，FD、AC的延长线交于点H，求证：
DF2FGFH.
【巩固】（河南省初三数学竞赛题）如图，RtABC中，C90，点D在AC上，
点P是ME的中点，连接DP。BDAD，M是AB的中点，AEAC于E，求证：BEDP。
【巩固】（2001青岛市中考题）已知，如图正方形DEFG内接于RtABC，EF在
斜边BC上，EHAB于H。求证：（1）（2） EF2BEgFC。ADG≌HED；
【习题1】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，ABBC，对角线ACBD，
垂足为E，ADBD，过E的直线EF∥AB交AD于F．
⑴ AFBE， ⑵ AF2AEEC．
23．（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
(1) 如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD． (江苏省竞赛题) 18．如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数． 20．如图，P是△ABC的∠BAC的外角平分线上一点． (1)求证：PB+PC＞AB+AC；
(2)若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC＞AB，画出图形，试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系?
如图，△ABC和△AlBlC1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1
DC⊥CC1．
FEAB(重庆市竞赛题)
18．如图，正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC．
20．如图，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求证：AB2=AC2+AC×BC． 21．如图，AB是等腰直角三角形的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P． (1)当点P是边AB的中点时，求证： (2)当点P不是边AB的中点时， (2001年北京市宣武区中考题) 22．如图，若
BCDEFAABCDEF，求证：．(武汉市选拔赛试题) XYYZZXUVVWWUPACM； PBCNPACM是否仍然成立?请证明你的结论． PBCN【例1】 已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共
线，ADDK．求证：HBD也是等边三角形．
16、如图9，△ABC中，∠A=2∠B，由顶点C作∠A的平分线AD的垂线CF，垂足为F，求证：CF经过△ABC的外心。
初中数学竞赛培训讲义
第十三讲 相似三角形
相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法，本讲即探究该问题. 一 竞赛知识回顾 1、相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方. 2、相似三角形的判定方法
（1）三边对应成比例的两个三角形相似
（2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似
（3）两组角对应相等的两个三角形相似. 3、相似三角形中几个的基本图形 4、由相似三角形得到的几个常用定理
定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似. A 如图，若DE∥BC,则或
ADBD. =AECEADAEDE, ==ABACBCEDEDACB 定理2 平行切割定理
BC 如图，D,E分别是DABC的边AB,AC上的点， A过点A的直线交DE,BC于M,N,若DE∥MN, 则
DMBN =MENCDMEBNC定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.
如图，若l1∥l2∥l3，则
ABBCAC, ==ⅱⅱⅱABBCACBCAA/B/l1l2AA/B/l1l2l3El3定理4（角平分线性质定理） 如图， AD,AE/分别是CABC/CCDABC的内角平分线与外角平分线， 则
DBEBAB. ==DCECACBD定理5 射影定理
直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.
定理1 角平分线的的性质定理
二 赛题讲解
1 利用相似证明角相等
例1 如图，DABC中，?BAC垂足为H,交BC于点E. (1) 求证：?ADB90?,ABAC,D是边的中点，AH^BD，
A?CDE
BHD(2) 若AB=2,求DCDE的面积.
EC练习 在DABC中，AD^BC于点D，DE^AB于点E，
DF^AC于点F，求证：?AFE2 利用相似证明线段相等
?ABC.
例2 已知点E,F分别在矩形ABCD的边AB,AD上，EC,FC分EF∥BD，别交BD于点G,H，求证：BG=DH.
DHCE练习 1、如图，梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC,BD交于点P，过点P作BC的平行线分别交AB,DC于点E,F，求证PEPF.
AEAPFGDFB2、如图，DABC中，AB=AC,AD^BC于D，E,G分别是AD,AC的中点，DF^BE于F，求证:FG=DG.
3 证明比例（等积）线段
BACEG例3 如图，BD,CD为的两条角平分线，过点D作直线分别交AB,AC于点
FE,F，若AE=AF，求证：EF2=4BE?CF
BADCE 例4 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线lD平行于FBD，
且与AB,DCBC,AD及AC的延长线分别交于点M,N,R,S和P， BACD求证：PM?PN练习
PR?PS
BOCRMNPS1、如图，在DABC中，AD是ÐA的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，
A交BC的延长线于点F.求证:FD2=FB?FC
EAF2、AD,BE是DABC的高线，过D作AB的垂线， 垂足为F，与BE及AC的延长线分别相交于M,N，
BNBDFCECDM求证：DF2=FM?FN
3、AD是RtDABC的角平分线，?C4 求线段比
例5 ABCD是正方形，E,F是AB,BC的中点， 联接EC交DB,DF于G,H，求EG:GH:HC.
练习 1、梯形ABCD中，AD∥BC,?ABC90?,
AAC2BC= 90?，求证：2AD2BDAADEGCBDPDHFCBAD3BD对角线AC^BD于点P，若的值. =，求
ACBC4B 2、如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC,AD及CD的延长线相交于点E,F,G,若BE=5,EF=2,求FG的长.
5 证明线段（线段比）和差
AEGFDC例6 如图，已知AB∥CD,AD∥CE,F,G分别是AC和FD的中点，过G的
BCE直线依次交AB,AD,CD,CE于点M,N,P,Q.求证:.MN+PQ=2PN
练习 如图，P是DABC内一点，AP,BP,CP分别与对边交于点D,E,F，
AEAFAP求证：. +=ECFBPDCFAPGNBDAQ 6 证明垂直
FPE 例7 如图，H,Q分别是正方形ABCD的边AB,AC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足分别为P，求证：DP^PQ. B练习题
1、如图，DABC中，?BACADCDHPCBE是Q90?，AD是BC边上的高，BC边上一点，过点E作AB,AC的垂线，垂足分别为F,G，求证：?FDG90?
A2、DABC与DAⅱBC?均为等边三角形，BC和B1C1的中点均为D，求证：FGAAA1^CC1
BDEC7 证明平行
BB1DC1A1C例8 如图，在矩形ABCD中，E、F是DC边上的点，满足
DEEFFC，又G、H是BC上的点，满足B相交ABGGHHC．AE与DG于点K，AF与DH相交于N． 求证：KN∥CD．
DKENFCGH练习题 如图，两个等边ABC,ADE顶点A重合，过点E作BC的平行线，分别交AB,CD于F,G.
（1）求证：DF平分AFE. (2) 求证：AG∥BD.
8 利用相似三角形的面积比
CBFDGAE 例9 在DABC的内部取点P，过P点作3条分别与DABC的三边平行的
A直线，这样所得的3个三角形t1,t2,t3的面积分别为4,9,49，求DFABC的面积.
IABBDD 练习 1、AD是RtABC斜边上的高，求证：2ACDC2At1Pt3t2ECH 2、梯形ABCD中AD∥BC,AD4,BC8,点E,F在AB,DC上，且EF∥BGBDBC,若直线EF平分梯形ABCD的面积，（1）求EF的长，（2）求
练习题
AE的值 EBC 1、已知平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于
P,Q两点，求BP:PQ:QC的值.
ADP2、如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=1于点G，求证：AG=AC
5BFDM1QFD，FE交AC2NCC3、 如图，AM是的中线，P是AM上一点，BP,CP分别交AC,AB于点
D,E，求证:DE∥BC
AEGAB4、DABC中，AB=AC,?BACE90?，D是BC边的中点，AH^BD交BDPMBBHECAD于点H，交BC于点E，求证：BE=2EC
CD5、在四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，P为对角线AC延长线上任意一点，PF交AD于点M，PE交BC于点N，EF交MN于点K.求证：K
D是线段MN的中点.
FMKCNP6、锐角三角形DABC中，AB>AC,CD,BE分别是AB,AC上的高，DE与过D作的BC垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于BC的延长线交于点T，AAEBG，证明：F,G,T三点共线.
DFEGMNCA7、如图，在等边DABC中，BC边上取点D，使BD:CD=1:2，作CH^AD，
T垂足为H，联接BH，求证：?BAD?HBC. BHBDC